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CHAPITRE 1 - INTRODUCTION
1 – LE CONCEPT D’ELEMENT FINI
Les structures que les concepteurs sont amenés à étudier sont le plus souvent des assemblages
de pièces élémentaires, celles-ci étant tirées des matériaux bruts disponibles dans le
commerce. Ces structures sont donc formées de barres, poutres, plaques et de parties
massives. Pour l’analyse du comportement de ces structures, le concepteur disposait, au début
du 20ème siècle, de la théorie de l’élasticité et des modèles simplifiés qui en découlent (théorie
des poutres, des plaques et coques). Ces formulations ne permettaient pas la résolution des
problèmes relatifs aux structures massives quelconques (problèmes de milieux continus). La
première moitié du 20ème siècle a connu d’une part le développement des méthodes
matricielles pour l’étude des structures à base de poutres, et d’autre part celui des méthodes
d’approximation et de discrétisation spatiale du domaine pour l’étude des systèmes continus.
Le concept d’élément fini a été introduit en 1955. La méthode des éléments finis (MEF) est
venue unifier les différentes méthodes qui venaient de la précéder.
L’exemple le plus simple de structure discrète est celui des assemblages de barres et/ou de
poutres (treillis, ossatures…). La construction du modèle discret associé à la structure réelle
est relativement naturelle, et cela pour différentes raisons :
- le découpage de la structure en « éléments » est naturel : les nœuds qui délimitent les
éléments sont les points où se situent les assemblages des différents constituants
- la théorie des poutres offre un modèle théorique simple pour caractériser le
comportement de chaque élément
- les conditions d’équilibre aux nœuds sont faciles à formuler.
Sections droites
Structure discrétisée
en éléments poutres
Structure réelle
Eléments
Nœuds
Figure 1 – Discrétisation d’une grue de cargo (document Abaqus)
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Pour les problèmes de plaques, coques ou pièces massives, la création d’une discrétisation du
domaine (ou maillage) ayant les qualités requises n’est pas aussi simple que dans le cas des
poutres. Dans le cas des structures 2D ou 3D, la MEF utilise des techniques d’approximation
et les résultats obtenus ne sont pas indépendants des caractéristiques du maillage. La structure
de départ est divisée en sous-domaines nommés « éléments finis » ayant des formes
géométriques relativement simples : triangles, quadrangles, tétraèdres, hexaèdres… Des
points remarquables, appelés « nœuds » situés sur la frontière des éléments (souvent les
sommets des éléments) servent à interconnecter les éléments. Le modèle de comportement de
chaque élément s’appuie sur une approximation de la solution (en général du champ des
déplacements dans l’élément) de sorte à permettre une formulation du problème en fonction
des valeurs de la solution aux nœuds. Comme le montre la figure 2, le maillage est guidé par
le souci de limiter l’importance des erreurs introduites par les approximations : on peut être
amené à réduire la taille des éléments dans les zones d’étude où les gradients des contraintes
sont importants (jusqu’à obtenir la convergence des résultats utiles).
Maillage réglé de départ
Zones de surcontrainte
Maillage raffiné
Chargement :
Maillage raffiné localement
Figure 2 – Différentes discrétisations volumiques d’une bride (document Abaqus)
On distingue différentes grandes classes d’éléments :
- les éléments unidimensionnels (1D) : barre (Rod ou Truss), poutre rectiligne ou
courbe (beam)
- les éléments bidimensionnels (2D) : élasticité plane (contrainte ou déformation
plane), plaques en flexion, coques courbes (shell), de forme triangulaire ou rectangulaire…
- les éléments tridimensionnels (3D) : de forme tétraédrique , hexaédrique…
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- les éléments axisymétriques (pour les pièces présentant une symétrie de révolution au
niveau de la géométrie et du chargement)
- les autres éléments : ressorts (spring), amortisseurs (dashpot), rigides (rigid)…
Figure 3 – Quelques éléments parmi les plus utilisés (document Abaqus)
Nous n’étudierons dans le cadre de ce cours que les éléments dont la formulation reste assez
simple pour être abordable dans le cadre d’exercices d’application.
2 – LES DEUX CLASSES DE METHODES
La MEF s’attache à transformer les problèmes de milieux continus en problèmes discrets où
apparaissent des paramètres inconnus associés aux nœuds ou aux éléments du maillage. Les
méthodes de résolution qui en découlent portent des noms différents selon la nature des
paramètres retenus. On distingue :
-
la méthode des déplacements, qui est la plus utilisée. Les paramètres inconnus sont
les déplacements et, éventuellement leurs dérivées
-
la méthode des forces. Les paramètres inconnus sont les contraintes, ou les forces
résultantes dans les éléments
Nous n’aborderons dans ce cours que la méthode des déplacements.
3 – LES DIFFERENTS TYPES DE CALCULS
Les problèmes qui se posent en calcul des structures sont de différentes natures. Les
classifications que l’on rencontre généralement tiennent compte de critères mécaniques
(statique/dynamique/contact …) mais aussi de la nature des techniques numériques qui sont
mises en œuvre pour les résoudre (linéaire/non linéaire, implicite/explicite…). Le tableau ciaprès introduit quelques types de calcul parmi les plus courants.
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LINEAIRE
Statique linéaire
Kq=F
STATIQUE
Stabilité Initiale
[K + λ KG] X = 0
NON LINEAIRE
Statique non-linéaire
(géométrique ou de
comportement)
Stabilité non linéaire
Analyse modale
DYNAMIQUE
[K - λ M] X = 0
Réponse dynamique
Dynamique non linéaire
M &q& + C q& + K q = F(t)
Les problèmes statiques linéaires portent sur l’étude des structures à comportement linéaire
soumises à des charges statiques ou à variation lente et ne subissant que des petits
déplacements. Ce type de problème, que nous étudierons dans ce cours, se ramène à la
résolution d’un système linéaire :
Kq=F
Les problèmes de stabilité initiale sont ceux relatifs à l’étude du flambage des structures. Ces
problèmes conduisent à la résolution d’un problème aux valeurs propres pour certains types
de structures (poutres et plaques) :
[K + λ KG] X = 0
Les problèmes d’analyse dynamique linéaire s’intéressent à l’étude des déplacements des
structures à comportement linéaire sollicitées par des forces dynamiques. Ce type de problème
conduit à des équations du mouvement de la forme :
M &q& + C q& + K q = F(t)
La résolution de ce système différentiel est abordable de différentes manières : superposition
modale, intégration directe pas à pas… L’analyse modale (ou étude des modes propres de
vibration) conduit à résoudre un problème aux valeurs propres :
[K - λ M] X = 0
Dans bon nombre de cas, on ne peut pas ignorer les non-linéarités qui caractérisent le
problème. Celles-ci peuvent être de différentes natures. Nous citerons ici :
- les non-linéarités géométriques : elles apparaissent quand les déplacements de la
structure sous charge sont importants. Il n’est plus viable dans de tels cas de
considérer que les rigidités ne sont pas affectées par les déplacements
- les non-linéarités de comportement (ou constitutives). C’est le cas des structures dont
le matériau constitutif n’est pas élastique linéaire (plasticité, fluage…)
On se situe dans le domaine de la statique non-linéaire lorsque le chargement varie lentement,
sinon dans celui de la dynamique non-linéaire.
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