Fonction inverse

FONCTION INVERSE
I) Présentation
Définition : On appelle fonction inverse la fonction définie pour tout réel non nul par f ( x ) =
1
.
x
Remarque :
• Le réel 0 n’a pas d’inverse ; la fonction inverse f n’a pas d’image pour x = 0 : on dit que la fonction f n’est pas définie
en 0.
La fonction f est définie pour tout réel non nul : l’ensemble de définition de f est ]−∞ ; 0[ U ]0 ;+∞[ = R*.
1/o
‚ La fonction inverse permet de définir l’opérateur « passage à l’inverse »
.
II) Représentation graphique
Lorsqu’on représente dans un repère les points de coordonnées (x ;
1
), on obtient la représentation graphique H de la
x
fonction inverse.
Définition : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole ; son
1
équation est y = .
x
Remarque : La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole constituée de 2 « morceaux » appelées
branches de l’hyperbole.
y=
1
x
1
H
O
1
Propriété : L’hyperbole représentant la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine O du repère. On dit que la
fonction inverse est impaire.
Remarque : Les points M et M’ de la courbe d’abscisses .x et x ont des ordonnées opposées ; en effet
1
1
=− .
−x
x
Ils sont donc symétriques par rapport à l’origine du repère.
Propriété : Soit g une fonction définie sur R.
Lorsque la fonction g est telle que pour tout x réel, g(.x) = . g(x), alors la représentation graphique Bg de la fonction g
est symétrique par rapport à l’origine du repère ; on dit alors que la fonction g est impaire.
Remarques : • L’hyperbole H ne coupe pas l’axe des ordonnées : 0 n’a pas d’image par la fonction inverse. L’axe des
ordonnées d’équation x = 0 sépare les deux branches de l’hyperbole.
1
‚ L’hyperbole H ne coupe pas l’axe des abscisses : l’équation = 0 n’a pas de solution.
x
Fonction inverse 1/2
III) Sens de variation
Théorème :
• La fonction inverse est décroissante sur ]0 ;+∞[.
• La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[.
Conséquences :
• Sur ]−∞ ; 0[ : deux nombres négatifs et leurs inverses ne sont pas rangés dans le même ordre :
1
1
1/o
x1 < x2 < 0 équivaut à 0 >
>
. L’opérateur
renverse l’ordre sur ]−∞ ; 0[.
x1 x2
• Sur ]0 ; +∞[ : deux nombres positifs et leurs inverses ne sont pas rangés dans le même ordre :
1
1
1/o
0 < x1 < x2 équivaut à
>
> 0 . L’opérateur
renverse l’ordre sur ]0 ; +∞[.
x1 x2
• Tableau de variation :
x
−∞
0
0
La double barre
indique que 0 n’a
pas d’image.
+∞
+∞
Variation de
f
−∞
0
Fonction inverse 2/2