LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE EN SECONDE I

LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE EN SECONDE
I. FONCTIONS AFFINES ET DROITES
Définition Une fonction f définie sur  est affine si, et seulement si, il existe deux réels m et p tels que,
pour tous réels x : f (x) = m x + p . m et p sont appelés les coefficients de la fonction affine f.
Dans le cas où p = 0, la fonction x ⟼ m x est une fonction linéaire.
Dans le cas où m = 0, la fonction x ⟼ 0 x + p est une fonction constante.
Propriété
 Une fonction affine est représentée graphiquement par une droite.
 Une fonction linéaire est représentée graphiquement par une droite qui passe par l’origine du repère.
 Une fonction constante est représentée graphiquement par une droite parallèle à l’axe des abscisses (Ox).
Propriété Soit la fonction affine f : x ⟼ m x + p .
 f est strictement croissante si, et seulement si, m > 0.
f est représentée par une droite qui "monte".
 f est strictement décroissante si, et seulement si, m < 0.
f est représentée par une droite qui
"descend".
 f est constante si, et seulement si, m = 0.
x
–
– b/a
signe de a x + b signe de l’opposé de a 0
+
signe de a
y
Propriété
Ordonnée à l'origine
p
Dans un repère, toute droite d admet une équation réduite
de la forme y = m x + p , ou bien x = c .
1
Coefficient
directeur
Pour la droite d’équation y = m x + p : m est le coefficient directeur
et p est l’ordonnée à l’origine de la droite.
|m|
1
Propriété
 Dans un repère, l’ensemble des points M (x ; y) tels que y = mx + p
0
1
est une droite qui coupe l’axe des ordonnées en un point P (0 ; p).
Elle représente la fonction affine x ⟼ m x + p .
 Dans un repère, l’ensemble des points M (x ; y) tels que x = c
est une droite parallèle à l’axe des abscisses (droite verticale).
Elle ne représente pas une fonction.
Ici c  3,6 et m  – 1,8
m < 0 car la droite "descend"
x
CAS PARTICULIERS :
 d est horizontale
d // (Ox)
 d est verticale
d // (Oy)
 d passe par
l’origine du repère.
La droite d passe par A ( x A ; y A ) et représente la fonction f.
Application avec A (– 3 ; 5).
coefficient directeur
équation de d
f est définie par
md=0
y=0x+yA
f (x) = 0  x + y A
y=0x+5
x=xA
d n’a pas de
coefficient directeur
x=–3
yA
y
md=
y= Ax+0
xA
xA
–5
–5
md=
y=
x+0
3
3
nom de la
fonction
f est une fonction
constante.
f (x) = 0  x + 5
md=0
d ne représente pas une fonction.
yA
x+0
xA
–5
f (x) =
x+0
3
f (x) =
f est une fonction
linéaire.
Dans un repère, A (xA ; yA) et B (xB ; yB) sont deux points tels que xA  xB .
y –y
 Le coefficient directeur de la droite (AB) est m (AB) = B A .
xB – xA
 y = m (AB) (x – x A) + y A (ou y = m (AB) x + y A – m (AB) x A ) est l’équation réduite de la droite (AB)
Propriété 6
 Deux droites non verticales sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur.
Elles sont donc sécantes si, et seulement si, elles n’ont pas le même coefficient directeur.
Soit a, b, c, a’, b’, c’ des réels donnés. Un système pouvant s’écrire sous la forme



axbyc
a’ x  b’ y  c’
est
un système de deux équations linéaires à deux inconnues réelles x et y.
La principale méthode pour résoudre un tel système est la résolution par substitution :
 On choisit une équation où on exprime y en fonction de x (ou bien le contraire).
 On remplace alors, dans l’autre équation, y par l’expression trouvée.
II. LA FONCTION CARRÉ

La fonction carré est définie sur  par f (x) = x 2 .

La représentation graphique de la fonction carré est
une parabole de sommet l’origine du repère.

La fonction carré est paire : pour tout réel x, f (– x) = f (x)
car (– x 2 ) = x 2.
f
(- x) ² = x ²
Sa représentation graphique, comme celle de toutes les fonctions
paires, est symétrique par rapport à (Oy) (l’axe des ordonnées).

La fonction carré est
décroissante sur ] –  ; 0]
et croissante sur [ 0 ; +  [.
x
x2
–
+
y
9
0
4
+
+
0
1
f admet un minimum en 0 valant 0 (un carré est toujours positif).
On a la règle de rangement des carrés suivante :
 Des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
-x
0
1
x
x
Si 0  a < b alors 0  a ² < b ²
 Des nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs carrés. Si a < b  0 alors a ² > b²  0.
III. LA FONCTION INVERSE

 La fonction inverse définie sur  * par g (x) = .
x
 La représentation graphique de la fonction inverse
est une hyperbole
y
g
Les axes de coordonnées sont les asymptotes de l’hyperbole.
1
Au voisinage de –  et de +  (« très loin » sur la gauche et
sur la droite du graphique) l’hyperbole est pratiquement
confondue avec l’axe abscisses sans jamais le couper car 1/x
ne s’annule jamais (0 n’a pas d’antécédent par g).
Au voisinage de 0 l’hyperbole est pratiquement confondue
avec l’axe abscisses sans jamais le couper car 1/x ne
s’annule jamais (0 n’a pas d’image par g).
0
1
 La fonction carré est impaire : pour tout réel x, g (– x) = – g (x) car  = –  .
–x
x
Sa représentation graphique, comme celle de toutes les fonctions impaires, est symétrique par
rapport à l’origine du repère.
 La fonction inverse est décroissante sur les intervalles ] –  ; 0 [ et ] 0 ;  [.

On ne peut pas dire qu’elle est décroissante sur  car  * = ] –  ; 0 [  ] 0 ;  [ n’est pas un
intervalle. De plus, on a – 2 < 2 mais pas g (– 2) > g (2) (  >  est faux). L’ordre n’est pas inversé.
 
On a la règle de rangement des inverses :
x –
0
+
–
+
1 0
Des nombres non nuls et de même signe sont
+
x
rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.
–
0
IV. LES FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
Définition Dire qu’une fonction définie sur  \ { c } est une fonction homographique, signifie qu’il
b
existe des nombres réels a, b, c , avec b ≠ 0, tels que pour tout réel x : f (x) = a +
.
x–c
Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de f est une hyperbole symétrique par rapport au
point A ( c ; a ).
Cas où b > 0
Cas où b < 0
x=c
y=a
A
y=a
A
x=c
x
a+
b
x–c
–
0–
c
+
–
+
0
+
a+
x
–
b
x–c
0+
c
+
+ 0 –
–
x