Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Di érentielles

Université de Nice-Sophia Antipolis
Mémoire de Master 1 de Mathématiques
Année 2006-2007
Théorèmes du Point Fixe
et
Applications aux Equations Diérentielles
Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER
Responsable : Erwann AUBRY
1
Table des matières
1 Introduction
2 Le premier théorème du point xe
2.1
2.2
2.3
2.4
Un Théorème du Point Fixe Métrique
Le Théorème de Cauchy-Lipschitz . .
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le Théorème d'Inversion Locale . . . .
4
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Un Théorème du Point Fixe Topologique .
3.1.1 Rétractions . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Le cas K = Bf (0, 1) . . . . . . . .
Le Théorème de Schauder . . . . . . . . .
Le Théorème de Cauchy-Arzela . . . . . .
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3 Le Deuxième Théorème du Point Fixe
3.1
3.2
3.3
4 Annexes
4.1
4.2
4.3
Diérents outils utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Démonstration du Théorème 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une autre démonstration du théorème de Brouwer en dimension 2 . . . . . . . . .
2
4
4
5
7
8
10
10
10
12
13
13
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15
15
17
Notations
B(x0 , r) est la boule ouverte de centre x0 et de rayon r
Bf (x0 , r) est la boule fermée centrée en x0 et de rayon r
est l'intérieur de K
A est l'adhérence de A
S(x0 , r) est la sphère de centre x0 et de rayon r
C 0 (E, F ) est l'ensemble des fonctions continues de E dans F
Cb0 (E, F ) est l'ensemble des fonctions continues et bornées de E dans F
K
3
1 Introduction
Dans ce rapport, on étudie les théorèmes du point xe de Picard et de Schauder, et quelques unes
de leurs applications (aux équations diérentielles et au problème d'inversion locale). Etant donnés
un ensemble E et une application f : E → E , ces théorèmes donnent certaines conditions sous
lesquelles f admet un point xe dans E . Ces théorèmes sont importants dans les mathématiques
car il y a plusieurs applications, par exemple pour trouver les racines d'un polynôme, ou pour
montrer l'existence des solutions numériques des équations diérentielles.
Le Théorème du Point Fixe de Picard dit qu'une contraction d'un espace métrique complet a
un point xe unique. Ce théorème donne un comportement régulier du point xe par rapport aux
paramètres. De plus, il fournit un algorithme d'approximation du point xe comme limite d'une
suite itérée. Mais d'une part, montrer que la fonction est contractante peut entraîner de laborieux
calculs. D'autre part, les conditions sur la fonction et l'espace étudiés restreignent le nombre de
cas auxquels on peut appliquer le théorème.
Le Théorème du Point Fixe de Schauder est plus topologique et arme qu'une application
continue sur un convexe compact admet un point xe, qui n'est pas nécessairement unique. Il
n'est pas donc nécessaire d'établir des estimées sur la fonction, mais simplement sa continuité.
Ceci nous donne la possibilité de traiter plus de cas qu'avec le Théorème de Picard (par exemple,
l'identité). Par contre, ce théorème ne donne aucun des avantages du théorème précédent.
On applique dans ce rapport ces théorèmes au Problème de Cauchy : étant données une condid
x = f (x, t), existe-il une solution, et est-elle
tion initiale (x0 , t0 ) et une équation diérentielle dt
unique ? Les réponses à ces questions sont données par le théorème de Cauchy-Lipschitz (si f est
localement Lipschitzienne) et de Cauchy-Arzela (si f est seulement continue). On retrouve que ces
comportements diérents résultent des diérences entre les théorèmes du point xe de Picard et
de Schauder.
Une autre application du Théorème de Picard dans ce rapport est la démonstration du Théorème
d'Inversion Locale. En eet, on montre qu'une certaine fonction est une bijection en utilisant le
Théorème de Picard pour montrer l'existence (surjectivité) et l'unicité (injectivitié) d'un point
xe. Dans ce cas, il était possible de construire une contraction ; par contre, on ne pourrait pas
appliquer le Théorème de Schauder car on a besoin de l'unicité.
2 Le premier théorème du point xe
2.1 Un Théorème du Point Fixe Métrique
Ce théorème donne l'existence et l'unicité d'un point xe pour une contraction sur un espace
métrique complet.
Théorème 1 (Picard). Soient (E, d) un espace métrique complet et ϕ : E → E une application
contractante, i.e. Lipschitzienne de rapport k < 1.
Alors, ϕ admet un unique point xe a ∈ E . De plus, pout tout point initial x0 ∈ E , la suite itérée
(xp )p∈N , avec x0 ∈ E quelconque et xp+1 := ϕ(xp ) converge vers a. [1]
Démonstration. On montre d'abord l'unicité d'un point xe, puis son existence.
1. Unicité : Supposons qu'il existe a, b ∈ E , a 6= b, tels qu'on ait ϕ(a) = a et ϕ(b) = b.
Alors on a d(ϕ(a), ϕ(b)) = d(a, b) et donc d(ϕ(a),ϕ(b))
= 1 > k ce qui contredit le fait que f
d(a,b)
soit k -Lipschitzienne.
4
2. Existence : Soit x0 un point initial quelconque et (xp ) la suite itérée associée. On a d(xp , xp+1 ) =
d(ϕ(xp−1 ), ϕ(xp )) ≤ kd(xp−1 , xp ). On va montrer par récurrence sur p que d(xp , xp+1 ) 6
k p d(x0 , x1 ) (P) :
Initialisation : Evident pour p = 0.
Généralisation : supposons que pour un certain entier p quelconque mais xé on ait la
propriété (P). Alors
d(xp+1 , xp+2 ) = d(ϕ(xp ), ϕ(xp+1 ))
≤ kd(xp , xp+1 )
≤ k · k p d(x0 , x1 )
≤ k p+1 d(x0 , x1 )
ce qui achève la récurrence.
On a alors ∀q > p :
d(xp , xq ) ≤
q−1
X


q−1
X
d(xl , xl−1 ) ≤ 
k l  d(x0 , x1 )
l=p
l=p
Pq−1
P∞
kp
kp
, d'où d(xp , xq ) ≤ 1−k
d(x0 , x1 ). On
De plus, pour tout p > q , l=p k l ≤ l=p k l = 1−k
en déduit alors que (xp ) est une suite de Cauchy. Comme (E, d) est complet, la suite (xp )
converge vers un point limite a ∈ E . De plus on a ϕ(xp ) → ϕ(a) quand p → +∞ car ϕ est
continue et ϕ(xp ) = xp+1 . Or xp+1 → a quand p → +∞, d'où par unicité de la limite on a
ϕ(a) = a.
Contre-exemples.
réellement nécessaire.
Les exemples suivant montrent que chacune des hypothèses du théorème est
√
1. X n'est pas stable par f : f (x) = x2 + 1 sur X = [0, 1].
Or X est fermé dans R, et complet car R est complet. De plus, f 0 (x) =
√ x
x2 +1
< 1 ⇒
√
supx∈X |f (x)| < 1 ⇒ f est contractante. Mais f n'a pas de point xe car f ([0, 1]) = [1, 2],
i.e. X n'est pas stable par f .
√
2. f n'est pas contractante : f (x) = x2 + 1 sur X = [0, ∞[.
Or f : X → X , et X est un fermé de R. R est complet donc X est complet. Mais
supx∈X |f 0 (x)| = 1 donc f n'est pas contractante.
0
3. X n'est pas complet : f (x) =
√
sin(x)
2
sur X =]0, Π4 ].
Or f (]0, Π4 ]) =]0, 42 ] ⊂]0, Π4 ], et supx∈X |f 0 (x)| =
n'est pas fermé dans R donc pas complet.
1
2
< 1 ; donc, f est contractante. Mais X
2.2 Le Théorème de Cauchy-Lipschitz
Ce théorème est une application du théorème 2.1. En eet, nous verrons qu'une façon de le
démontrer est d'appliquer le théorème précédent avec E un ensemble de fonctions et ϕ une application bien choisie.
Soient U un ouvert de R×Rm et f : U → Rm une application continue. On introduit le problème
de Cauchy (C) suivant :
Etant donné (t0 , y0 ) ∈ U , trouver une solution y : I ⊂ R → Rm de l'équation diérentielle (E)
y 0 = f (t, y), (t, y) ∈ U telle que t0 ∈ I et y(t0 ) = y0 .
et r0 > 0. On dit que C
avec I ⊂ [t0 − T, t0 + T ] reste contenue dans Bf (y0 , r0 ).
Dénition 1.
Soient T
> 0
= [t0 − T, t0 + T ] × Bf (y0 , r0 )
est un
cylindre de sécurité pour (C) si toute solution y : I → Rm du problème de Cauchy y(t0 ) = y0
5
f est localement Lipschitzienne par rapport à la variable y sur U si ∀(r0 , y0 ) ∈
, il existe un voisinage V de (r0 , y0 ) dans U et une constante k = k(V ) telle que ∀(t, y1 ), (t, y2 ) ∈
, on ait kf (t, y1 ) − f (t, y2 )k ≤ kky1 − y2 k.
Théorème 2 (Cauchy-Lipschitz). Si f : U → Rm est continue et localement Lipschitzienne par
rapport à y sur U , alors pour tout cylindre de sécurité C = [t0 − T, t0 + T ] × Bf (y0 , r0 ), le problème
de Cauchy admet une unique solutionR ty : [t0 − T, t0 + T ] → U .
De plus, si on pose Φ(y)(t) = y0 + t f (u, y(u))du, il existe p ∈ N tel que la suite itérée Φp (z)
converge uniformément vers la solution exacte. [1]
Démonstration. On commence par construire un cylindre de sécurité pour (C).
Dénition 2.
U
V
0
Soit V un voisinage de (t0 , y0 ) sur lequel f est k -Lipschitzienne par rapport à y , et soient
T0 > 0 et C0 = [t0 − T0 , t0 + T0 ] × B(y0 , r0 ) ⊂ V un cylindre. C0 est un fermé borné de Rm+1 donc
compact, et on en déduit alors que f est bornée sur C0 .
r0
). On va montrer que C = [t0 −
Soit M = sup(t,y)∈C0 kf (t, y(t))k. On pose T = min(T0 , M
T, t0 + T ] × Bf (y0 , r0 ) est un cylindre de sécurité pour (C).
Soit y : I ⊂ [t0 − T0 , t0 + T0 ] → Rm avec y(t0 ) = y0 et y 0 = f (t, y) ∀t ∈ I . Supposons
qu'il existe τ ∈ [t0 , t0 + T [ tel que y(τ ) n'appartient pas à Bf (y0 , r0 ). De plus, supposons que
J = {t ∈ [t0 , to + T [ : y(t) ∈
/ Bf (y0 , r0 )} soit non vide. On pose τ = inf J . Alors ∀t ∈ [t0 , τ [ on a
y(t) ∈ Bf (y0 , r0 ), et de plus d(y0 , y(τ )) = r0 . Comme (t, y(t)) ∈ C0 , ∀t ∈ [t0 , τ ] et y 0 = f (t, y) on
a, par le Théorème des Accroisements Finis,
r0 = ky0 − y(τ )k = ky(t0 ) − y(τ )k ≤ |t0 − τ | sup |y 0 (t)| < M · T ≤ r0 .
t∈[t0 ,τ ]
Donc par passage à la limite (Bf (y0 , r0 ) étant fermé) on a y(t) ∈ Bf (y0 , r0 ) ∀t ∈ [t0 , t0 + T ] ∩ I .
De même on montre que y(t) ∈ Bf (y0 , r0 ) ∀t ∈ [t0 − T, t0 ] ∩ I et donc y(t) ∈ Bf (y0 , r0 ) ∀t ∈ I .
Dans la suite on travaille avec ce cylindre de sécurité. On remarque que par construction on
a supC |f | = M et f est k -Lipschitzienne par rapport à y sur C . On note F = C 0 ([t0 − T, t0 +
T ], B(y0 , r0 )) muni de la distance d = k.k∞ .
∀y ∈ F on associe Φ(y) dénie par :
Z
t
Φ(y)(t) = y0 +
f (u, y(u))du
t0
On montre d'abord l'équivalence suivante : y
est solution de (E) ⇔ y est un point xe de Φ :
(⇐) Supposons que y est un point xe de Φ. Alors ∀y ∈ F on a Φ(y) = y d'où y(t) =
Rt
y0 + t0 f (u, y(u))du. Or f est continue sur U donc y est continue sur U . De plus, y est dérivable sur [T0 − t, T0 + t] et sa dérivée égale f (t, y(t)), i.e. y 0 (t) = f (t, y(t)). On a aussi y(t0 ) =
Rt
y0 + t00 f (u, y(u))du = y0 . Donc f est solution du problème de Cauchy (C).
(⇒) Supposons maintenant que y est solution de (E). On a alors y 0 (t) = f (t, y(t)) et y(t0 ) = y0 .
On peut intégrer y 0 par rapport à u car y 0 (u) = f (u, y(u)) et u 7→ f (u, y(u)) est continue sur un
segment et donc intégrable sur ce même segment. Alors on obtient :
Z t
Z t
u=t
y 0 (u)du =
f (u, y(u))du = [y(u)]u=t
= y(t) − y(t0 ) = y(t) − y0
0
t0
t0
Donc, on a bien y(t) = y0 +
Rt
t0
f (u, y(u))du = Φ(y)(t) et donc y est point xe de Φ.
6
On veut appliquer le théorème du point xe à Φp (pour p bien choisi).
1. On montre d'abord que Φ est une application de F dans F . Pour cela on montre que Φ(y)(t) ∈
Bf (y0 , r0 ) ∀t ∈ [t0 − T, t0 + T ]. Soit y ∈ F . On remarque que si t ∈ [t0 − T, t0 + T ],
t
Z
kΦ(y)(t) − y0 k = k
f (u, y(u))du k
Z
t0
t
kf (u, y(u))kdu
≤
t0
Z
t
≤M
du
t0
≤ M |t − t0 |
≤ M · T ≤ r0
Donc ∀t ∈ [t0 −T, t0 + T ], Φ(y)(t) ∈ Bf (y0 , r0 ) d'où Φ(y) ∈ F et on a évidemment la stabilité
de F par Φp .
2. On montre maintenant que Φp est contractante. Soient y, z ∈ F . On note yp = Φp (y) et
zp = Φp (z), ∀p ∈ N∗ . Par récurrence sur p on montre qu'on a :
kyp (t) − zp (t)k ≤ k p
|t − t0 |p
d(y, z)
p!
(HR)
Initialisation : C'est évident dans le cas p = 0.
Généralisation : Supposons que pour un certain entier p quelconque mais xé on ait (HR).
Alors
Z t
kyp+1 (t) − zp+1 (t)k ≤ |
kkyp (u) − zp (u)kdu |
t0
t
|u − t0 |p
d(y, z)du | (par (HR))
p!
t0
Z t
k p+1
≤
d(y, z)|
|u − t0 |p du |
p!
t0
u=t
k p+1
|u − t0 |p+1
|t − t0 |p+1
=
d(y, z)|
| = k p+1
d(y, z)
p!
p+1
(p + 1)!
u=t0
Z
≤|
k.k p
ce qui achève la récurrence.
p
Comme |t − t0 | ≤ T , on a d(yp , zp (t)) ≤ k p Tp! d(y, z), donc Φ est lipschitzienne de rapport
p
p
p
k p Tp! . Et il existe un p ∈ N∗ tel que k p Tp! < 1 (car limp→+∞ k p Tp! = 0). Donc, pour q ≥ p,
Φq est contractante.
3. Le théorème 12 nous donne la complétude de F .
On déduit du théorème 2.1 que Φq admet un unique point xe y . De plus Φq (Φ(y)) =
Φ(Φq (y)) = Φ(y) donc Φ(y) est un point xe de Φq , et par unicité du point xe de Φq on a
Φ(y) = y . Comme les points xes de Φ sont des points xes de Φq on en déduit que y est l'unique
point xe de Φ. Finalement, y est l'unique solution de (E).
2.3 Exemple
y 0 = 3|y|2/3 sur U = R × R.
7
On veut déterminer l'ensemble des solutions maximales. On a f (t, y) = 3|y|2/3 donc f est
−1/3
, pour
continue sur R2 et diérentiable sur R × (R \ {0}). De plus on a ∂f
∂y = signe(y) × 2|y|
∗
y 6= 0. La dérivée ∂f
∂y est donc continue sur R × R . La fonction f est localement Lipschitzienne
en y sur {y > 0} et {y < 0}, mais elle ne l'est pas au voisinage des points (t0 , 0) ∈ R × {0}. Soit
(y, ]A, B[) une solution dans U = R × R. Alors y 0 ≥ 0, donc y est croissante. On note
a := inf{t ∈]A, B[: y(t) = 0},
b = sup{t ∈]A, B[: y(t) = 0}.
Si a 6= A, on a y(a) = 0 et y(t) < 0 pour t < a. Donc, sur l'intervalle ]A, a[, l'équation
diérentielle est équivalente à 31 y 0 (+y)−2/3 = 1, d'où y 1/3 (t) − y 1/3 (a) = t − a, et alors y(t) =
(t − a)3 . De même y(t) = (t − b)3 pour t > b si b 6= B .
1/3
On en déduit que si y0 < 0 alors pour tout b ∈ [t0 − y0 , +inf ty[, la fonction
yb : R → R

1/3

 (t − t0 + y0 )3
t 7→
0


(t − b)3
1/3
si t ≤ t0 − y0
1/3
si t0 − y0 ≤ t ≤ b
si t ≥ b
est une solution (nécessairement maximale) de l'équation y 0 = 3|y|2/3 et on obtient ainsi toutes
les solutions maximales du problème de Cauchy associées à (t0 , y0 ) (pour y0 < 0).
De même, si y0 > 0 alors les solutions maximales du problème de Cauchy associées à (t0 , y0 ) sont
les fonctions de la forme :
yb : R → R


(t − a)3

0
t 7→

 (t − t + y 1/3 )3
0
0
si
si
si
t≤a
1/3
a ≤ t ≤ t0 − y0
1/3
t ≥ t0 − y0
1/3
pour tout a ∈] − ∞, t0 − y0 ].
Si y0 = 0 alors les solutions maximales associées à (t0 , 0) sont de la forme :
yb : R → R

 (t − a)3
0
t 7→

(t − b)3
si
si
si
t≤a
a≤t≤b
t≥b
pour tout a ∈] − ∞, t0 ] et tout b ∈ [t0 , +∞[.
On constate sur cet exemple que la condition Lipschitzienne suf f est nécessaire pour avoir
l'unicité locale dans le théorème de Cauchy-Lipschitz. Dans cet exemple on a pas l'unicité globale
des solutions du problème de Cauchy. Ceci est dû au fait qu'en y ≤ 0, f n'est plus Lipschitzienne
mais seulement continue. On verra en section 3.3 que si f est C 0 , alors on peut toujours démontrer
l'existence locale de solutions au problème de Cauchy.
2.4 Le Théorème d'Inversion Locale
Ici encore ce théorème est une application du théorème 2.1 qu'on appliquera à une certaine
fonction dans une partie de la démonstration.
Soient E , F deux espaces de Banach, U ⊂ E ouvert, a ∈ U , f : U → F une
application. On dit que f est diérentiable en a s'il existe ϕ ∈ Lc (E, F ) (i.e. ϕ est linéaire et
continue) telle que
f (a + h) = f (a) + ϕ(h) + o(khk) lorsque h → 0
Dénition 3.
8
Si ϕ existe, elle est unique et est appellée la diérentielle de f en a et est notée dfa .
Si f est diérentiable en tout point de U , on dit que f est diérentiable sur U . Alors l'application
df : U → Lc (E, F ) : a 7→ dfa est appellée l'application diérentielle de f . Si df est continue,
on dit que f est de classe C 1 (U ).
Théorème 3 (Inversion Locale). Soient :
E , F deux espaces de Banach
U ⊂ E ouvert
f : U → F une application de classe C 1
a ∈ U tel que dfa soit continu et inversible (et donc dfa−1 est continue)
Alors, il existe un voisinage ouvert V de a et un voisinage ouvert W de f (a) tels que :
1. la restriction f|V de f à V est une bijection de V sur W
2. l'application inverse g : W → V est continue
3. g est de classe C 1 et ∀x ∈ W , dgf (x) = dfx−1 [3]
Démonstration. On munit Lc (E, F ) de la norme |||u||| = supkxk=1 ku(x)k. Quitte à remplacer f
par la fonction x 7→ dfx−1 [f (a + x) − f (a)], on peut se ramener au cas où a = 0, f (a) = 0, et
df0 = dfa = IdE (et donc E = F ).
Comme f est de classe C 1 , il existe r > 0 tel que B(0, r) ⊂ U et |||dfx − df0 ||| = |||dfx − IdE ||| ≤ 21
pour tout x ∈ B(0, r). On désigne u := IdE − dfx , donc dfx = IdE − u avec |||u||| ≤ 21 . Alors, dfx est
P+∞
un isomorphisme bicontinu qui, d'après la proposition 1 (en Annexes), vérie dfx−1 = n=0 un , et
donc
+∞
+∞
X
X
1
2n+1 − 1
|||dfx−1 ||| ≤
|||u|||n ≤
=
lim
=2
n→+∞
2n
2n
n=0
n=0
1. On va montrer que la restriction de f à un voisinage ouvert de 0 dans B(0, r) est une bijection
sur B(0, 2r ). Soit y ∈ B(0, 2r ). On considère la fonction
h : Bf (0, r) → E
x 7→ y + x − f (x)
Il est clair que h est de classe C 1 ; de plus, ∀x ∈ B(0, r), |||dhx ||| = |||IdE − dfx ||| ≤ 21 . Donc,
d'après le Théorème des Accroisements Finis,
∀x, x0 ∈ Bf (0, r), kh(x) − h(x0 )k ≤
1
kx − x0 k
2
(1)
En particulier, pour x0 = 0, on a kx − f (x)k = kh(x) − h(0)k ≤ 21 kxk, donc
1
r
r
∀x ∈ B(0, r), kh(x)k ≤ kyk + kx − f (x)k ≤ kyk + kxk < + = r
2
2 2
Ainsi, h est une fonction de Bf (0, r) dans B(0, r) ⊂ B(0, 1). Comme de plus h est 21 Lipschitzienne d'après (1), d'après le théorème 2.1, ∃!x ∈ Bf (0, r) tel que h(x) = x, c'est-àdire tel que f (x) = y . Comme x = h(x) et que h est à valeurs dans B(0, r), on en déduit que
x ∈ B(0, r).
Alors, pour tout y ∈ B(0, 2r ), ∃! x ∈ B(0, r) tel que f (x) = y . On dénit V := f −1 (B(0, 2r )) ∩
B(0, r). V est un voisinage de 0 car f (0) = 0 et f est continue sur B(0, r). En notant
W := B(0, 2r ), on a alors f|V : V → W est une bijection.
2. On note g : W → V l'application inverse. On utilise de nouveau h, cette fois-ci avec y = 0,
et donc ∀x ∈ U , x = h(x) + f (x). Alors, ∀x, x0 ∈ B(0, r),
kx − x0 k ≤ kh(x) − h(x0 )k + kf (x) − f (x0 )k ≤
9
1
kx − x0 k + kf (x) − f (x0 )k
2
Donc, kx − x0 k ≤ 2kf (x) − f (x0 )k. On en déduit que ∀y, y 0 ∈ W ,
kg(y) − g(y 0 )k ≤ 2 kf (g(y)) − f (g(y 0 ))k = 2ky − y 0 k
(2)
g est donc Lipschitzienne et par conséquent continue.
3. On xe x ∈ V et on pose y = f (x) ∈ W . Il existe r0 > 0 tel que B(y, r0 ) ⊂ W , et pour tout
w ∈ B(0, r0 ), on pose v = g(y + w) − g(y). Donc, d'après (2), kvk ≤ 2kwk, et
∆(w) = g(y + w) − g(y) − dfx−1 (w)
= v − dfx−1 f (x + v) − f (x)
= −dfx−1 f (x + v) − f (x) − dfx (v) .
Comme |||dfx−1 ||| ≤ 2, on obtient k∆(w)k ≤ 2kf (x + v) − f (x) − dfx (v)k = 2kvkε(v) avec
limv→0 ε(v) = 0. Donc,k∆(w)k ≤ 4kwkε (g(y + w) − g(y)) = 4kwkε0 (w).
Comme g est continue, limw→0 ε0 (w) = 0. Alors, k∆(w)k = o(kwk). Donc, g est diérentiable
en y et dgy = dfx−1 . Enn, comme dfx−1 est continue (car f est de classe C 1 et que L ∈
GL(E) 7→ L−1 ∈ GL(E) est continue), la fonction dg : y 7→ dgy est continue. Ainsi, g est de
classe C 1 .
3 Le Deuxième Théorème du Point Fixe
3.1 Un Théorème du Point Fixe Topologique
Les résultats de cette section sont issus du livre [4].
Ce théorème donne l'existence d'un point xe (mais pas nécessairement l'unicité) pour une
fonction continue sur une boule fermé dans un espace de dimension nie.
Soit K une partie non vide, compacte et convexe de Rn et f : K → K une fonction
continue. Il existe x ∈ K tel que f (x) = x.
Théorème 4.
Remarque
Les parties convexes et compactes de R sont les segments. Le théorème de Brouwer
prend donc dans le cas n = 1 la forme particulière suivante :
Théorème 5.
Démonstration.
Si f : [a, b] → [a, b] est continue, alors il existe x ∈ [a, b] tel que f (x) = x.
Si f est continue de [a, b] dans lui-même, la fonction g : x 7→ f (x)−x est continue,
prend en a la valeur f (a) − a ≥ 0 et en b la valeur f (b) − b ≤ 0. Alors par le théorème des valeurs
intermédiaires, la fonction g s'annule en un point x0 , qui est un point xe de f .
An de démontrer le théorème 4, on va d'abord le réduire dans le cas où K = Bf (0, 1).
3.1.1 Rétractions
Dénition 4. On appelle rétraction de l'espace topologique E sur un fermé F
de E toute fonction
continue de E dans F qui est l'identité sur F .
Théorème 6. Soit K un compact convexe dans un espace de Hilbert E . Alors, il existe une
retraction 1-Lipschitzienne πK : E → K .
10
Démonstration.
Soit x ∈ E . Par compacité de K , il existe a ∈ K tel que kx − ak = inf k∈K kx − kk.
Si b ∈ K est tel que kx − bk = inf k∈K kx − kk = kx − ak, alors ha − b, x − a+b
2 i = 0 et
a−b 2
a−b
2
2
2
donc −kx − a+b
k
+
kx
−
ak
=
k
k
.
Or
∈
K
par
convexité
de
K
et
donc
k a−b
2
2
2
2 k ≤
a+b 2
2
kx − ak − kx − 2 k ≤ 0. Donc, a = b. Comme pour tout x ∈ E , il existe un unique ax ∈ K
tel que kx − ax k = inf k∈K kx − kk, alors πK (x) = ax dénit une application πK : E → K qui est
l'identité sur K .
Pour montrer que πK est continue, remarquons d'abord que pour tout k ∈ K et tout t ∈ [0, 1],
on a (1 − t)πK (x) + tk ∈ K et donc kx − πK (x)k2 + 2thx − πK (x), k − πK (x)i + t2 kk − πK (x)k2 =
kx − πK (x) − t(k − πK (x))k2 ≥ kπK (x) − xk2 . Donc, hx − πK (x), −b + πK (x)i ≥ 0 pout tout k ∈ K .
Donc ∀(u1 , u2 ) ∈ E 2 , on a :
ku1 − u2 k2 = k(u1 − πK (u1 )) + (πK (u1 ) − πK (u2 )) + (πK (u2 ) − u2 )k2
= kπK (u1 ) − πK (u2 )k2 + 2hπK (u1 ) − πK (u2 ), u1 − πK (u1 ) + πK (u2 ) − u2 i
+ ku1 − πK (u1 ) + πK (u2 ) − u2 k2
≥ kπK (u1 ) − πK (u2 )k2
Soit K un compact convexe de Rn . Quitte à remplacer K par λK et f par x ∈ λK 7→ λf ( λx ) ∈
λK on peut supposer que K ⊂ Bf (0, 1). Donc, πK est une rétraction de Bf (0, 1) sur K . Soit
F : K → K une fonction continue. Alors F := F ◦ πK : Bf (0, 1) → Bf (0, 1) est continue. Si le
théorème de Brouwer (voir ci-dessous) est démontré pour Bf (0, 1), alors il existe x ∈ Bf (0, 1) tel
que x = F (x) = F (πK (x)). Comme F est à valeurs dans K , on a x ∈ K et donc πK (x) = x, ce
qui implique que x est un point xe de F sur K .
On peut donc se ramener au cas où K = Bf (0, 1). Dans ce cas le théorème de Brouwer est
équivalent au théorème suivant :
Théorème 7.
Démonstration.
Il n'existe pas de rétraction Bf (0, 1) sur S(0, 1).
(⇒) Si une telle rétraction F existe alors −F : Bf (0, 1) → Bf (0, 1) n'a pas
de point xe. En eet, s'il existe x ∈ Bf (0, 1) tel que F (x) = −x, alors x ∈ S(0, 1) et donc
x = −F (x) = −x, ce qui est impossible.
(⇐) Si f : Bf (0, 1) → Bf (0, 1) est continue et n' a pas de point xe, alors
F : Bf (0, 1) → S(0, 1)
x 7→ x + tx (x − f (x))
où tx est le seul t > 0 tel √
que kx − t(x − f (x))k2 = 1 = kxk2 + 2thx, x − f (x)i + t2 kx − f (x)k2 .
−hx,x−f (x)i+ hx,x−f (x)i2 +kx−f (x)k2 (1−kxk2 )
, donc F est continue. De plus, si x ∈
On trouve tx =
kx−f (x)k2
(x)i+|hx,x−f (x)i|
S(0, 1), alors kxk = 1, donc tx = −hx,x−fkx−f
. Or hx, x − f (x)i = kxk2 − hx, f (x)i ≥
(x)k2
1 − kxk · kf (x)k ≥ 0, d'où tx = 0 et ∀x ∈ S(0, 1), F (x) = x.
Contre-exemples. De la même façon que pour le théorème 2.1 nous allons voir que chaque
hypothèse du théorème a également son importance ici.
1. Partie K convexe et compacte de R, f : K 7→ K sans point xe :
0 si x = 1
K = [0, 2] ; f (x) =
1 sinon
2. Partie ε convexe non compacte de R et f : ε 7→ ε continue sans point xe :
ε = [0, 2[ ; f (x) = x2 + 1
11
3. Partie K compacte non convexe
de R et f : K 7→ K continue sans point xe :
3
x
+
si 0 ≤ x ≤ 12
2
K = [0, 12 ] ∪ [ 32 , 2] ; f (x) =
1
si 32 ≤ x ≤ 2
2
3.1.2 Le cas K = Bf (0, 1)
On dit qu'un espace topologique a la propriété du point xe si toute fonction continue f : E → E
possède un point xe. Nous allons prouver que la boule Bf (0, 1) a la propriété du point xe en
toute dimension n ∈ N∗ . On note ici Bn (resp. Sn ) la boule unité fermée de Rn (resp. la sphère
unité de Rn ). Notre preuve est basée sur l'études des champs de vecteurs sur Sn :
On appelle champ de vecteurs sur la sphère Sn−1 toute fonction continue V :
telle que, pour tout x, V (x) soit tangent en x à Sn−1 , c'est-à-dire orthogonal à x.
Lemme 1. S'il existe une rétraction de B2n sur S2n−1 , il existe un champ de vecteurs partout
non nul sur S2n .
Démonstration. On suppose que ρ est la rétraction de B2n sur S2n−1 et on note
Dénition 5.
Sn−1 → Rn
π : R2n+1 → R2n
(x1 , x2 , ..., x2n+1 ) 7→ (x1 , x2 , ..., x2n )
qui envoie S2n sur B2n . Il existe un champ de vecteurs V : S2n−1 → S2n−1 (partout non nul). En
eet, si on pose :
V (x1 , x2 , ..., x2n ) = (x2 , −x1 , x4 , −x3 , ..., x2n , −x2n−1 )
on a que V est continue, kV (x)k2 = kxk2 = 1 et hV (x), xi = 0.
La fonction f : y 7→ V ◦ ρ ◦ π(y) est alors continue sur S2n à valeurs dans S2n−1 ⊂ S2n . Si, pour un
y ∈ S2n , f (y) = ±y , alors y ∈ S2n−1 donc π(y) = y , et ρ◦π(y) = ρ(y) = y , d'où f (y) = V (y) = ±y ,
ce qui contredit le fait que hV (y), yi = 0, et on en déduit alors que ∀y ∈ S2n , f (y) ∈
/ {y, −y}. f
étant une fonction continue de S2n dans S2n , la foncion V 0 dénie par
V 0 (y) = f (y) − hf (y), yi · y
est continue et vérie, ∀y ∈ S2n ,
hV 0 (y), yi = hf (y), yi − hf (y), yikyk2 = 0
Donc V 0 est bien un champ de vecteurs sur S2n . Et il est partout non nul car si on avait V 0 (x) =
0, f (x) serait colinéaire à x et appartiendrait à S2n , i.e. f (x) = ±x, ce qui est impossible.
Le théorème suivant, dont la preuve se trouve en annexe, achève la preuve du théorème de
Brouwer en dimension paire d'après les théorèmes 1 et 7.
Sur la sphère S2n tout champ de vecteurs s'annule en au moins un point.
Théorème 9 (Brouwer). La boule Bn a la propriété du point xe pour tout n ∈ N.
Démonstration. Comme ce théorème est déjà démontré pour n pair, il ne reste plus qu'à montrer
Théorème 8.
que si Bn+1 a la propriété du point xe, alors Bn l'a aussi.
Soient la fonction f : Bn → Bn continue et π la projection dénie par π : (x1 , x2 , ..., xn+1 ) 7→
(x1 , x2 , ..., xn ). On a alors π(Bn+1 ) = Bn , et de plus f ◦ π est continue de Bn+1 dans Bn ⊂ Bn+1 .
Donc, il existe y ∈ Bn+1 tel que (f ◦ π)(y) = y . Alors y ∈ Bn donc π(y) = y . On en déduit que y
est un point xe de f sur Bn .
12
3.2 Le Théorème de Schauder
Ce théorème prolonge le résultat du théorème de Brouwer pour montrer l'existence d'un point
xe pour une fonction continue sur un convexe compact dans un espace de Banach.
(Schauder). Soient E un espace de Banach et K ⊂ E convexe et compact. Alors
toute application continue f : K → K possède un point xe.
Démonstration. Soit f : K 7→ K une application continue. Comme K est compact, f est uni-
Théorème 10
formément continue ; donc, si on xe ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout x, y ∈ K , on
ait kf (x) − f (y)k ≤ ε, dès que kx − yk ≤ δ . De plus, il existe un ensemble ni des points
{x1 , . .S
. , xp } ⊂ K tel que les boules ouvertes de rayon δ centrées aux xi recouvrent K ; i.e.
K ⊂ 1≤j≤p B(xj , δ). Si on désigne L := V ect(f (xj ))1≤j≤p , alors L est de dimension nie, et
K ∗ := K ∩ L est compact convexe de dimension nie.
Pour 1 ≤ j ≤ p, on dénit la fonction continue ψj : E → R par
ψj (x) =
0
1−
kx−xj k
δ
si kx − xj k ≥ δ
sinon
et on voit que ψj est strictement positive sur B(xj , δ) et nulle dehors.
On a donc, pour tout x ∈ K ,
positives ϕj par
Pp
j=1
ψj (x) > 0, et donc on peut dénir sur K les fonctions continues
ψj (x)
ϕj (x) = Pp
k=1 ψk (x)
pour lesquelles on a
Pp
j=1
ϕj (x) = 1, pour tout x ∈ K .
Pp
On pose alors, pour x ∈ K , g(x) := j=1 ϕj (x)f (xj ). g est continue (car elle est la somme des
fonctions continues), et prend ses valeurs dans K ∗ (car g(x) est un barycentre des f (xj )). Donc,
si on prend la restriction g|K ∗ : K ∗ → K ∗ , par le théorème 9, g possède un point xe y ∈ K ∗ . De
plus,
f (y) − y = f (y) − g(y) =
=
p
X
j=1
p
X
ϕj (y)f (y) −
p
X
ϕj (y)f (xj )
j=1
ϕj (y)(f (y) − f (xj ))
j=1
Or si ϕj (y) 6= 0 alors ky − xj k < δ , et donc kf (y) − f (xj )k < ε. Donc, on a, pour tout j ,
kϕj (y)(f (y) − f (xj ))k ≤ εϕj (y), et donc
kf (y) − yk ≤
p
X
kϕj (y)(f (y) − f (xj ))k ≤
j=1
p
X
εϕj (y) = ε
j=1
Donc, pour tout entier m, on peut trouver un point ym ∈ K tel que kf (ym ) − ym k < 2−m . Et
puisque K est compact, de la suite (ym )m∈Z on peut extraire une sous-suite (ymk ) qui converge
vers un point y ∗ ∈ K . Alors f étant continue, la suite (f (ymk )) converge vers f (y ∗ ), et on conclut
que f (y ∗ ) = y ∗ , i.e. y ∗ est un point xe de f sur K .
3.3 Le Théorème de Cauchy-Arzela
On reprend maintenant le problème de Cauchy pour l'équation y 0 = F (t, y(t)), mais ici on ne
sait pas si F est Lipschitzienne. Le théorème de Schauder nous donnera l'existence d'une solution,
mais pas nécessairement l'unicité qu'on avait en section 2.2.
13
Soient :
E un espace normé de dimension nie,
U un ouvert de R × E ,
F une fonction continue de U dans E , et
(t0 , x0 ) un point de U
Alors l'équation diérentielle x0 = F (t, x) a une solution au voisinage de (t0 , x0 ), i.e. il existe un
nombre ρ > 0 et une fonction f : [t0 − ρ, t0 + ρ] → E de classe C 1 avec f (t0 ) = x0 , telle que pour
tout t ∈ [t0 − ρ, t0 + ρ],
1. (t, f (t)) ∈ U
2. f 0 (t) = F (t, f (t))
Démonstration. Soit M > kF (t0 , x0 )k. Quitte à remplacer U par l'ensemble ouvert {(t, x) ∈ U :
Théorème 11 (Cauchy-Arzela).
kF (t, x)k < M }, on peut supposer que F est majorée en norme par M sur U . Il existe donc r > 0
r
) > 0.
et h > 0 tels que U ⊃ [t0 − h, t0 + h] × Bf (x0 , r), et on choisit ρ = min(h, M
On considère l'ensemble K des fonctions M -Lipschitziennes de l'intervalle J = [t0 − ρ, t0 + ρ]
dans E qui valent x0 en t0 , que l'on munit de la norme uniforme. Si f et g sont dans K et s ∈ [0, 1],
alors sf + (1 − s)g ∈ K , donc K est convexe. Si (fi )i∈N est une suite de Cauchy de K pour la
norme uniforme, alors d'après le théorème 12, il existe une fonction continue f : J → E telle que
fi converge uniformément vers f .
On a alors f (t0 ) = limi→+∞ fi (t0 ) = x0 et ∀t, t0 ∈ J , kf (t) − f (t0 )k = limi→+∞ kfi (t) − fi (t0 )k ≤
M |t − t0 |, et donc f ∈ K . On en déduit que K est fermé pour la norme uniforme dans C 0 (J, E).
De plus, pour tout t ∈ J et tout f ∈ K , on a
kf (t) − x0 k = kf (t) − f (t0 )k ≤ M |t − t0 | ≤ M ρ ≤ r
ce qui montre que K(t) = {f (t) : f ∈ K} est contenu dans la boule Bf (x0 , r), et donc K(t)
est relativement compact. Et puisque K est uniformément équicontinu, il résulte du théorème 13
que K est compact.
On peut alors dénir une application Φ : K → C 1 (J, E), en posant
Z t
Φ(f )(t) = x0 +
F (s, f (s))ds
t0
En eet, si f ∈ K , alors f (s) ∈ Bf (x0 , r) pour tout s ∈ J , ce qui montre que la fonction
s 7→ F (s, f (s)) est bien dénie et continue sur J , à valeurs dans E , et possède une primitive
Φ(f ) de classe C 1 , valant x0 en t0 . Puisque la fonction g := Φ(f ) vérie g 0 (t) = F (t, f (t)), on
a que kg 0 (t)k ≤ M , c'est-à-dire que g est M -Lipschitzienne sur J . De plus, g(t0 ) = x0 . Donc,
Φ(K) ⊂ K . Enn, comme F est uniformément continue sur le compact J × Bf (x0 , r), pour tout
ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tout (s, x) et (s0 , x0 ) appartenant à J × Bf (x0 , r), on ait
max(|s − s0 |, kx − x0 k) < δ ⇒ kF (s, x) − F (s0 , x0 )k < ρε .
Alors, si f et f1 appartiennent à K et si kf − f1 k < δ , on a ∀s ∈ J , kF (s, f (s)) − F (s, f1 (s))k < ρε .
Donc,
Z t
kΦ(f )(t) − Φ(f1 )(t)k = F
(s,
f
(s))
−
F
(s,
f
(s))ds
1
t0
≤ |t − t0 | sup kF (s, f (s)) − F (s, f1 (s))k
s∈J
ε
≤ρ =ε
ρ
pour tout t ∈ J . Ceci montre que kΦ(f ) − Φ(f1 )k ≤ ε, i.e. Φ : K → K est une application
continue. Donc, d'après le Théorème 10, il existe un point xe f ∈ K de Φ, c'est-à-dire que f est
une solution au problème de Cauchy.
14
4 Annexes
4.1 Diérents outils utilisés
Proposition 1. Soient E un espace de Banach, u ∈ Lc (E) telle que |||u||| = supkxk=1 ku(x)k < 1.
k
Alors l'application (IdE − u) est inversible, d'inverse P+∞
k=0 u , ce qui est dans Lc (E). [3]
k
Démonstration. Comme |||u||| < 1 et |||uk ||| ≤ |||u|||k , la série P+∞
k=0 u converge absolument dans
Lc (E). Alors :
(IdE − u)
+∞
X
!
k
u
=
k=0
d'où
P+∞
k=0
+∞
X
k=0
uk −
+∞
X
uk = u0 = IdE
k=1
u est l'inverse de (IdE − u).
k
Des démonstrations des deux théorèmes qui suivent se trouvent dans [5] (resp. p.82 et p.87).
Soit (X, dX ) et (Y, dY ) deux espaces métriques avec Y complet. Alors l'ensemble
est complet pour la distance uniforme d∞ (f, g) = supx∈X {dY (f (x), g(x))}.
Théorème 13 (Ascoli). Soient (X, dX ) un espace métrique compact et (Y, dY ) un espace métrique.
On se donne un sous ensemble F de C 0 (X, Y ) tel que :
1. ∀x ∈ X , {f (x), f ∈ F } est compact dans Y
2. La famille F est équicontinue, i.e. ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x, x0 ∈ X , ∀f ∈ F on a
Théorème 12.
Cb0 (X, Y )
dX (x, x0 ) ≤ δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) ≤ ε
F
C 0 (X, Y )
Alors est compact dans
(muni de la distance uniforme).
4.2 Démonstration du Théorème 8
Supposons qu'il existe un champ de vecteurs V partout non nul sur S2n . On va d'abord se
ramener au cas où V est la restriction à S2n d'une fonction de classe C 1 sur un voisinage de S2n
vériant kV (x)k = 1, ∀x ∈ S2n .
La fonction continue strictement positive x 7→ kV (x)k atteint, sur le compact S2n, , son minimum
δ > 0. Le compact
1
3
2n+1
K= x∈R
: ≤ kxk ≤
2
2
est un voisinage de S2n dans R2n+1 . Toute fonction réelle continue de K peut être approchée
δ
uniformément sur K , à 2n
près, par une fonction de classe C 1 sur l'intérieur de K . En particulier,
si
(V1 , V2 , ..., V2n+1 ) sont les fonctions coordonnées de V , alors les fonctions x 7→ Vi
x
kxk
, continues
sur K , peuvent être approchées uniformément sur K , à
près, par des fonctions Wi qui sont de
classe C 1 sur . Alors la fonction W : x 7→ (W1 (x), W2 (x), ..., W2n+1 (x)) est de classe C 1 , et vérie
δ
2n
K
kW (x) − V (x)k2 =
2n+1
X
(Wj (x) − Vj (x))2 ≤
j=1
2n + 1 2
δ < δ2 ,
4n2
ce qui montre que, ∀λ ∈ R,
hW (x) + λx, V (x)i = hW (x), V (x)i
= kV (x)k2 − hV (x) − W (x), V (x)i
≥ δ 2 − kW (x) − V (x)k · kV (x)k > 0,
d'où W (x) + λx 6= 0, donc W ∗ (x) = W (x) − hW (x), xi · x 6= 0. Alors x 7→
de vecteurs à valeurs dans S2n de classe C
1
.
sur K
15
W ∗ (x)
kW ∗ (x)k
est un champ
On suppose maintenant que V est un champ de vecteurs de classe C 1 au voisinage de S2n , à
valeurs dans S2n , et on considère, pour t ∈ R, les applications φ et Φt , dénies sur par
x
φ(x) = kxk · V
kxk
K
Φt (x) = x + tφ(x),
qui sont de classe C 1 . Puisque V 0 est continue sur le compact S2n , elle y est bornée, et le calcul
de φ0 (x) montre que φ0 est bornée par un nombre M sur . Alors, si M ktk < 1, on a, pour un
x∈ ,
K
K
kI − Φ0t (x)k = |t| · kφ0 (x)k ≤ M |t| < 1,
donc Φ0t (x) est inversible (d'après 1) et Φt est ouverte.
Donc U = Φt ( ) est un ouvert dans R2n+1 . De plus,
K
hV (x), xi = 0 ⇒ kΦt (x)k2 = kxk2 + t2 kxk2 kV
x
kxk
k2 = (1 + t2 )kxk2 .
On en conclut que, si 21 < r < 23 , l'image par Φt de la sphère S(r) de rayon r est une partie
√
√
compacte,
donc fermée de la sphère S(r 1 + t2 ) de√rayon r 1 + t2 . Mais c'est aussi
√
√ la trace sur
2 ). Par connexité de S(r 1 + t2 ) on a
S(r 1 + t2 ) de U , donc
une
partie
ouverte
de
S(r
1
+
t
√
√
alors Φt (S(r)) = S(r 1 + t2 ), donc Φt est surjective de K sur U := {x ∈ R2n+1 : 21 1 + t2 <
√
kxk < 32 1 + t2 }.
Si on a Φt (x) = Φt (y), alors
p
p
1 + t2 · kxk = kΦt (x)k = kΦt (y)k = 1 + t2 · kyk,
donc kxk = kyk, et
x
y .
0 = kx + tφ(x) − y − tφ(y)k ≥ kx − yk − ktk · kxk · V
−V
kxk
kxk y
π
x
− V kxk
k ≤ π2 M kx−yk
Puisque (d'après le lemme 2) on a kV kxk
kxk , on obtient 1 − 2 M |t| =
kx − yk ≤ 0, ce qui entraine x = y si π2 M |t| < 1.
Pour |t| assez petit, la fonction Φt est donc injective et est un C 1 -diéomorphisme de sur U .
2n+1
Par homotéthie, le volume de U est alors le produit du volume de par (1 + t2 ) 2 . C'est aussi
l'intégrale sur du déterminant jacobien Dt de Φt ; et puisque la matrice jacobienne
de Φt en x
P2n+1
est I + tJφ (x), Dt (x) est alors un polynôme de degré au plus 2n + 1 en t : Dt (x) = j=0 tj αj (x).
K
K
K
On en conclut que
2
vol(U ) = (1 + t )
2n+1
2
) =
vol(K
Z
Dt (c)dx =
2n+1
X
j
t
Z
αj (x)dx,
j=0
2n+1
donc, au voisinage de 0, (1 + t2 ) 2 est égal à un polynôme P (t) de degré au plus 2n + 1.
2n+1
Puisque (1 + t2 ) 2 est pair, on devrait avoir P (t) pair donc de degré au plus 2n. P (t)2 serait
alors un polynôme de degré au plus 4n, égal à (1 + t2 )2n+1 . C'est une contradiction donc le champ
de vecteurs V s'annule en au moins un point. [4]
Soit m ≥ 1. Si φ est une application de classe C 1 dénie sur un
voisinage de Sm dans Rπ , à valeurs dans un espace de Banach E , et si kφ0 (x)k ≤ M , ∀x ∈ Sm ,
alors la fonction φ est 2 -Lipschitzienne sur Sm .
Lemme 2 (Accroissements nis).
m+1
16
Démonstration.
Soient x et y deux points distincts de Sm . On peut trouver z ∈ Sm qui forme avec
x une base orthornormée d'un plan contenant y et tel que hy, zi ≥ 0. Il existe alors un v ∈ [0, π]
tel que y = x cos v + z sin v . Et la fonction γ : s 7→ x cos s + z sin s prend ses valeurs dans Sm . La
fonction φ ◦ γ est de classe C 1 , et on a
k(φ ◦ γ)0 (s)k2 ≤ kφ0 (γ(s))k2 · kγ 0 (s)k2 ≤ M 2 k − x sin s + z cos sk2 = M 2 .
On a donc
kφ(x) − φ(y)k = kφ ◦ γ(v) − φ ◦ γ(0)k ≤ v sup k(φ ◦ γ)0 (s)k ≤ M v,
et puisque kx − yk2 = (1 − cos v)2 + sin2 v = 2 − 2 cos v = 4 sin2 v2 , on a kx − yk = 2 sin v2 ≥
2 · · v2 = π2 v .
On en conclut que kφ(x) − φ(y)k ≤ π2 kx − yk. [4]
2
π
4.3 Une autre démonstration du théorème de Brouwer en dimension 2
On donne ici une autre preuve du Théorème de Brouwer utilisant la notion de forme diérentielle
et la formule de Green-Riemann. On se restreint à la dimension 2, mais ça marche aussi pour les
dimensions supérieures (mais nécessite une formule de Green-Riemann plus compliquée).
Soit Ω un ouvert de Rn . On appelle forme diérentielle de degré 1 sur Ω toute
application α de Ω sur le dual (Rn )∗ de Rn .
Dénition 6.
Soit F : Bf (0, 1) 7→ S(0, 1) tel que F|S(0,1) = id. On commence par supposer que F est C 1 . On
note F (x, y) = (F1 (x, y); F2 (x, y)) et on considère la forme diérentielle
α :Bf (0, 1) 7→ (R2 )∗
(x, y) 7→
∂F1
2
F1 ∂F
∂y − F2 ∂y
F12
+
F22
dy +
∂F1
2
F1 ∂F
∂x − F2 ∂x
dx = Qdy + P dx
2
2
F1 + F2
α est bien dénie sur Bf (0, 1) car F12 + F22 = 1 6= 0. On va appliquer le théorème 14 à α :
(Green-Riemann). Soit K ⊂ R2 un compact à bord C 1 et α = P dx + Qdy une
forme diérentielle de degré 1, de classe C 1 sur un ouvert contenant K . Alors K est mesurable et
Théorème 14
Z Z Z
(P dx + Qdy) =
∂K +
K
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y) dxdy.
∂x
∂y
(Ref. [2])
h
i
R
∂P
dxdy . Après de laborieux calculs on
On cherche donc à calculer Bf (0,1) ∂Q
(x,
y)
−
(x,
y)
∂x
∂y
R
∂Q
∂P
trouve ∂x − ∂y = 0, d'où S(0,1) α = 0. En revanche si on fait le changement de variable suivant :
x0 = F1 (x, y) et y 0 = F2 (x, y), on a,
∂F1
∂F1
(x, y)dx +
(x, y)dy
∂x
∂y
∂F2
∂F2
dy 0 =
(x, y)dx +
(x, y)dy
∂x
∂y
dx0 =
Et donc,
α(x, y) =
1
∂F2
∂F2
∂F1
∂F1
1
F
dy
+
dx
−
F
dy
+
dx
= 02
[x0 dy 0 − y 0 dx0 ]
1
2
F12 + F22
∂y
∂x
∂y
∂x
x + y 02
17
Z
Z
α=
S(0,1)
0
1
1
[x0 dy 0 − y 0 dx0 ] =
x02 + y 02
Z
0
2π
1
[cos2 θdθ + sin2 θdθ] =
2
cos θ + sin2 θ
Z
2π
dθ = 2π
0
(par le changement de variable x0 = cos θ et y 0 = sin θ). On a alors une contradiction car 0 6= 2π
donc une telle fonction F n'existe pas.
On en déduit donc que si f : Bf (0, 1) 7→ Bf (0, 1) est C 1 alors elle admet un point xe. Si
f est seulement continue, alors il existe une suite de fonctions C 1 , fn : Bf (0, 1) 7→ Bf (0, 1) qui
converge uniformément vers f . On en déduit qu'il existe xn ∈ Bf (0, 1) tel que fn (xn ) = xn , d'où
kf (xn ) − xn k = kf (xn ) − fn (xn )k ≤ kf − fn k∞ . Comme Bf (0, 1) est compact, quitte à extraire
un sous-suite, on peut supposer que xn tend vers un point x∞ ∈ Bf (0, 1) et on a
kf (x∞ ) − x∞ k ≤ kf (x∞ ) − f (xn )k + kf (xn ) − xn k + kx∞ − xn k −−−−→ 0
n→∞
d'où f (x∞ ) = x∞ .
18
Références
[1]
[2]
J-P. Demailly
Analyse numérique et équations diérentielles ; collection Grenoble Sciences,
presses universitaires de Grenoble, Grenoble (1996)
Berger et Gostiaux
Géométrie diérentielle : variétés, courbes et surfaces ; presses uni-
versitaires de France, Paris (1987)
[4]
Les maths en tête (analyse) ; ellipses, Paris (1994)
J. Saint Raymond Topologie, calcul diérentiel et variable complexe ; Calvage et Mounet,
[5]
J. Dixmier
[3]
X. Gourdon
Paris (2007)
Topologie générale collection Puf, presses universitaires de France, Paris (1981)
19