Séquence 10 : Fonctions de référence

Séquence 10 : Fonctions de référence
I.
Fonction affine
Définition :
Une fonction , définie sur ℝ, est dite affine s’il existe deux constantes
ait
.
En particulier si
, alors sera appelée fonction linéaire.
et
tels que, pour tout réel , on
Propriété :
Soit une fonction affine définie sur ℝ par
.
 Si
, alors est strictement croissante sur .
 Si
, alors est strictement décroissante sur ℝ.
 Si
, alors est constante sur ℝ.
Tableau de variations selon le signe de a :
Démonstration :
Soit et deux nombres réels tels que
.
Si
, alors
et
c’est-à-dire
Donc est strictement croissante sur ℝ.
On ferait une démonstration similaire dans le cas où
.
.
Propriété : La représentation graphique de la fonction affine
Vocabulaire :
est la droite d’équation
.
est appelé coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.
Etude de signe de
avec
On sait que
⇔
⇔
⇔
car
Ce résultat et le sens de variation de suivant les valeurs de permettent de connaître le signe de
suivant les valeurs de :
On résume ces résultats par un tableau de signes :
Propriété : Règle du signe de
Signe de
Signe de
II.
La fonction carrée
Définition : La fonction définie sur ℝ, qui à tout réel
associe
Propriété (admise): La fonction carrée est décroissante sur
, est appelée la fonction carrée. On la note
et croissante sur
Tableau de variation de la fonction carrée :
Variations
de
0
Les variations de la fonction carrée se traduisent par :
Représentation graphique :
Définition : Dans un repère orthogonal d’origine O, la
représentation graphique de la fonction carrée est
appelée parabole de sommet O.
Propriété : Dans un repère orthogonal, la parabole
représentant la fonction carrée est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.
Démonstration :
ℝ, le point
de coordonnées
. Son symétrique par rapport à l’axe
est le
point
de coordonnées –
. Or
donc
.
III. La fonction cube
Définition : La fonction définie sur ℝ, qui à tout réel
associe
, est appelée la fonction cube. On la note
Propriété (admise): La fonction cube est croissante sur
Tableau de variation de la fonction cube :
Variations
de
Les variations de la fonction cube se traduisent par :
⇔
⇔
Représentation graphique :
0
⇔
Propriété : Dans un repère orthogonal, la représentation
graphique de la fonction cube est symétrique par rapport à
l’origine du repère.
Démonstration :
ℝ, le point
de coordonnées
. Son symétrique par rapport à l’origine du
repère est le point
de coordonnées –
. Or
donc
.
IV. La fonction inverse
Définition : La fonction définie sur ℝ*, qui à tout réel
différent de
associe
est appelée la fonction
inverse. On la note
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur
et décroissante sur
Remarque : On ne peut pas dire que f est décroissante sur
contre exemple :
.
Tableau de variation de la fonction inverse :
Variations de
0
0
Remarque : La double barre indique que la fonction n’est pas définie en .
Les variations de la fonction inverse se traduisent par :
⇔
Représentation graphique :
⇔
Définition : Dans un repère, la représentation
graphique de la fonction inverse est appelée hyperbole.
Propriété : Dans un repère d’origine O, l’hyperbole ℋ
représentant la fonction inverse est symétrique par
rapport à O.
V.
La fonction racine carrée
Définition : La fonction définie sur ℝ+, qui à tout réel positif
carrée. On la note
associe
, est appelée la fonction racine
Propriété (admise): La fonction racine carrée est croissante sur
Tableau de variation de la fonction carrée :
Variations
de
0
Les variations de la fonction racine carrée se traduisent par :
⇔
Représentation graphique :
Définition : Quels que soient les réels
équivaut à
Remarque : L’écriture
implique
De plus, pour tout réel positif ,
et
positifs :