Maple : matrices

Maple : matrices
Pour faire de l’algèbre linéaire avec Maple, on chargera le package LinearAlgebra.
−
• On rentre les vecteurs à l’aide de la commande Vector : le vecteur →
u (1, 2, 0) se rentre avec u :=Vector([[1,2,0]]).
1 3
• On rentre les matrices lignes par lignes à l’aide de la commande Matrix : la matrice A =
se rentre
0 1
avec A :=Matrix([[1,3],[0,1]]).
Voici quelques commandes d’algèbre linéaire.
• L’élément situé sur la ligne i et la colonne j de la matrice A s’obtient en faisant A[i, j].
• Le produit matriciel s’écrit · ; cette commande est aussi valable pour le produit d’une matrice par un vecteur.
• Le produit d’une matrice par un scalaire s’obtient avec ∗ et la somme de matrices avec +.
On peut aussi utiliser les fonctions matricielles de Maple.
• NullSpace déterminer une base du noyau d’une application linéaire de matrice A.
• MatrixInverse calcule l’inverse d’une matrice.
• IdentityMatrix permet d’entrer des matrices identité.
• DiagonalMatrix permet d’entrer des matrices diagonales.
• Transpose calcule la transposée d’une matrice.
• LinearSolve(A,b) résout le système AX = b où A est une matrice et b un vecteur.
On rappelle la formule de changements de bases pour les endomorphismes.
Théorème 1 (Formule de changements de bases pour les endomorphismes). Soit E un K-espace vectoriel de
dimension finie et u ∈ L(E) un endomorphisme de E. On note E et E ′ deux bases de E et P la matrice de
passage de E à E ′ . On note enfin A = M atE,E u la matrice de l’endomorphisme u dans la base E de E et
A′ = M atE ′ ,E ′ u sa matrice dans la base E ′ de E. Alors A′ = P −1 AP .
Exercice 1.
1) Faire restart puis charger le package LinearAlgebra.
2) Entrer une commande id qui donne la matrice identité
 de taille
a 0 0
0 b 0
variables a, b, c et d qui entre la matrice diagonale 
0 0 c
0 0 0
3) On considère les quatre suites

xn+1 =



yn+1 =
zn+1 =



tn+1 =
4
et une fonction diag :=(a,b,c,d) -> ... des
0
0
 ∈ M4 (C).
0
d
(xn )n∈N , (yn )n∈N , (zn )n∈N et (tn )n∈N définies par :
6yn + 4zn
3yn + 5zn − 5tn
2xn − 4yn − 8zn + 10tn
2xn − 4yn − 6zn + 8tn
 
xn
 yn 

Pour tout n ∈ N, on pose Xn =  
∈ M4,1 (R).
zn 
tn
et x0 = 1, y0 = 0, z0 = 0, t0 = 2.
a) Déterminer une matrice A ∈ M4 (R) telle que Xn+1 = AXn pour tout n ∈ N, que l’on entrera en Maple.
b) Que vaut X0 ?
c) Montrer que Xn = An X0 pour tout n ∈ N.
−
−
−
−
4) Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4, dont on note B = (→
e1 , →
e2 , →
e3 , →
e4 ) une base. On note f ∈ L(E)
l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A.
1
a) On considère les sous-ensembles suivants de E :
−
−
−
−
−
−
−
−
−
E4 = {→
u ∈ E | f (→
u ) = 4→
u } , E3 = {→
u ∈ E | f (→
u ) = 3→
u } , E−2 = {→
u ∈ E | f (→
u ) = −2→
u}.
Montrer que E4 , E3 et E−2 sont des sous-espaces vectoriels de E, puis déterminer à l’aide de Maple une
base de chacun de ces sous-espaces vectoriels de E.
b) Montrer :
E = E4 ⊕ E3 ⊕ E−2 .
c) Donner une base B ′ de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. On note D ∈ M3 (R) la matrice de
f dans la base B ′ .
d) Donner la matrice de passage P ∈ M3 (R) de la base B à la base B ′ .
e) Vérifier avec Maple les formules de changement de base.
f) Montrer que A′n = P −1 An P pour tout n ∈ N.
g) A l’aide de cette relation, calculer An pour tout n ∈ N et en déduire l’expression des quatres suites
(xn )n∈N , (yn )n∈N , (zn )n∈N et (tn )n∈N en fonction de n.
h) Vérifier que la commande MatrixPower permet de retrouver le résultat de An .
Exercice 2. Pour n ∈ N⋆ , on considère l’application f définie pour tout P ∈ Rn [X] par :
f (P ) = 20P − X 2 − 1 P ′′ .
1) Faire restart puis charger le package LinearAlgebra.
2) Montrer que f définit un endomorphisme de Rn [X].
3) On choisit maintenant n = 6.
a) Calculer f X k pour k ∈ {0, . . . , n}.
b) Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R6 [X].
c) Déterminer le noyau et l’image de f .
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