Ex 2

Exercice 2 : ( 7 points )
Partie 1
Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g ( x) = e x − xe x + 1 .
1. Déterminer la limite de g en +∞.
2. Etudier les variations de la fonction g.
3. Donner le tableau de variation de la fonction g.
4.a. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution. On note α cette solution.
b. A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10–2 de α.
1
.
c. Démontrer que eα =
α −1
5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Partie 2
4x
.
e +1
1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A′( x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie
dans la partie 1.
2. En déduire les variations de la fonction A sur [0 ; +∞[.
Soit A la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ telle que A( x) =
x
Partie 3
4
.
e +1
r r
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i , j ).
La figure est donnée en annexe.
Pour tout réel x positif ou nul, on note :
- M le point de c de coordonnées (x ; f(x)),
- P le point de coordonnées (x ; 0),
- Q le point de coordonnées (0 ; f(x)).
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f ( x) =
x
1. Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α. (On rappelle que le
réel α a été défini dans la partie 1.)
2. Le point M a pour abscisse α. La tangente T en M à la courbe C est-elle parallèle à la droite (PQ) ?
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
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Solution :
Partie 1
1. ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ݁ ௫ − ‫ ݁ݔ‬௫ + 1 = ሺ1 − ‫ݔ‬ሻ݁ ௫ + 1. Ainsi lim௫→ାஶ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = −∞.
2. ݃ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ = ݁ ௫ − ‫ ݁ݔ‬௫ − ݁ ௫ = −‫ ݁ݔ‬௫ .
Pour tout réel x, ݁ ௫ > 0 et donc pour tout ‫]∈ ݔ‬0; +∞[, ݃ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ < 0. g est donc strictement décroissante
sur [0; +∞[.
3.
x
+∞
0
2
g
-∞
4. a. g est continue et strictement décroissante sur [0 ;+∞[. Comme l’intervalle image de [0 ;+∞[ par la
fonction g contient 0 on en déduit que l’équation ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = 0 admet une unique solution α.
b. D’après la calculatrice ݃ሺ1,27ሻ ≈ 0,3857 > 0 et ݃ሺ1,28ሻ ≈ −0,0071 < 0 donc 1,27 < ߙ < 1,28.
ଵ
c. On a ݃ሺߙሻ = 0 donc ݁ ఈ − ߙ݁ ఈ + 1 = 0 soit ሺ1 − ߙሻ݁ ఈ = −1 et, comme ߙ ≠ 1, ݁ ఈ = ఈିଵ.
5. Comme g décroît sur [0 ;+∞[ et que ݃ሺߙሻ = 0, on a : ݃ሺ‫ݔ‬ሻ > 0 lorsque 0 ≤ ‫ ߙ < ݔ‬et ݃ሺ‫ݔ‬ሻ < 0 lorsque
‫ߙ > ݔ‬.
Partie 2
ସ௫
1. ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ௘ ೣ ାଵ. Donc ‫ܣ‬ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ =
ସሺ௘ ೣ ାଵሻିସ௫௘ ೣ
ሺ௘ ೣ ାଵሻమ
ସ௚ሺ௫ሻ
= ሺ௘ ೣ
ାଵሻమ
. A’(x) a bien le même signe que g(x).
2. On en déduit que A est croissante sur [0 ;α] et décroissante sur [α ;+∞[.
Partie 3
1. L’aire de OPMQ vaut ܱܲ × ܱܳ = ‫݂ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬ሻ. L’aire est bien maximale lorsque M a pour
abscisse α puisque la fonction A a son maximum en α.
ସ௘ ೣ
2. La tangente en M à la courbe C a pour coefficient directeur ݂ ᇱ ሺߙሻ. Or ݂ ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ = − ೣ మ.
ସ௘ ഀ
ସ
݂ ᇱ ሺߙሻ = − ሺ௘ ഀାଵሻమ = − ఈିଵ ×
ଵ
మ
భ
ቀ
ାଵቁ
ഀషభ
ସ
= − ఈିଵ × ቀ
Le coefficient directeur de la droite (PQ) vaut –
௙ሺఈሻ
ఈ
ఈିଵ ଶ
ఈ
ቁ =
ିସሺఈିଵሻ
.
ఈమ
ସ
= − ఈሺ௘ ഀ ାଵሻ = −
égalité des coefficients directeurs les droites sont bien parallèles.
ሺ௘ ାଵሻ
ସ
ఈቀ
భ
ାଵቁ
ഀషభ
=
ିସሺఈିଵሻ
ఈమ
. Comme il y a