Cours 2 : Notions d`effectif et de fréquence - Clips-Imag

Statistiques
DIP, Université Stendhal, Grenoble III
Cours 2 : Notions d’effectif et de fréquence
1
Effectif, effectif total, effectif cumulé croissant / décroissant ____________________ 1
2
Représentation graphique des effectifs ______________________________________ 1
2.1
Diagramme en bâtons ou en barre _______________________________________ 1
2.2
Histogramme _______________________________________________________ 2
2.3
Diagramme circulaire_________________________________________________ 3
3
Fréquence, fréquence cumulée croissante / décroissante________________________ 4
4
Exemple_______________________________________________________________ 5
Considérons une population P comprenant N individus.
Soit X le caractère étudié et soient (x 1 , ... , x p ) les modalités (valeurs) de X.
1 Effectif, effectif total, effectif cumulé croissant /
décroissant
Définition 1 : L'effectif d'une modalité est le nombre d'individus de cette modalité. Généralement on
note ni l'effectif de la modalité xi.
Définition 2 : L'effectif total est la somme des effectifs de toutes les classes
n1 + n2 + ... + np = N ce qui peut s’écrire avec le signe sigma : Σ ni = N
Définition 3 : Quand les valeurs du caractère sont rangées dans l'ordre croissant, l'effectif cumulé
croissant d'une valeur est la somme des effectifs des modalités qui lui sont inférieures ou égales.
Définition 4 : Quand les valeurs du caractère sont rangées dans l'ordre croissant, l'effectif cumulé
décroissant d'une valeur est la somme des effectifs des modalités qui lui sont supérieures ou égales .
2 Représentation graphique des effectifs
2.1
Diagramme en bâtons ou en barre
Définition 5 : Les diagrammes en bâtons, dits aussi diagrammes en barres si on donne une
largeur aux bâtons, utilisent les valeurs de la variable en abscisse et les valeurs de l'effectif en
ordonnée.
Page 1 sur 5
©Sandra Michelet
[email protected]
Statistiques
DIP, Université Stendhal, Grenoble III
Exemple 1 : Diagramme en bâton
Le diagramme en bâton ci-dessous représente les effectifs d’une classe selon la taille en cm
Exemple 2 : Diagramme en barre
Après un examen de Science du Langage, l’enseignant dresse un tableau des notes obtenues par les
étudiants :
Note (/20)
Nombre
d’étudiants
5
4
6
1
8
3
9
4
10
1
11
2
12
4
13
2
14
4
15
4
17
1
18
3
19
1
Répartition des notes à l'examen de Science du Langage
4
3,5
3
2,5
Effectif
2
1,5
1
0,5
0
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Notes
2.2
Histogramme
Définition 6 : Un histogramme est constitué de rectangles côte à côte tel que :
-
les largeurs des rectangles sont celles des largeurs des classes
les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs des classes
Comment tracer un histogramme ? :
Page 2 sur 5
©Sandra Michelet
[email protected]
Statistiques
DIP, Université Stendhal, Grenoble III
k = coefficient de proportionnalité à choisir selon la taille du graphe que l'on veut obtenir.
Si les largeurs sont toutes égales, alors les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs
: h1 = k.n1
Un tel histogramme est surtout une représentation graphique de la répartition des mesures. Son
exploitation reste limitée.
Exemple 3 : Soit S la série statistique quantitative continue dont les classes et les effectifs associés
sont indiqués dans le tableau ci-dessous. L'histogramme associé à S est représenté ci-contre.
Classe
[0 ; 6[
[6 ; 8[
[8 ; 14[
[14 ; 18[
[18 ; 24[
[24 ; 32[
[32 ; 36[
[36 ; 43[
[43 ; 49[
2.3
Effectif
5
6
5
8
9
6
1
4
9
Amplitude
6
2
6
4
6
8
4
7
6
Hauteurs proportionnelles à
5/6
3
5/6
2
3/2
3/4
1/4
4/7
3/2
Diagramme circulaire
Définition 7 : Un diagramme circulaire est un diagramme tel qu’il existe un facteur de
proportionnalité entre l’angle et l’effectif
Page 3 sur 5
©Sandra Michelet
[email protected]
Statistiques
DIP, Université Stendhal, Grenoble III
Exemple 4 : On s'intéresse à la deuxième langue vivante choisie par les 500 élèves d'un lycée : 150
élèves font de l'espagnol en première langue, 225 des élèves font de l'anglais, 75 de l’allemand, 25 de
l'italien et enfin 25 aucune deuxième langue.
A 500 on fait correspondre l'angle de mesure 360 °, donc à :
150 on fait correspondre 360x150/500 = 108°
225 on fait correspondre 360x225/500 = 162°
75 on fait correspondre 360x75/500 = 54°
25 on fait correspondre 360x25/500 = 18°
25 on fait correspondre 360x25/500 = 18°
D’où le diagramme circulaire suivant :
LV2 Anglais
LV2 Espagnol
LV2 Allemand
LV2 Italien
Pas de LV2
3 Fréquence, fréquence cumulée croissante /
décroissante
Définition 5 : La fréquence fi de la modalité xi est le rapport ni/N.
Remarque : La fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. On peut multiplier la fréquence par
100, ainsi on obtient une fréquence exprimée en %. Dans ce cas, la fréquence est comprise entre 0%
et 100%
Définition 6 : Quand les valeurs du caractère sont rangées dans l'ordre croissant, la fréquence
cumulée croissante d'une valeur est la somme des fréquences de cette valeur et de celles qui la
précèdent.
Définition 7 : Quand les valeurs du caractère sont rangées dans l'ordre croissant, la fréquence
cumulée décroissante d'une valeur est la somme des fréquences de cette valeur et de celles qui la
suivent.
Propriété 1 : La somme des fréquences est égale à 1 autrement dit : Σ fi = 1
Démonstration :
Σ fi = Σ (ni/N)
= Σ ni / Σ N
= Σ ni / N, or on sait que Σ ni = N, d’où
=N/N
=1
Page 4 sur 5
©Sandra Michelet
[email protected]
Statistiques
DIP, Université Stendhal, Grenoble III
4 Exemple
Considérons les notes de 50 élèves d’une classe de seconde.
Notes
Effectif
Effectif cumulé croissant
Fréquence
Fréquence cumulée croissante
Page 5 sur 5
[0 ; 5[
10
10
0,20 (=10/50)
0,20
[5 ; 8[
8
18
0,16
0,36
[8 ; 12[
12
30
0,24
0,60
[12 ; 15[
11
41
0,22
0,88
[15 ; 20]
9
50
0,18
1
©Sandra Michelet
[email protected]