2 heures EXERCICE 1

COLLÈGE LA PRÉSENTATION
Classe de 3e
Durée : 2 heures
BREVET BLANC Février 2014
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Présentation et orthographe : 4 points
Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.
EXERCICE 1 (2 points)
On considère une masse de 2 grammes d'acier. Donner la correspondance énergétique en joules.
Le résultat sera donné sous forme d'écriture scientifique.
−3
8 2
E = m×c² = 2×10 ×(3×10 ) = 2×10−3×3 2×(10 8)2 = 2×10−3×9×1016 = 18×1013 = 1,8×1014 J.
EXERCICE 2 (3 points)
Quatre enfants se partagent une tablette de chocolat.
Le premier prend le tiers de la tablette et le second prend le quart.
2
Le troisième prend les
de ce qui reste après que le premier et le deuxième se soient servis.
5
1) Lequel de ces calculs permet de trouver la part du troisième ?
1 1 2
A = 1− − ×
3 4 5
1 1 2
B = 1− − ×
3 4 5
1 1 2
C = 1− − ÷
3 4 5
1 1 2
D = 1− + ×
3 4 5
(
(
)
)
( )
2) Effectuer le calcul choisi, en détaillant les étapes de calcul.
1 1 2
B = 1− − ×
3 4 5
(
)
B=
( 1212 − 124 − 123 )× 25
B=
5×2
6×2×5
B=
5 2
×
12 5
B=
1
6
EXERCICE 3 (3 points)
1) Développer et réduire D = (a+ 5)2 −(a−5)2 .
D = (a+ 5)2 −(a−5)2
D = (a 2 +2×a×5+52 )−(a2 −2×a×5+52 )
D = (a 2 +10 a+ 25)−( a2−10 a+25)
D = a 2+ 10 a+ 25−a 2 +10 a−25
D = 20 a
2) On pose D = 10 005² – 9995². Sans utiliser la calculatrice, en se servant de la question 1), trouver la
valeur de D (indiquer les étapes de calcul).
On remarque que dans cette expression, a = 10 000. Or, d'après la question 1), D = 20 a. Donc D = 20 000.
Page 1 sur 6
EXERCICE 4 (4 points)
Voici, pour la production de l'année 2009, le relevé des longueurs des gousses de vanille d'un cultivateur de
Tahaa (Polynésie).
Longueur en cm
12
15
17
22
23
Effectif
600
800
1 800
1 200
600
1) L'effectif total de cette production est : N = 600 + 800 + 1 800 + 1 200 + 600 = 5 000.
2) Le cultivateur peut seulement les conditionner dans des tubes de 20 cm de long. Quel pourcentage de
cette production a-t-il pu conditionner sans plier les gousses ?
Il y a 600 + 800 + 1 800 = 3 200 gousses de longueur inférieure à 20 cm.
3200
×100 = 64 %.
Cela représente :
5000
Le cultivateur a pu conditionner 64 % de sa production dans des tubes de 20 cm de long.
3) La chambre d'agriculture décerne une récompense (un « label de qualité ») aux agriculteurs si :
- la longueur moyenne des gousses de leur production est supérieure ou égale à 16,5 cm ;
- plus de la moitié des gousses de leur production a une taille supérieure à 17,5 cm.
Ce cultivateur pourra-t-il recevoir ce « label de qualité » ?
Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
- Calcul de la longueur moyenne :
12×600+15×800+17×1800+22×1200+ 23×600
=18 ; la longueur moyenne est 18 cm, elle est
̄x =
5000
donc supérieure à 16,5 cm. Elle respecte le label de qualité.
- Nombre de gousses de taille supérieure à 17,5 cm : 1200 + 600 = 1800.
Or la moitié de 5000 est 2500. Donc ce nombre ne respecte pas le label de qualité.
Le cultivateur ne pourra pas recevoir le label de qualité de la chambre d'agriculture.
EXERCICE 5 (3 points)
Au marché, un commerçant propose à ses clients diverses boissons. Il a au total 100 boissons réparties de la
manière suivante : 22 bouteilles de thé glacé ; 32 bouteilles de jus d'ananas ; 18 bouteilles de soda et les autres
bouteilles sont des bouteilles d'eau.
Le commerçant souhaite offrir une boisson à son premier client. Il décide de prendre au hasard une bouteille (on
suppose que toutes les bouteilles ont la même forme).
1) On considère l'événement E : « prendre une bouteille d'eau ».
Quelle est la probabilité de l'événement E ? Justifier la réponse.
100 – 22 – 32 – 18 = 28. Il y a 28 bouteilles d'eau sur un total de 100 bouteilles.
28
14
La probabilité de l'événement E est donc de
=
100
50
2) Le commerçant gère son stock grâce au tableur ci-dessous.
A
B
C
D
1
Boisson
Quantité
Nombre de bouteilles
vendues
Quantité restante
2
Thé glacé
22
4
18
3
Jus d'ananas
32
5
27
Page 2 sur 6
4
Soda
18
3
15
5
Eau
28
12
16
6
Total
100
24
76
a) Quelle formule a-t-il écrite dans la cellule D2 pour obtenir le résultat indiqué par le tableur ?
Formule en D2 :
=B2 – C2
b) Pour obtenir le nombre 100 dans la cellule B6, il a été écrit :
=SOMME(B2:B5)
Quelle formule est-il écrit en C6 pour obtenir 24 ?
Formule en C6 :
=SOMME(C2:C5)
EXERCICE 6 (5 points)
Une entreprise de fabrication de jouets possède deux machines A et B.
Durant une semaine complète, les machines A et B fabriquent le même jouet. La machine A produit 60 % de la
totalité de ces jouets. La machine B fabrique le reste.
À la suite d'une étude en bout de chaîne, on s'est rendu compte que 5 % des jouets fabriqués par la machine A
ont le défaut D, et que 2 % des jouets fabriqués par la machine B ont le défaut D. On rassemble tous les jouets
fabriqués durant la semaine et on prélève au hasard un jouet.
1) Donner la probabilité que le jouet ait été fabriqué par la machine A. Le résultat sera donné sous forme
de fraction irréductible, puis sous forme décimale.
60
La probabilité que le jouet ait été fabriqué par la machine A est de 60 %, soit
ou 0,6.
100
2) Compléter l'arbre suivant avec des probabilités sous forme décimale .
Machine
0,60
0,40
A
B
Défaut
0,05
D
0,95
non D
0,02 D
0,98
non D
3) Quelle est la probabilité que le jouet provienne de la machine A et possède le défaut D ?
60
5
300
3
×
=
=
ou bien encore : 0,60 × 0,05 = 0,03
100 100 10000 100
4) Le nombre de jouets fabriqués est 50 000.
Compléter le tableau suivant.
Défaut D
Pas de défaut D
Page 3 sur 6
Total
Machine A
1 500
28 500
30 000
Machine B
400
19 600
20 000
Total
1 900
48 100
50 000
EXERCICE 7 (3 points)
Lors d'un match de basket, un joueur A passe le ballon à un joueur B situé à 7,2 m de lui. La passe dure 0,4 s.
1) Calculer la vitesse moyenne du ballon, en m/s, lors de cette passe.
d 7,2 m
v= =
=18 m/s
t 0,4 s
2) Convertir le résultat en km/h.
18 m 0,018 km 0,018 km×3600 64,8 km
=
=
=
=64,8 km/ h
18 m/s =
1s
1s
1 s×3600
1h
EXERCICE 8 (7 points)
1) Construire un triangle ABC tel que AB = 7,5 cm ; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm.
Page 4 sur 6
2) Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
Dans le triangle ABC, le plus long côté est AC = 12,5 cm.
D'une part : AC² = 12,5² = 156,25
D'autre part : AB² + BC² = 7,5² + 10² = 56,25 + 100 = 156,25.
On constate que AC² = AB² + BC². Le triangle ABC vérifie l'égalité de Pythagore, donc il est rectangle
en B.
3) a) Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm.
b) Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4 cm.
4) Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
Les droites (AF) et (BG) sont sécantes en C.
CF
5
CG 4
=
=0,4 ;
= =0,4 .
D'une part :
D'autre part :
CA 12,5
CB 10
CF CG
=
On constate que
. De plus, les points C, F, A et C, G, B sont alignés dans le même ordre.
CA CB
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
5) Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm.
Les droites (AF) et (BG) sont sécantes en C et les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
CF CG FG
=
=
D'après le théorème de Thalès :
CA CB AB
5
4 GF
= =
En remplaçant par les valeurs numériques :
12,5 10 7,5
4×7,5
=3 cm.
On en déduit : FG =
10
6) Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
On sait que le triangle ABC est rectangle en B, donc
(AB) ⊥ (BC) ; et on sait aussi que les droites (AB) et
(FG) sont parallèles.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute
perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc (FG) et (BC) sont perpendiculaires.
Ou bien :
Dans le triangle CFG, le plus long côté est FC = 5 cm.
Page 5 sur 6
D'une part : FC² = 5² = 25 ; d'autre part : FG² + GC² = vérifie l'égalité de Pythagore, donc il est rectangle en G.
3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Donc les droites (FG) et (GC) sont perpendiculaires, et
On constate que FC² = FG² + GC². Le triangle FGC
par extension, (FG) et (BC)
EXERCICE 9 (6 points)
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise
en compte dans l'évaluation.
Sur la figure ci-dessous, outre les indications codées, on sait que ABC est un triangle isocèle en A.
Démontrer que les droites (HI) et (AC) sont perpendiculaires.
Le triangle ABC est isocèle en A, donc la hauteur (AH) issue du
sommet principal est confondue avec la médiatrice de sa base. On
en déduit que H est le milieu de la base [BC].
D'après le codage, le point I est le milieu de [KC].
Dans le triangle BKC, la droite passant par I et H, milieux
respectifs des côtés [KC] et [BC], est donc parallèle au troisième
côté [KB] : (BK) // (HI)
De plus, d'après le codage, (BK) ⊥ (AC).
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à
l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc (HI) ⊥ (AC).
Page 6 sur 6