DS commun mai

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classe : . . . . . . . . . . . .
Devoir de mathématiques - 2A-B 19\05\15
Calculatrice autorisée
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une
part importante dans l’appréciation des copies.
Les résultats seront encadrés - un barème probable est donné pour un total de 40 points.
Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre que vous voulez.
EXERCICE 1 QCM
(3 points)
Pour chaque question, il n’y a qu’une seule bonne réponse. Indiquer sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondante à la réponse choisie.On ne demande aucune justification.
1. La forme développée de (2x + 5) (x − 1) est :
2. La forme factorisée de
1
+ x + x 2 est :
4
A
B
C
2x 2 + 3x − 5
¶2
µ
1
+x
4
3x + 4
¶2
µ
1
+x
2
2x 2 + 5x − 5
¶µ
¶
µ
1
1
−x
+x
2
2
4x 2 + 1
2x 2 + 4x + 1
4x 2 + 4x + 1
3 (2x + 1) (x + 1)
p
2
cosx = −
2
π
x=
6
(2x + 1) (3x + 2)
p
3
cosx =
2
5π
x=
6
(2x + 1) (5x + 3)
p
3
cosx = −
2
17π
x=
6
3. La forme développée de (2x + 1)2 est :
4. La forme factorisée de (2x + 1) (3x + 2)+2x +1 est :
hπ h
1
;π :
5. Sachant : si nx = et x ∈
2
2
hπ h
1
;π :
6. Sachant : si nx = et x ∈
2
2
EXERCICE
2 Inéquation
(4, 5 points)
−3x − 5
1
−1 =
.
1. Montrer que, pour tout nombre réel x 6= −2 :
3x + 6
3x + 6
−3x − 5
2. Dresser le tableau de signes de
en fonction de x.
3x + 6
1
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation :
≤ 1.
3x + 6
EXERCICE 3 Positions relatives de deux courbes
Voici la droite (d ) représentant la fonction g d’expression
g (x) = 6x + 30 et la parabole P représentant la fonction f
d’expression f (x) = −4x 2 + 30x + 10.
1. Démontrer que rechercher l’intervalle sur lequel P est
au-dessus de (d ) revient à résoudre l’inéquation :
−4x 2 + 24x − 20 ≥ 0
2. Vérifier que, pour tout réel x :
−4x 2 + 24x − 20 = 16 − 4 (x − 3)2
3. Étudier le signe de : −4x 2 + 24x − 20.
4. Conclure.
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(6, 5 points)
EXERCICE 4 Intervalle de fluctuation
(4 points)
Une chaîne de production fabrique des pièces détachées pour l’industrie automobile.
On considère comme normal le fait que 37% de ces pièces détachées présentent des imperfections sans
gravité.
Sur un échantillon de 200 pièces fabriquées par cette chaîne, 86 présentent de telles imperfections. Au vu
de cet échantillon, faut-il envisager de faire réviser la chaîne de production ?
EXERCICE 5
(8 points)
Ci-dessous est donnée la représentation graphique (C ) ( en tirets ou en trait continu) d’une fonction f sur
l’intervalle [0; 11].
Pour tout x de [0; 11], f (x) représente la hauteur d’eau ( exprimée en mètres) à l’entrée d’un port à l’instant
x ( exprimé en heure).
Les points de la courbe marqués d’une croix sont à coordonnées entières.
Partie A
1. Quelle est la hauteur d’eau à 5h ?
2. Quand la hauteur d’eau sera-t-elle égale à 10, 5m ?
3. Pour rentrer dans ce port, un cargo a besoin d’une hauteur d’eau d’au moins 4m. Quand peut-il rentrer
dans ce port ?
4. Donner le tableau de variations complet de f sur [0; 11].
Partie B
On admet que, sur l’intervalle [0; 5], il existe trois réels a, α et β tels que : f (x) = a (x − α)2 + β.
1. Montrer que : α = 2 et que β = 11 en justifiant soigneusement.
1
2. Montrer que : a = − en justifiant soigneusement.
2
3. En déduire l’expression de f (x) sur [0; 5].
Partie C
On admet que , sur l’intervalle [5, 11] , f est une fonction polynôme. Déterminer , en justifiant, l’expression
de f (x) sur cet intervalle.
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EXERCICE 6
On considère les points B ,D, E associés aux réels suivants :
µ ¶ ³
³π´
7π
−π ´
;D
;E
B
6
6
2
(8 points)
1. Soit (O, I , J ) un repère orthonormé et (C ) le cercle trigonométrique.Placer ces points sur (C ).( graphique
à compléter ci-dessous)
2. Montrer que le triangle B J E est rectangle en B .
3. Soit (d ) la droite perpendiculaire à (O J ) passant par B , soit H le point d’intersection de (d ) et de (O J ).
a. Placer H , puis donner les coordonnées des points B et H ?
b. Calculer la valeur exacte de B J .
c. En déduire la valeur exacte de B E .
8π
−19π
13π
;y=
;z=
.
4
3
6
Placer sur (C ) les points X , Y et Z images de ces réels.
4. On considère les réels : x =
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EXERCICE
7 Étude d’un algorithme
L’algorithme ci-contre simule la course du lièvre
et de la tortue à l’aide d’un dé.
T représente la position de la tortue et L
celle du lièvre. L’algorithme établit une règle
de jeu concernant le déroulement de la course
entre ces deux compères.
1. Quelles sont les valeurs possibles de D ?
( ligne 4)
2. Que font les lignes 1 et 2 ?
3. Expliquer le rôle de la boucle "Si ....FinSi"
( lignes 5 à ligne 8)
4. Combien au minimum de lancers de dés
sont nécessaires pour que la tortue gagne ?
EXERCICE
8 Problème ouvert
(3 points)
1
Affecter 0 à L
2
Affecter 0 à T
3
Tant que L < 6 et T < 6
4
Affecter un entier aléatoire entre 1 et 6 à D
5
Si D = 6
6
Alors affecter 6 à L
7
Sinon affecter T + 1 à T
8
FinSi
9
Fin Tant que
10
Si L = 6
11
Alors afficher "le lièvre a gagné"
12
Sinon afficher "la tortue a gagné"
13
Fin Si
(3 points)
Toute trace de raisonnement est à laisser afin d’évaluer la pertinence de votre démarche.
Les légionnaires romains, sur le champ de bataille, se disposaient en carré pour une plus grand efficacité.La
compagnie de Brutus était telle que si elle avait comporté 36 hommes de plus, le carré ainsi formé aurait eu
2 rangées de plus.
Combien d’hommes comporte cette compagnie ?
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Correction de DS2h du mardi 19/05/2015
Exercice 1 : QCM : 1-A
2-B
3-C
4-A
5-C
6-B
Exercice 2 : Inéquation
1. Pour tout nombre réel
:
Signe de
Signe de
Exercice 3 : Positions relatives
La droite
représentant la fonction
d’expression
1.
est au-dessus de
d’expression
et la parabole
représentant la fonction
si et seulement si
Or
est au-dessus de
2. Pour tout réel
:
3.
donc
est du signe de
Signe de
Signe de
Signe de
4.
est au-dessus de
et
0
si
sont sécantes si
1
Exercice 4 : Intervalle de fluctuation
Une chaîne de production fabrique des pièces détachées pour l’industrie automobile.
Pour vérifier si la chaîne de production nécessite une révision, on peut déterminer l’intervalle de fluctuation au
seuil de 95 % et regarder si l’échantillon appartient à cet intervalle.



On considère comme normal le fait que
de ces pièces détachées présentent des imperfections sans
gravité donc
L’étude est faite sur un échantillon de
pièces donc
.
Sur un échantillon de
pièces fabriquées par cette chaîne,
présentent de telles imperfections donc
Les conditions de calcul de l’intervalle de fluctuation au seuil de
sont remplies
, la chaîne de production ne nécessite pas de révision
Exercice 5 : Ci-dessous est donnée la représentation graphique
(en tirets ou en trait continu) d’une fonction
sur l’intervalle
Pour tout de
) représente la hauteur d’eau (exprimée en mètres) à l’entrée d’un port à l’instant
(exprimé en heure).
Les points de la courbe marqués d’une croix sont à coordonnées entières.
Partie A
1. A
, la hauteur d’eau est de
2. La hauteur d’eau sera égale à
.
à
et
3. Il rentrer peut rentrer dans ce port entre
.
puis entre
.
4.
11
6,5
9
2
Partie B
On admet que, sur l’intervalle
il existe trois réels
tels que :
1. Sur l’intervalle
est une fonction polynôme du second degré dont la forme canonique est :
avec extremum atteint pour
.
Or la courbe nous indique que admet un maximum sur l’intervalle
qui est
atteint pour
2. le point
appartient à
On sait d’après 1. que
donc
donc
2
3.
Partie C Déterminer, en justifiant, l’expression de
Sur
sur
.
:



La courbe est une parabole donc la fonction
admet un minimum
atteint pour
Le point
appartient à
donc
est de la forme
donc
soit
.
Donc
Exercice 6 : On considère les points B, J, D, E associés aux réels suivants :
1. cf. figure
2.
est un triangle inscrit dans un cercle dont un des côtés
triangle
est rectangle en .
3. Soit
la droite perpendiculaire à
b. Méthode 1 : Pythagore
Le triangle
est rectangle en
D’après le théorème de Pythagore :
passant par , soit
est un diamètre de ce cercle. Donc le
le point d’intersection de
et de
.
b. Méthode 2 : propriété du triangle isocèle
avec :
Le triangle
est isocèle en
avec
et
Donc
Si un triangle isocèle admet un angle de 60°, alors il
est équilatéral.
Donc
Le côté
Le côté
mesure
est un triangle équilatéral.
mesure
unité
unité
On peut également résoudre cette question avec les coordonnées des points
3
c. En déduire la valeur exacte de BE.
Le triangle
est rectangle en
avec :
D’après le théorème de Pythagore :
Le côté
mesure
unité
cf figure
Exercice 7 : Étude d’un algorithme
L’algorithme ci-contre simule la course du lièvre et de la tortue à l’aide d’un dé.
T représente la position de la tortue et L celle du lièvre. L’algorithme établit une règle de jeu concernant le
déroulement de la course entre ces deux compères.
1. D peut prendre les valeurs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
2. Les lignes 1 et 2 initialisent les variables L et T
3. La boucle "Si ....FinSi" (lignes 5 à ligne 8) permet de simuler les déplacements du lièvre et de la tortue
Si le dé tombe sur 6, le lièvre avance de 6 cases (L= 6).
Sinon, la tortue avance d’une case (T augmente de 1)
4. Il faut 6 lancers de dés pour que la tortue gagne .
Exercice 8 : Problème ouvert
On suppose que
hommes de plus.
est le carré formé par la compagnie de Brutus et
Si on admet que sur le côté
il y a
Alors, dans le carré
il y aura
Donc, dans le carré
+ ).
il y aura
le carré qu’elle formerait avec 36
hommes :
hommes et sur le coté
il y aura
hommes qui doit être égal à
hommes.
hommes (nombre d’hommes dans
Il faut donc résoudre
Il y a 8 hommes sur le côté du carré formé par les légionnaires de Brutus, sa compagnie comporte
hommes.
4