Transformation de Laplace

Transformation de Laplace
I Intégrales généralisées (ou intégrales impropres)
1. Définition
Définition
a est un réel quelconque, f est une fonction continue sur [ a ;∞[ et
x ∈]a ;∞ [ . On
x
pose I  x=∫ f t  dt .
a
x
Si I(x) a une limite finie quand x tend vers ∞ , alors on dit que l'intégrale
∫ f t dt
a
∞
x
a
a
∫ f t dt= xlim
∫ f t  dt
∞
converge et on pose
.
x
Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale
∫ f t dt
diverge.
a
Remarque
Les propriétés déjà connues de l'intégrale « classique » sont conservées et peuvent donc
être utilisées.
2. Exemples
x
1
1. On pose I  x =∫ dt . Étudier la converge de cette intégrale généralisée.
1 t
x
I  x=[lnt ] =ln x −ln1=ln  x . Or lim ln  x =∞ donc l'intégrale généralisée
1
x ∞
diverge.
y
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
L'aire en gris tend vers ∞ lorsque x tend vers ∞ .
x
1
2. On pose I  x =∫ 2 dt . Étudier la converge de cette intégrale généralisée.
1 t
x
1
1
1
. Or lim 1− =1 donc l'intégrale généralisée converge et
I  x= − =1−
x
t 1
x
x ∞
∞
∫ 12 dt=1 .
1 t
 
[ ]
y
1
0
1
2
3
4
5
6
L'aire en gris tend vers 1 unité lorsque x tend vers ∞ .
7
8 x
Remarque
Dans la suite de ce chapitre, toutes les intégrales généralisées seront supposées comme
convergentes. L'étude de la convergence des intégrales généralisées n'est pas un objectif.
II Fonctions causales (signaux causaux)
1. Définition
Définition
On dit qu'une fonction f (ou un signal) de la variable t est une fonction causale (ou un
signal causal) si, pour tout t strictement négatif, on a f t=0 .
Remarque
Il s'agit des fonctions utilisées en physique (intensité, tension, ...). Il est en effet impossible
de remonter le temps et donc la définition de ce type de fonction du temps n'est possible
que pour t≥0 .
2. Exemples fondamentaux
a) Fonction échelon unité ou fonction de Heaviside
U t =0 si t0
La fonction échelon unité, notée U , est définie sur ℝ par : {
.
U t =1 si t≥0
Sa représentation graphique est :
Remarques
● La fonction U n'est pas continue en 0, elle est continue à droite au voisinage de 0.
● On rend une fonction quelconque f causale, en la multipliant par l'échelon unité (cf.
exemple suivant).
b) Fonction rampe unité
f t =0 si t0
La fonction rampe unité est définie sur ℝ par : {
. Alors, pour tout réel t,
f t =t si t≥0
on a : f t=t U t .
Sa représentation graphique est :
c) Fonction retardée
Tous les signaux ne débutent pas à l'instant t=0 mais à un instant t 00 . Pour une
fonction f définie sur ℝ , la fonction g, définie sur ℝ par g t = f  t−t 0  , est appelée
fonction retardée de t 0 .
u , v  , la courbe représentative de la
Dans le plan, muni d'un repère orthonormé  O ; 
u .
fonction g se déduit de celle de la fonction f par la translation de vecteur t 0 
La représentation graphique de la fonction échelon unité retardée de 4 est :
d) Fonction créneau
t 0 et t 1 sont deux réels tels que 0t 0 t 1 et k est un réel.
Une fonction créneau est une fonction f définie sur ℝ par : f t=k [U t−t 0 −U t−t 1] .
f t =0 si t2
La
fonction
f
définie
sur ℝ par
: { f t =3 si 2≤t6 ou
encore
f t =0 si t≥6
f t=3×[U t−2−U t −6] , est une fonction créneau.
Sa représentation graphique est :
III Transformation de Laplace
1. Définition
Définition
La transformée de Laplace d'une fonction causale f est la fonction F de la variable réelle
∞
− pt
ou complexe p définie par F  p=L f  p= ∫ f t e dt .
0
Remarques
●
●
●
∞
Pour que F existe, il faut que l'intégrale
∫ f t e− p t dt
0
soit convergente. Ce sera
toujours le cas lorsqu'il sera demandé de calculer la transformée de Laplace d'une
fonction causale f .
Par abus d'écriture, on note L f  p=L  f t  .
Dans certains cas, il sera utile de définir F(p) avec p complexe. C'est le contexte qui
fera que la variable p sera considérée comme complexe.
2. Transformée de Laplace des fonctions usuelles
a) Transformée de Laplace de l'échelon unité
∞
∞
x
0
0
0
− pt
− pt
Il faut calculer ∫ U t e dt=∫ e dt . On pose I  x =∫ e− p t dt .
●
lim I  x =∞ , d'où l'intégrale
Si p=0 , alors I  x =x , donc x∞
∞
∫ e− p t dt
0
est
divergente.
x
●
●
[ ]
−e− p t
1
Si p≠0 , alors I  x =
=  1−e− p x  .
p 0 p
−px
lim e =∞ , donc lim I  x =∞
Si p0 , alors x
x ∞
∞
,
d'où
l'intégrale
∞
∫ e− p t dt
0
●
est divergente.
lim e − p x =0 , donc lim I  x = 1
Si p0 , alors x
∞
p
x ∞
convergente.
∞
, d'où l'intégrale
∫ e− p t dt
0
est
Propriété
La transformée de Laplace de l'échelon unité est définie pour p > 0 et on a :
1
L U  p=L U t=
.
p
b) Transformée de Laplace de la fonction rampe unité
∞
Il faut calculer ∫ t U t e
0
●
Si p=0 ,
−pt
∞
dt=∫ t e
0
x
∞
0
●
0
2
x
2
,
lim I  x =∞ ,
donc x∞
d'où
l'intégrale
est divergente.
Si p≠0 , on intègre par parties, en posant u t =t et v ' t=e− p t donc u ' t =1
1 −pt
et v t =− e
.
p
x
x
x
t −pt
1
x − p x 1 e− p t
x
1
−pt
Alors I  x = − e
 ∫ e dt =− e −
=− e − p x − 2  e − p x −1  .
p
p0
p
p p 0
p
p
0
−px
Si p0 , alors lim e =∞ , donc lim I  x =∞
, d'où l'intégrale
[
●
x
dt . On pose I  x =∫ t e− p t dt .
alors I  x =∫ t dt=
0
∫ t e − p t dt
−pt
∞
∫ te
0
x ∞
−pt
[ ]
]
dt est divergente.
x ∞
●
lim e − p x =0 et lim x e− p x =0 (croissances
alors x
∞
x ∞
∞
1
−pt
lim I  x = 2 , d'où l'intégrale ∫ t e dt est convergente.
x∞
p
0
Si p0 ,
comparées),
donc
Propriété
La transformée de Laplace de la fonction rampe unité est définie pour p > 0 et on a :
1
L t U t = 2 .
p
c) Transformée de Laplace de la fonction t ↦ t n U t  n∈ℕ
Le calcul est similaire aux cas précédents mais nécessite l'utilisation d'un raisonnement par
récurrence (hors programme).
Propriété (admise)
La transformée de Laplace de la fonction t ↦ t n U t  n∈ℕ est définie pour p > 0 par :
n!
L t n U t= n1 .
p
Exemples
L  t 2 U t =
2
6
L  t 3 U t = 4 .
3 et
p
p
d) Transformée de Laplace de la fonction t ↦ e−a t U t  a ∈ℂ
Dans la pratique, on ne précise pas les valeurs de p (réel ou complexe) pour lesquelles F(p)
existe. Un calcul encore similaire aux précédents prouve que
F(p) existe pour
ℜ p−ℜ a .
Propriété (admise)
La transformée de Laplace de la fonction t ↦ e−a t U t  a ∈ℂ est définie par :
1
L e−a t U t =
.
pa
IV Propriétés de la transformation de Laplace
Dans tout ce paragraphe, les fonctions f et g sont des fonctions causales admettant des
transformées de Laplace.
1. Linéarité
Théorème
La
transformation
de
L kf =k L  f  , k ∈ℝ .
Laplace
est
linéaire
: L  f g =L  f L  g  et
Démonstration
La linéarité de la transformation de Laplace est une conséquence directe des propriétés de
l'intégrale.
Exemple
Calculer la transformée de Laplace de la fonction f définie par : f t=2 t−5U t  .
3 4
F  p=3 L [t U t ]4 L [U t ]= 2 
.
p
p
Application
Calculer la transformée de Laplace des fonctions sinus et cosinus.
On utilise l'égalité : e j  t=cos t  j sin t .
L [  cos t  j sin tU t ] =L [ cos t U t ]  j L [ sint U t ]
On effectue les calculs avec p > 0.
p j 
1
L [ e j  t U t ]=
= 2
.
p− j  p  2
Propriété
L [ cos t U t ] =

p
L [ sin tU t ] = 2
.
2 et
p 
p 2
2
2. Théorème du retard
On suppose qu'un signal, au lieu de démarrer à l'instant 0, démarre à l'instant  .
Théorème
La transformation de Laplace de la fonction définie par f t−U t− est :
L [ f t−U t−]=e− p F  p .
Démonstration
x
∞
L [ f t−U t−]= ∫ f t −U t−e− p t dt . On pose I  x=∫ f t − U t −e − p t dt .
0
0
x
−pt
Comme f t−U t −=0 pour t∈[0 ; ] , alors : I  x =∫ f t−e dt .

On effectue le changement de variable u=t− , de sorte que t=u et dt =du .
x−
x−
− p  u
Alors I  x = ∫ f u e
−p
du=e
0
∫
0
f u e − p u du .
∞
−pu
En faisant tendre x vers ∞ , on retrouve F  p= ∫ f u e du .
0
− p
D'où L [ f t−U t −]=e
F  p .
Exemple
On considère la fonction créneau définie par : f t=3×[U t−2−U t−6] .


e− p e −3 p
3
F  p=3×
−
=  e− p −e−3 p 
p
p
p
3. Effet d'un changement d'échelle sur la variable
Théorème
La transformation de
1
p
L [ f t U t ]= F



Laplace
de
la
fonction
définie
par f  t U t est
:
.
Démonstration
∞
x
0
0
L [ f t U t ]=∫ f  t U t e− p t dt . On pose I  x =∫ f t e− p t dt .
On effectue le changement de variable u= t , de sorte que t=
x
u
1
et dt= du .


p
− u
1
Alors I  x= ∫ f u e  du .
 0
En faisant tendre x vers ∞ , on retrouve F
D'où L [ f t U t ]=

1
p
F


Exemple
On suppose que l'on a : F  p=
p
2

pu
−
p ∞
=∫ f u e  du .

0
.
p
. Calculer L [ f 2 t U t ] .
P 1
3
1
1
p
2p
L [ f 2 t U t ] = ×
= × 3
= 3
.
3
2
4 p
p 8
p
1
1
8
2

4. Effet de la multiplication par e−a t
Théorème
La transformation de Laplace de la fonction définie par f t e−a t U t  est :
L [ f te −a t U t]= F  pa .
Démonstration
L [ f t e
−a t
∞
U t]= ∫ f t e
−a t
−pt
U t e
0
∞
dt=∫ f t e − pa t U t dt=F  pa  .
0
Exemple
f t=sin t e−t U t . On pose g t =sin t U t  , de sorte que f t= g t e−t .
1
1
1
= 2
Comme G p= 2
, alors F  p=G  p1=
.
2
 p1 1 p 2 p2
p 1
5. Transformée d'une dérivée
Théorème
Soit f une fonction admettant une transformée de Laplace F.
On considère de plus f continue sur ]0 ;∞[ , dérivable par morceaux sur ]0 ;∞[ ,
dont la dérivée f ' est continue par morceaux sur ]0 ;∞[ .
+
Alors L [ f ' t U t ] = pF  p− f  0+  , où f  0 =lim f t .
+
t 0
Démonstration
On supposera dans cette démonstration que f est continue, dérivable sur
f ' est continue sur ]0 ;∞[ .
∞
x
0
0
]0 ;∞[ et que
L [ f ' tU t  ]= ∫ f ' tU t  e− p t dt . On pose I  x=∫ f ' t  e− p t dt .
On effectue une intégration par parties en posant u t=e− p t et v ' t = f ' t donc
u ' t=− p e − p t et v t = f t  .
Alors I  x=[ f t e
−pt x
0
x
]  p∫ f t  e
−pt
x
dt= f  x e
0
lim  f  x  e
Si x
∞
−px
≠0
−p x
alors l'intégrale
∞
− f 0  p ∫ f t e− p t dt .
+
0
∫ f t e
−pt
0
dt est divergente et, dans ce cas, f
n'aurait pas de transformée de Laplace. On en déduit : lim
x ∞
 f  x e− p x  =0
.
D'où L [ f ' t U t ] = pF  p− f  0+  .
Exemple
Retrouver la formule de la transformée de Laplace de cos t U t à partir de la
transformée de Laplace de f t=sin t U t  .

= F  p et que sin t'=×cost  .
On sait que L [ sin tU t ] = 2
p 2
p
1
1
p
+
−sin 0 = 2
Donc L [ cos t U t  ] = ×[ p F  p− f  0  ]= × 2
.
2


p 
p  2
[
]
Théorème
Soit f une fonction admettant une transformée de Laplace F.
On considère de plus f ' continue sur ]0 ;∞[ , dérivable par morceaux sur ]0 ;∞[ ,
dont la dérivée f '' est continue par morceaux sur ]0 ;∞[ .
Alors L [ f ' ' t U t ] = p2 F  p− p f  0+ − f '  0 +  .
Démonstration
On a f ' '= f ' ' . Donc :
L [ f ' ' t U t ] = p L [ f ' t U t ] − f '  0+ = p [ pF  p− f  0 +  ] − f '  0+ 
= p F  p− p f  0 − f '  0
2
+
+

6. Dérivée d'une transformation de Laplace
Théorème (admis)
Si F  p=L [ f t U t ] , alors F '  p=L [ −t f t U t ] .
Exemple
On considère la fonction définie par : f t=t sin t U t  .
1
'= 2 p
L [ f t ] =−L [ −t sin t U t ]=− 2
.
p 1
 p 212
 
7. Transformée d'une intégrale
Théorème
t
Si F  p=L [ f t U t ] et si t =∫ f u U u du alors : L [ t  ]=
0
1
F  p
p
, p≠0 .
Démonstration
Si  est une primitive de f, alors t = t − 0 donc ' t = ' t= f t  .
On en déduit : F  p=L [ f t U t ] =L [ ' t U t ] = p L [ t ] −  0 + = p L [ t ] .
1
Donc L [ t ] = F  p .
p
Exemple
Retrouver la transformée de Laplace t 2 U t à partir de la transformée de Laplace de la
fonction f t=t U t .
t
t
t
1
u2
t2
et F  p= 2 .
t =∫ f u U u du=∫ u du=
=
2 0 2
p
0
0
1
2
2
L [ t U t  ]=2× ×F  p = 3
p
p
[ ]
8. Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale
Théorèmes (admis)
Si F  p=L [ f t U t ] et si les fonctions considérées ont des limites dans les conditions
indiquées, on a :
lim p F  p=lim f t
● Théorème de la valeur initiale : p ∞
;
t 0
t 0
●
Théorème de la valeur finale :
lim p F  p = lim f t
p 0
p0
Exemple
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f t =
t ∞
.
1
[ t U t −t −2U t−2 ] .
2
1. Représenter la fonction f .
2. Calculer la transformée de Laplace de la fonction f .
1
1
1
1
F  p= × 2 − 2 ×e−2 p = 2 × 1−e−2 p  .
2
p
p
2p
lim
p
F

p
3. Calculer
.


p0
p0
1
1
−2 p
lim p F  p =1 .
p F  p= × 1−e = × 1−1 p p °0  p =1 p ° 0 1 , d'où p  0
p
p
p0
lim
f
t

4. Calculer
.
t  ∞
f t =1 . On retrouve ainsi le théorème
Pour t assez grand (t > 2), on a f(t) = 1 donc tlim
∞
de la valeur finale.
V Original d'une fonction
1. Définition
Définition
Si F  p=L [ f t  ] , on dit que f est l'original de F . On note f t=L −1 [ F  p ] .
Remarque
On peut démontrer que l'original, s'il existe, est unique. Ce résultat est admis.
Exemple
L t U t =
[ ]
1
1
L −1 2 =t U t  .
2 donc
p
p
Dans toute la suite de ce paragraphe, on admettra que les fonctions considérées admettent
des originaux.
Des propriétés de linéarité de la transformation de Laplace, on déduit que :
Propriétés
−1
−1
L −1  FG =L −1  F L −1 G et L kF =k L  F  , k ∈ℝ .
Exemples
5
6
1. Calculer l'original de F  p=  2
.
p p 4
5
6
1
2
F  p=  2
=5× 3× 2 2 . D'où f t= 53sin 2 t  U t  .
p p 4
p
p 2
3
5p
2. Calculer l'original de F  p= 2 − 2
.
p
p 9
3
5p
1
p
F  p= 2 − 2 =3× 2 −5× 2 2 . D'où f t= 3 t−5 cos3 t  U t .
p
p 9
p
p 3
p
3. Calculer l'original de F  p=
.
 p−324
p
p−3
3
p−3
3
2
F  p=
=

=
 ×
.
2
2
2
2
2
2
 p−3 4  p−3 4  p−3 4  p−3 2
 p−3222
3
3t
D'où f t= cos 2t  sin 2 t e U t .
2
13 e−2 p
4. Calculer l'original de F  p= 2
.
p 2 p2
−2 p
−2 p
13 e
1
e
F  p= 2
=
3×
.
2
2
p 2 p2  p1 1
 p1 1
D'où f t=sin t e−t U t3 sint−2e−t −2 U t−2 .
5 p10
5. Calculer l'original de F  p= 2
.
p 3 p−4
5 p10
5 p10
F  p= 2
=
. On décompose en éléments simples.
p 3 p−4  p−1 p4
a
b
ap4 abp−b ab p4 a−b
F  p=

=
=
.
p−1 p4  p−1 p4
 p−1 p4
Par identification, on obtient : ab=5 et 4 a−b=10 . Alors a=3 et b=2 .
3
2

Donc F  p=
. D'où f t= 3 e t 2 e−4 t  U t  .
p−1 p4

