CHAPITRE 5 – ELEMENTS FINIS DE POUTRES 1 – ELEMENT DE

CHAPITRE 5 – ELEMENTS FINIS DE POUTRES
1 – ELEMENT DE POUTRE DROITE TRAVAILLANT DANS UN PLAN
Nous nous limitons ici au cas de structures formées par des poutres droites dont les lignes
moyennes sont contenues dans un même plan, chargées par des forces normales ou
transversales appartenant à ce plan, ou par des moments perpendiculaires à ce plan. Dans ces
conditions, les lignes moyennes restent dans le plan après déformation. Nous utilisons le plan
(Oxy) comme plan moyen.
C’est l’élément de poutre le plus simple. Les nœuds associés sont les 2 points de la ligne
moyenne situés aux extrémités de l’élément.
Dans un premier temps, nous travaillons en repère local. Nous donnons ensuite les règles pour
passer en repère global.
1.1 – Formulation en repère local.
Il convient de noter que les différents vecteurs et matrices considérés dans ce paragraphe 1.1
sont projetés sur les axes du repère local de l’élément. Conformément aux notations adoptées
dans le chapitre précédent, une barre devrait normalement être placée sur tous les termes pour
le faire apparaître. Cette barre sera omise pour ne pas surcharger le texte et les équations.
1.1.1 – Approximation du champ de déplacement.
Isolons un élément fini. Les 2 nœuds de l’élément sont notés ici de manière générique i et j.
y, v
θj
θi
v
vi
i ui
M u
θ
vj
j uj
x, u
Figure 1 – Déplacements
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 5 – Page 1
Soit M le point courant appartenant à la ligne moyenne, de coordonnées (x , 0) dans le repère
local. On choisit de donner au vecteur U, associé aux déplacements de M, les
composantes suivantes :
- la translation u dans la direction x
- la translation v dans la direction y
- la rotation θ autour de la direction z.
Ces trois paramètres ne sont pas indépendants puisque : θ = dv dx = v ,x . Le choix de placer le
paramètre θ dans le vecteur U est délibéré. La présence du phénomène de flexion fait que,
dans chaque élément, la tangente à la ligne moyenne en chacun des deux nœuds extrémités ne
reste pas nécessairement confondue avec le segment liant les deux nœuds. De plus, lorsque
plusieurs éléments poutre sont connectés au même nœud i, les paramètres ui et vi ne suffisent
pas à eux seuls à exprimer que les éléments connaissent tous en ce nœud la même rotation θ i
autour de z après déformation.
Le vecteur des déplacements nodaux de l’élément est :
[
q eT = u i
vi
θi
uj
vj
θj
]
(1)
Les fonctions retenues pour approximer le champ des déplacements à l’intérieur de l’élément
sont les suivantes:
u = u (x ) = a 0 + a 1 x

2
3
v = v(x ) = a 2 + a 3 x + a 4 x + a 5 x
θ = θ(x ) = a + 2 a x + 3 a x 2
3
4
5

(2)
Ces fonctions sont conformes au modèle de la Résistance des Matériaux dédié aux poutres de
section constante :
- la traction ou la compression induite par deux forces ponctuelles normales agissant
aux extrémités se traduit par un déplacement axial linéaire
- la flexion plane induite par des chargements ponctuels appliqués aux extrémités
(forces transversales ou moments perpendiculaires) se traduit par des déplacements
transversaux décrits par des polynômes de degré 3. En effet, l’équation différentielle de départ
est de la forme Mf z = E I d 2 v dx 2 = E I v ,x,x où Mf z est une fonction linéaire de x.
Les conditions aux limites permettent d’exprimer les 6 composantes de qe en fonction des 6
coefficients ah inconnus :
u i = u (0) = a 0
v = v(0 ) = a
2
 i
θ i = θ(0) = a 3

u j = u (L ) = a 0 + a 1 L
v j = v(L ) = a 2 + a 3 L + a 4 L2 + a 5 L3

2
θ j = θ(L ) = a 3 + 2 a 4 L + 3 a 5 L
(3)
On peut en déduire l’expression de chaque coefficient ah en fonction des composantes de qe et
établir la relation suivante, de la forme U = A qe :
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 5 – Page 2
u   N1
v =  0
  
θ   0
0
N3
N3, x
0
N4
N4 , x
N2
0
0
0 

N6 
N6 , x 
0
N5
N5 , x
u i 
v 
 i
θ i 
 
u j 
v j 
 
θ j 
(4)
où N1, N2, N3, N4, N5 et N6 sont six fonctions d’interpolation définies par :
 N1 = 1 − x L
 N2 = x L

 N3 = 1 − 3 x 2 L2 + 2 x 3 L3

2
2
3
3
 N4 = L x L − 2 x L + x L
 N5 = 3 x 2 L2 − 2 x 3 L3

2
2
3
3
 N6 = L − x L + x L
(
(
(5)
)
)
1.1.2 – Déformations et contraintes.
Nous négligeons la déformation due à l’effort tranchant (cisaillement). Compte-tenu des
hypothèses classiques de la théorie des poutres (toute section droite reste droite après
déformation…), la déformation en tout point de la poutre appartenant à une section droite S
située à la cote x peut être caractérisée par deux paramètres qui ne dépendent que de x,
paramètres que l’on peut donc associer au point courant M de la ligne moyenne appartenant à
cette section :
- du dx = u ,x : déformation axiale, due au phénomène de traction/compression
- dθ dx = θ ,x : variation angulaire ramenée à l’unité de longueur, due au phénomène
de flexion.
ε xx (P) =
dx
y
O
u
P' Q' - PQ du
=
= u ,x
PQ
dx
ε xx (P) =
P' Q' - PQ - y dθ
=
= − y θ ,x
PQ
dx
u du
P
Q
P’
Q’
M
N
M’
N’
P’
Q’
N’
M’
x
θ
Avant déformation
Après traction seule
θ
dθ
Après flexion seule
Figure 2 – Déformations de l’élément poutre dans le plan (Oxy)
Le vecteur qui va jouer le rôle de vecteur déformation n’a pas une forme conventionnelle :
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 5 – Page 3
ε 
ε =  1
ε 2 
avec :
ε1 =
du
= u ,x
dx
et ε 2 = dθ = θ ,x
(6)
dx
Les déformations au point P de coordonnées (x , y) se déduisent des deux paramètres par :
et
(7)
ε xx = u , x − y θ , x = ε 1 − y ε 2
ε yy = ε zz = ε xy = ε yz = ε zx = 0
ε1 est homogène à une déformation, mais pas ε2. Dans le cas des problèmes d’élasticité plane
2D ou d’élasticité 3D, les déformations se déduisent des seuls déplacements (u , v , w) par une
différentiation conforme aux lois de l’élasticité, différentiation synthétisée par l’opérateur
matriciel C donné au chapitre 2. Pour les problèmes comportant de la flexion, on est amené à
introduire des angles dans le vecteur des déplacements, et à considérer ensuite les variations
de ces angles par unité de longueur dans les déformations, notions qui sont homogènes à des
courbures (donc, en fait, aux dérivées secondes des déplacements : ε 2 = θ ,x = v ,x,x ).
L’opérateur de dérivation C à mettre en œuvre dans ce cas ne correspond plus à celui
découlant des lois de l’élasticité, il prend une forme spécifique selon le problème considéré.
Ici la relation déformations-déplacements ε = C U devient :
 N1
u 
0 
0    d dx 0
 ε 1  d dx 0
0
v =
ε  =  0
0 d dx  
0 d dx     0
 2 
 0
 θ 
0
0
N2
0
N3
N4
0
N5
N3, x
N4 , x
0
N5 ,x
u i 
v 
i
0  

θ
 i  (8)
N6   
uj
N6 ,x   
v j 
 
 θ j 
d’où la relation suivante, de la forme ε = B qe :
 ε 1   N1, x
ε  =  0
 2 
0
0
N2 , x
0
N3, x, x
N4 , x, x
0
N5, x, x
u i 
v 
 i
0  θi 
 
N6 , x, x  u j 
v j 
 
 θ j 
(9)
Notons que le vecteur déformation peut aussi être exprimé en fonction des composantes du
torseur des efforts intérieurs. Soit N la force normale et Mfz le moment des efforts au point
courant M. On a :
N
du
=E
S
dx
et
Mf z = E I v , x, x
dθ
= E I θ ,x = E I
dx
 N 


d’où : ε =  E S 
 Mf z 
 E I 
(10)
Considérons maintenant les contraintes. Seule la contrainte σ xx est différente de zéro. On a :
σ xx = E ε xx
(11)
Toutefois, le vecteur des contraintes va prendre une forme particulière, en relation avec celui
des déformations. Posons :
σ 
σ =  1
σ 2 
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
(12)
Ch. 5 – Page 4
Les termes σ1 et σ2 doivent être choisis de sorte à permettre le calcul de l’énergie interne We
par l’équation conventionnelle :
We = ∫
V
1 T
σ ε dv
2
(13)
Les équations (10), (12) et (13) conduisent à :
We =
1 L
[σ1
2 ∫x =0
ε 
1 L  σ N σ Mf z
σ 2 ]  1  (S dx ) = ∫  1 + 2
2 x =0  E
EI
ε 2 
S
 dx

(14)
Dans le cas d’une poutre, nous disposons du résultat suivant :
We =
1 L  N 2 Mf z2 

dx
+
2 ∫x =0  E S E I 
(15)
La confrontation des équations (14) et (15) permet de déterminer l’expression de σ1 et σ2 :
N
S
σ1 =
σ2 =
et
Mf z
S
(16)
Notons que le terme σ2 n’est pas homogène à une contrainte. Il apparaît que ce terme
permettra d’accéder à la valeur du moment fléchissant au point courant M. La loi σ = D ε, à
rapprocher de la loi de Hooke dans la formulation conventionnelle, s’écrit ici :
 σ1   E
σ  =  0
 2 
0   ε1 
E I S ε 2 
(17)
D’où la relation suivante, de la forme σ = D B qe :
 σ1   E
σ  =  0
 2 
0
EI
  N1, x

S  0
0
0
N2 , x
0
N3, x, x
N4 , x, x
0
N5, x, x
u i 
v 
 i
0  θi 
 
N6 ,x, x  u j 
v j 
 
 θ j 
(18)
1.1.3 – Matrice de rigidité de l’élément.
Rappelons que la matrice de rigidité Ke de l’élément e est définie par la relation :
We = ∫
V
1 T
1 eT e e
σ ε dv =
q K q
2
2
(19)
où We est l’énergie de déformation de l’élément. Sachant que σT = qeT BT D et ε = B qe , la
relation (19) induit, de manière générique, que :
(
)
K e = ∫ BT D B dv
V
(20)
Dans notre cas, les termes de B et D sont seulement dépendants de x, nous avons :
[
q eT = u i
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
vi
θi
uj
vj
θj
]
(21)
Ch. 5 – Page 5
Tous calculs faits, la matrice de rigidité élémentaire est de la forme suivante :




K e =





a
0
0
−a
0
12b
6bL
0
0
6bL
4bL2
0
−a
0
0
− 12b
− 6bL
0
0
6bL






12b − 6bL
− 6bL 4bL2 
0
− 12b
− 6bL
0
0
0
a
2
2bL
0
6bL
2bL2
0
avec : a = E S et b = E 3I
L
L
(22)
1.1.4 – Forces nodales.
L’expression de l’énergie potentielle totale associée à l’élément est :
Ve = We - Te =
1 eT e e
q K q − q eT Q e
2
(23)
Qe doit regrouper tous les efforts nodaux qui produisent un travail pendant la déformation.
Dans notre cas, l’expression du travail à considérer est :
(24)
T e = q eT Q e = u i Q ex i + v i Q ey i + θ i M ez i + u j Q ex j + v j Q ey j + θ j M ez j
Dans cette expression, la composante Q ex i représente la force exercée par le nœud i sur
l’élément e dans la direction x et la composante M ez i représente le moment exercé par le
nœud i sur l’élément e autour de la direction z. Nous avons donc :
[
Q eT = Q ex i
Q ey i
M ez i
Q ex j
Q ey j
M ez j
]
(25)
Rappelons que le théorème de l’énergie potentielle totale permet d’établir la relation :
(26)
K e q e = Qe
1.1.5 – Calcul des contraintes et des forces internes.
Les équations vues ci-avant permettent d’établir l’expression des efforts intérieurs au point
courant M :
. force normale :
. moment fléchissant :
N = S σ1 =
ES
(u j − u i ) = Q ex j = −Q ex i
L
Mf z = S σ 2 = E I [N3, x, x
N4 , x, x
N5, x, x
(27)
vi 
θ 
i
N6 , x, x ]  
v j 
 
θ j 
(28)
De même, il est possible d’obtenir l’expression des déformations et des contraintes au point P
de coordonnées (x , y) :
ε xx = ε1 − y ε 2 =
Mf z
N
−y
ES
EI
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
et
ε yy = ε zz = ε xyy = ε zy = 0
(29)
Ch. 5 – Page 6
σ xx = E ε xx =
Mf z
N
−y
S
I
et
(30)
σ yy = σ zz = σ xyy = σ zy = 0
1.1.6 – Chargement réparti.
Dans la MEF, la relation de base K e q e = Q e est obtenue à partir de la propriété T e = q eT Q e .
Cette propriété n’est vérifiée que si on considère que les efforts qui agissent sur l’élément sont
appliqués aux nœuds (structure discrète). Or, dans certains problèmes, il existe des
chargements répartis. Dans le cas de l’élément poutre, il est possible de trouver un
chargement nodal particulier qui produit le même effet, au sens énergétique, que le
chargement réparti.
Supposons que l’élément, en plus du chargement nodal Qe, supporte un chargement réparti
défini au point courant M par :
- une force répartie rx(x) dans la direction x
- une force répartie ry(x) dans la direction y
- un moment réparti mrz(x) autour de la direction z
[
]
Soit r le vecteur des actions réparties : r T = rx ry mrz
Le travail Tr des actions réparties pendant les déplacements que subit l’élément est :
Tr = ∫
L
x =0
[u
 rx 
L
v θ ]  ry  dx = ∫ U T r dx
x =0
mrz 
(31)
(32)
Sachant que U = A qe et que UT = qeT AT, on a :
L
Tr = ∫ q eT A T r dx = q eT
x =0
∫
L
x =0
(33)
A T r dx
Soit Req le vecteur matérialisant un chargement nodal équivalent au chargement réparti, c’est
à dire un chargement qui produit le même travail que le chargement réparti pendant les
déplacements que subit l’élément.
Posons :
[
R Teq = X eq i
Yeq i
M eq i
X eq j
Yeq j
M eq j
]
(34)
Le travail Teq de ce chargement nodal pendant les déplacements que subit l’élément est :
Teq = q eT R eq
(35)
A partir des équations (33) et (35), on établit que l’expression de Req qui permet d’obtenir
l’égalité des travaux Tr et Teq est :
R eq = ∫
L
x =0
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
A T r dx
(36)
Ch. 5 – Page 7
R eq
 X eq i 
Y 
 eq i 
 M eq i 
=

 X eq j 
 Yeq j 


M eq j 
 N1
0

L  0
= ∫ 
x = 0 N2

0

 0
0 
N3, x 
r 
N4 , x   x 
 r dx
0  y 
mr 
N5, x   z 

N6 , x 
0
N3
N4
0
N5
N6
(37)
1.1.7 – Cas où l’élément travaille seulement en flexion simple.
Dans le cas où l’élément de poutre travaille seulement en flexion simple, les différents
vecteurs peuvent être réduits en :
[
q eT = v i
 Mf 
ε = [ε 2 ] =  z  = [N3, x, x
 EI 
θi
vj
N4 , x,x
θj
]
N5, x,x
(38)
vi 
θ 
i
N6 , x, x ]  
v j 
 
θ j 
 E I   Mf z 
σ = [σ 2 ] = 
ε2  = 

S
  S 
(40)
(41)
La matrice de rigidité devient :
 12

E I  6L
e
K = 3 
L − 12

 6L
6L 

4L2 − 6L 2L2 
− 6L 12 − 6L

2L2 − 6L 4L2 
6L
− 12
(42)
1.2 – Formulation en repère global dans le plan (Oxy).
Notons maintenant q e le vecteur déplacement en projection sur les axes (x , y , z ) du repère
local et q e ce même vecteur mais en projection les axes (x , y , z ) du repère global (voir figure
3). De même pour les forces nodales Q e et Q e .
j
y
y
x
i
α
x
Figure 3 – Repère local et repère global
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 5 – Page 8
G 0  e
e
qe = 
q =Hq
0
G


On a :
cosα − sinα 0
G =  sinα cosα 0
0
1
 0
avec :
G 0  e
e
Qe = 
Q =HQ
0
G


et
(43)
et G −1 = G T , H −1 = H T
(44)
Il en résulte que :
(45)
Ke = H Ke HT
1.2.1 – Cas où l’élément travaille en traction et en flexion simple.
Les équations (22) et (45) permettent d’écrire :
 ac 2 + 12bs 2

 acs − 12bcs
 − 6Lbs
Ke = 
2
2
− ac − 12bs
 − acs + 12bcs

 − 6Lbs

acs − 12bcs − 6Lbs − ac 2 − 12bs 2
as 2 + 12bc 2
6Lbc − acs + 12bcs
6Lbc
4L2 b
6Lbs
2
− acs + 12bcs 6Lbs
ac + 12bs 2
− as 2 − 12c 2
− 6Lbs
6Lbc
acs − 12bcs
6Lbs
2
2L b
− acs + 12bcs − 6Lbs 

− as 2 − 12c 2
6Lbc 
− 6Lbs
2L2 b 

acs − 12bcs
6Lbs 
as 2 + 12bc 2 − 6Lbc
− 6Lbc
4L2 b 
(46)
avec : a = E S et b = E 3I
L
L
1.2.2 – Cas où l’élément travaille seulement en flexion simple.
Les équations (42) et (45) permettent d’écrire :
 12s 2
− 12cs

2
 − 12cs 12c
6Lc
E I  − 6Ls
Ke = 3 
2
12cs
L  − 12s
 12cs − 12c 2

 − 6Ls
6Lc

− 6Ls
− 12s 2
12cs
12cs
− 12c
2
6Ls
− 6Ls
6Ls
2
− 12cs
6Lc
4L
12s
2
− 6Ls
− 12cs
12c 2
2L2
6Ls
− 6Lc
− 6Ls 

6Lc 
2L2 

6Ls 
− 6Lc 
4L2 
(45)
2 – ELEMENT DE POUTRE DROITE TRAVAILLANT DANS L’ESPACE
Nous considérons maintenant le cas général de structures à base de poutres droites chargées
aux nœuds par des forces et des moments quelconques.
2.1 – Formulation en repère local.
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 5 – Page 9
Nous isolons un élément et nous nous plaçons dans son repère local. Nous considérons que
l’élément travaille en traction dans la direction x, en torsion autour de x et en { flexion +
cisaillement } dans les deux plans (x , y) et (x , z).
L’extension de l’approche vue au paragraphe précédent conduit à la matrice de rigidité
suivante :
 ES

 L
 0


 0


 0


 0

 0

Ke =
ES
−
 L

 0

 0


 0


 0


 0

0
12EI Z
L3 (1 + φ Y )
0
0
0
12EI Y
L3 (1 + φ Z )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− 6EI Y
L2 (1 + φ Z )
− 12EI Y
L3 (1 + φ Z )
0
0
(4 + φ Z )EI Y
L(1 + φ Z )
0
0
0
0
0
0
0
− 6EI Z
L2 (1 + φ Y )
(2 − φ Z )EI Y
L(1 + φ Z )
0
(4 + φ Y )EI Z
L(1 + φ Y )
6EI Y
L2 (1 + φ Z )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12EI Z
L3 (1 + φ Y )
0
0
0
0
6EI Y
L2 (1 + φ Z )
− 6EI Z
L2 (1 + φ Y )
0
6EI Y
L2 (1 + φ Z )
− 12EI Y
L3 (1 + φ Z )
0
0
− 6EI Y
L2 (1 + φ Z )
0
GJ
−
L
0
0
(2 − φ Z )EI Y
L(1 + φ Z )
0
0
ES
L
0
0
0
0
(2 − φ Y )EI Z
L(1 + φ Y )
0
0
12EI Y
L3 (1 + φ Z )
0
0
0
0
0
− 6EI Z
L2 (1 + φ Y )
6EI Y
L2 (1 + φ Z )
0
GJ
L
0
0
0
(4 + φ Z )EI Y
L(1 + φ Z )
0
0



6EI Z

2
L (1 + φ Y ) 


0


0



0


(2 − φ Y )EI Z 
L(1 + φ Y ) 


0

− 6EI Z 

L2 (1 + φ Y ) 

0



0


0


(4 + φ Y )EI Z 
L(1 + φ Y ) 
0
0
0
GJ
L
0
0
0
6EI Z
L2 (1 + φ Y )
0
− 6EI Y
L2 (1 + φ Z )
− 12EI Z
L3 (1 + φ Y )
0
0
− 6EI Y
L2 (1 + φ Z )
0
0
6EI Z
L2 (1 + φ Y )
0
0
0
− 12EI Z
L3 (1 + φ Y )
ES
L
0
0
0
0
−
0
GJ
−
L
0
6EI Z
L2 (1 + φ Y )
0
u
v
i
i
w
θ
θ
θ
xi
yi
zi
u
v
w
θ
θ
θ
i
j
j
j
xj
yj
zj
avec φ Y = 12EI Z 2 , φ Z = 12EI Y 2
k Y GSL
k Z GSL
k Y et k Z sont des coefficients de forme de la section pour le cisaillement.
2.2 – Formulation en repère global.
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 5 – Page 10