Devoir surveillé 4 Complexes et Primitives 2 heures

Terminale S4
novembre 2009
Devoir surveillé 4
Complexes et Primitives
2 heures
Exercice 1 (8 points)
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , on considère les points A et B d’affixes
respectives 2 et (−2) et on définit l’application f qui à tout point M d’affixe z et différent de A associe le
point M’ d’affixe z ' =
z( z − 2 )
.
z−2
1. a. Déterminer l’affixe du point P’ image par f du point P d’affixe 1 + i.
b. Montrer que les droites (AP) et (BP’) sont parallèles.
c. Établir que les droites (AP) et (PP’) sont perpendiculaires.
2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est à dire l’ensemble des points M tels que M’ = M).
On cherche à généraliser les propriétés 1. b. et 1. c. pour obtenir une construction de l’image M’ d’un point
M quelconque du plan.
3. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, le nombre
b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2,
( z − 2 )( z − 2 )
est réel.
z '+ 2
est réel.
z−2
c. Montrer que les droites (AM) et (BM’) sont parallèles.
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans
l’évaluation.
Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question 1.c.
5. Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M’ image de
M par f. Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3 − 2i.
Correction
1. a. z P′ =
zP ( zP − 2 )
zP − 2
=
( 1 − i )( −1 + i ) ( 1 − i )( −1 + i )( −1 + i ) ( 1 − i )( 1 − 2i − 1 )
=
=
= −i ( 1 − i ) = −1 − i.
−1 − i
2
( −1 )2 + ( −1 )2
= z − z = 1 + i − 2 = −1 + i ; BP′ a pour affixe z = z − z = −1 − i + 2 = 1 − i :
b. AP a pour affixe z
P
A
P′
B
AP
BP ′
, les droites sont parallèles.
z
= − z
BP ′
AP
z P ′ − z P −1 − i − 1 − i ( −2 − 2i )( −1 − i ) 2 ( −1 − i )
=
=
=
= 1 + 2i − 1 = 2i .
zP − z A
−1 + i
2
2
2
c.
zP′ − z P
z − zP
est un imaginaire pur et qu’un argument de P ′
est une mesure de
zP − z A
zP − z A
en déduit que les vecteurs AP et PP′ sont orthogonaux, les droites sont perpendiculaires.
Comme
( AP, PP ′ ) , on
2. M′ = M équivaut à z ′ = z .
z′ = z ⇔
z( z − 2 )
z−2
(
)
= z ⇔ z ( z − 2 ) = z z − 2 ⇔ −2 z = −2 z ⇔
z = z ⇔ z est un réel.
L’ensemble des points invariants par f est l’axe des réels.
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3. a.
( z − 2 )( z − 2 ) = z z − 2z − 2z + 4 = z z − 2( z + z ) + 4 .
z + z = 2Re ( z ) , d’où
( z − 2 )( z − 2 ) =
z
2
z′ + 2
=
b.
z−2
z−2
z−2
(
z( z −2 )+ 2 z −2
+2
D’après la question précédente,
(
( AM )
=
z
2
+4
( z − 2 )( z − 2 ) ( z − 2 )( z − 2 )
( z − 2 ) ( z − 2 ) et
z′ + 2
est AM, BM′
z−2
et ( BM′ ) sont parallèles.
b. Un argument de
droites
=
zz + 4
z
2
.
sont des réels. Par conséquent,
z′ + 2
est réel.
z−2
z′ + 2
 z′ + 2 
est réel, arg 
=0
z−2
 z−2 
) ; comme
4. Soit M un point quelconque non situé sur la droite
( AB ) ,
et
est réel.
)
z−2
z−2
=
( z − 2 )( z − 2 )
2
z et Re ( z ) sont des réels, on en
− 4Re ( z ) + 4 ; comme
déduit que, pour tout nombre complexe z, le nombre
z( z − 2 )
Or pour tout nombre complexe z, z z = z
( mod
2π
)
: les
c’est-à-dire en dehors de l’axe des réels.
D’après la question 2., on peut dire que les points M et M′ sont distincts (c’est-à-dire z ≠ z′ ).
z − zM
z′ − z
Une mesure de AM, MM′ est un argument de M′
, c’est-à-dire de
.
zM − zA
z−2
(
)
z( z − 2 )
z′ − z
=
z−2
z−2
z−2
(
z( z − 2 ) − z z − 2
−z
=
)
z−2
z−2
=
Or pour tout nombre complexe z, z − z = 2i × Im ( z ) , soit
est un réel,
−2 z + 2 z
=
(
2 z− z
)
( z − 2 )( z − 2 ) ( z − 2 )( z − 2 )
.
4Im ( z )
z′ − z
i ; comme
=
z−2 ( z−2) z−2
(
4Im ( z )
)
( z − 2 )( z − 2 )
z′ − z
π
est alors un imaginaire pur : AM, MM ′ = ( mod π ) .
2
z−2
(
)
Par conséquent, pour tout point M non situé sur la droite
( AB ) ,
les droites
( AM )
et
( MM′ )
sont
perpendiculaires.
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5. D’après les questions 3. b. et 4., le point M′ image de M par f est le point d’intersection de deux
droites : la parallèle à la droite ( AM ) passant par B et la droite perpendiculaire à à la droite ( AM )
passant par M.
Exercice 2 : VRAI FAUX justifié (4 points)
La fonction f admet f ' pour dérivée sur D :
π

π

a. D = ℝ ; f ( x ) = 3sin  − 4 x  ; f ' ( x ) = 12cos  − 4 x  .
6

6

b. D = ℝ ; f ( x ) = cos x cos 2 x ; f ' ( x ) = − sin x cos 2 x − 2sin 2 x cos x .
 π 
c. D =  0 ;  ; f ( x ) = tan 2 x ; f ' ( x ) = 1 + tan2 2 x .
4

(
)
sin x 1 + 2cos2 x
cos x
 π 
d. D =  0 ;  ; f ( x ) =
; f '( x ) =
.
4
cos 2 x
cos2 2 x

Exercice 3 : VRAI FAUX justifié (4 points)
a.
b.
∫
∫
π /2
cos 2 xdx = 0 .
0
π /2
0
π

sin  x +
6

∫ ( 3x
1
c.
∫ (x
1
−1
)
2
+ 2 x − 7 dx = −5 .
3
− x2 − 3 x + 4 dx =
0
d.
π
π

 dx = cos 6 + sin 6 .

)
22
.
3
Exercice 5 : VRAI FAUX justifié (4 points)
Soit f la fonction définie et dérivable sur ℝ \ { 1} par f ( x ) =
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x2 + 2 x + 6
. On note C sa courbe.
x −1
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a. C admet exactement deux tangentes horizontales.
b. La tangente à C au point d’abscisse 2 a pour équation y = −8 x + 30 .
c. L’équation f ( x ) = 2 n’admet pas de solution.
d. L’équation f ( x ) = 24 admet deux solutions distinctes dans ℝ \ { 1} .
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