M moire de magist re Sur les solutions de l` quation des ondes

Mmoire de magistre
Juin 2003
Raphal
Cte
Sur les solutions de l'quation
des ondes gomtriques
Magistre de Mathmatiques Fondamentales
et Appliques et d'Informatique
cole normale suprieure
[email protected]
Table des matires
1 Introduction au thme de recherche
1.1 L'exemple de l'quation de Schrdinger nonlinaire
1.2 Le problme des ondes gomtriques . . . . . . . .
1.2.1 EDP vri
e par une Onde Gomtrique . .
1.2.2 Onde Gomtrique quivariante . . . . . . .
1.2.3 Quelques proprits . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Le problme de l'explosion . . . . . . . . . .
Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
5
5
6
7
9
9
2 Proprits qualitatives des ondes gomtriques critiques l'explosion 11
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Dcomposition d'une onde gomtrique et premiers rsultats .
2.1.1 Calculs prliminaires sur l'nergie . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Premire dcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Modulation de la dcomposition . . . . . . . . . . . .
2.2 tude du taux d'explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Objet Asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Renforcement de la convergence . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 nergie concentre l'explosion . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
22
Chapitre 1
Introduction au thme de recherche
Une partie des travaux de F. Merle porte sur l'tude qualitative des solutions de
certaines EDP, notamment l'quation de Schrdinger, KdV, l'quation de la chaleur
etc. Plus prcisment, il s'agit d'tudier le comportement explosif de solutions dont
la donne initiale se trouve dans un voisinage d'une solution d'nergie minimale (le
ground state ou tat fondamental). On obtient alors des rsultats spectaculaires : il
y a eectivement explosion (en temps ni), et le pro
l l'explosion est bien d
ni.
Ces rsultats ont t obtenus en particulier pour l'quation de Schrdinger nonlinaire
critique (NLS) et pour celle de Korteweg-de Vries (KdV).
1.1 L'exemple de l'quation de Schrdinger nonlinaire
A titre d'exemple, et pour mieux apprhender le type de proprits recherch dans
le cadre des wave maps, voici une prsentation succincte d'un thorme dans le cas de
NLS critique, issue de 1]. Merci Pierre Raphael qui a eu la gentillesse de relire cette
introduction !
On considre les solutions u : 0 T Rn ! C qui satisfont l'quation :
i@t u + u = ;juj4=n u
u(t = 0) = u0
(NLS)
Toute tude d'une EDP d'volution commence par un thorme d'existence locale, qui
s'crit dans le cas de (NLS) :
Thorme. Soit u0 2 H 1 . Il existe une unique solution maximale de (NLS) dans
C(0 T H 1 ), et le temps de vie T > 0 ne dpend que de ku0 kH 1 .
Cet nonc est gnrique de ce que l'on attend d'un thorme d'existence locale :
continuit en temps (ce qui donne un sens la condition initiale), et pas de restriction
sur la taille H 1 de la donne, sauf en ce qui concerne le temps d'existence. T est une
fonction dcroissante de ku0 kH 1 .
Dans le cas de NLS, H 1 = fu 2 L2 jru 2 L2 g est de plus un espace dans lequel il
est agrable de travailler, car il apparat comme l'espace d'nergie. On dira qu'il y a
explosion lorsque l'on ne peut plus appliquer le thorme d'existence locale, c'est--dire
dans le cas de NLS si kru(t)kL2 ! 1 (comme on va le voir dans la suite kukL2 est
conserve).
Par ailleurs, NLS est une quation qui possde plusieurs symtries : c'est un systme
hamiltonien. Si u est solution de NLS alors :
(Invariance espace-temps-phase) u(t;t0 x;x0 )ei0 aussi, t0 2 R x0 2 Rn 0 2 R,
4
Introduction au thme de recherche
(Invariance gallilenne) u(t x ; t)ei 2 (x; 2 t) aussi, 2 Rn ,
(Proprit d'chelle) u (t x) = n=2 u(2 t x), 2 R.
Remarquons que ku kL2 = kukL2 : c'est de l que provient la notion d'exposant critique.
En consquence, (et d'aprs un thorme de Noether), toute solution conserve certaines
quantits (quand
Z elles sont d
nies) :
(Masse) ju(t x)j2 dx,
Z
Z
1
1
2
(Energie) E (u) =
jru(t x)j ; 2 + 4=n ju(t x)j2+4=n = E0 ,
2
Z
(Moment) Im uru(t x),
2 Z
d
(Identit du Viriel) 2 jxj2 ju(t x)j2 dx = 16E0
dt
L'identit du Viriel prouve que toute solution d'nergie strictement ngative telle que
u0 2 = H 1 \ fxu 2 L2g explose en temps ni.
Par ailleurs, grce la proprit d'chelle et une application du thorme d'existence
locale dans H 1 , on en dduit dj un minorant du taux d'explosion (pour les solutions
explosives) : jru(t)jL2 C (u0 )(T ; t);1=2 .
Une solution trs particulire joue un r le trs important : l'tat fondamental Q. Il
s'agit de l'unique fonction de H 1 , strictement positive, tendant vers 0 l'in
ni, solution
de l'quation elliptique non-linaire :
Q + QjQj4=n = Q
(l'existence et l'unicit de cette solution est un thorme non trivial). Le ground state
est reli NLS par le fait que u(t x) = eit Q(x) est une solution - stationnaire - de NLS
(onde solitaire). Remarquons qu'alors Q (x) = n=4 Q( 1=2 x) est aussi associ une
solution stationnaire, savoir u (t x) = eit Q (x). Dcrivons un peu les proprits de
Q : c'est une fonction symtrie radiale, C 1 et dcroissance exponentielle, d'nergie
E (Q) = 0. En fait, Q ralise le minimum dans l'ingalit de Gagliardo-Nirenberg :
R
Z
Z
2 2=n
8v 2 H 2 +14=n jvj2+4=n 12 jrvj2 R jQvj2
Ceci implique en particulier que si ku0 kL2 < kQkL2 , la conservation de l'nergie entrane
un contr le de kru(t)kL2 C (u0 ), et la solution est globale en temps.
Mais dans un voisinage de Q, on a le rsultat prcis pour les solutions d'nergie
ngative :
Thorme. F. Merle, P. Raphael, 2001] Il existe > 0 tel que ce qui suit soit
vri. Soit u0 2 H 1 tel que :
R u ru 2
Z
Z
Z
1
2
2
2
Q < ju0 j Q + et E (u0 ) 2 Im ku0 k 20
0 L
Alors la solution u associe explose en temps ni T et il existe des paramtres 0 (t) =
krQkL2
kru(t)kL2 , x0 (t) et 0 (t) tels que :
1
ei0 (t) 0(t)n=2 u(t 0 (t)x + x0 (t)) ;! Q dans H_ 1 quand t " T
De plus pour n = 1, on a l'estime suivante :
s
jT ; tjj
ku(t)kH 1 C log j jlog
T ; tj
1.2 Le problme des ondes gomtriques
5
Remarque : Cf 1] pour plus de dtails.
Terminons par quelques remarques sur ce thorme. Tout d'abord, il entrane que
pour des donnes initiales dans un voisinage point de Q (parmi les donns d'nergie
nulle), on a explosion, ce qui est en soit m!me un rsultat non trivial. D'autre part,
il montre l'existence d'un pro
l l'explosion, savoir Q (aux symtries du problme
prs). En
n, rsultat tout fait remarquable, l'estimation du taux d'explosion rejoint
les prdictions numriques.
1.2 Le problme des ondes gomtriques
1.2.1 EDP vrie par une Onde Gomtrique
Mon thme de recherche est d'essayer de voir ce qu'il en est pour le problme des
ondes gomtriques (wave map en anglais).
Les ondes gomtriques ne sont pas rellement issues d'un problme physique. Du
point de vue des physiciens (qui les appellent des -modles), ce sont des modles simpli
s pour les structures tendues en thorie des champs " les mathmaticiens les voient
plut t comme une situation gomtrique simple pour l'tude de l'existence globale et
la formation de singularits.
Une onde gomtrique est une fonction U de l'espace-temps de Minkowski (R1+n )
( = diag(;1 1 : : : 1)) valeur dans une varit riemannienne (N g), qui est un point
critique de l'action :
Z
S (U ) = gab @ U a @ U b dnxdt
()
(Il s'agit juste du Lagrangien standard h@ U @ U ig intgr en temps et en espace,
o# @ = @ ). C'est la d
nition variationnelle d'une onde gomtrique. $ cette
d
nition est associe un systme d'EDP dans les coordonnes locales :
@ @ U a + ;abc(U )@ U b @ U c = 0
()
o# les ;abc sont les symboles de Christoel associs la varit N (le deuxime terme
reprsente la seconde forme fondamentale).
Pour comprendre ce que () signi
e, pla%ons nous dans le cas o# N = R, et g = 1.
On a alors :
ZZ ;
SR(U ) =
;jUt j2 + jrU j2 dxdt
t x
Dire que U est un point critique signi
e exactement que pour toute fonction test :
Rn ! R :
0 = dSR (U ): = 2
ZZ
t x
(;Ut t + rU:r) dxdt
On intgre par partie en t le premier terme, et en x le second :
0=
ZZ
t x
(Utt ; U ) dxdt
On retrouve donc, au sens D0 (en fait H 1 su&t pour avoir le droit de faire les intgrations
par parties), l'quation des ondes libre :
Utt ; U = 0
6
Introduction au thme de recherche
L'quation () est obtenue de manire similaire : on trouvera dans l'introduction
du chapitre 4 une manire dtaille de l'obtenir, et l'expression dans le cas de la sphre
N = S2.
En fait, () peut se comprendre d'une manire plus gomtrique. Supposons par
exemple que N ,! Rm et qu'elle possde un voisinage tubulaire (d'paisseur uniforme
) V et d'une projection : V ! N (c'est le cas si N est compacte). Alors, pour
1+n
m
tout 2 C1
c (R R ), en posant
R < =kk1 , U = N (U + ) est bien d
nie, de
1+
n
R
! N . U est critique pour S , ce qui nous donne :
d Z
Z
0 = d S (U ) =
h@ dN (U ):j@ U ig dxndt
1+
n
R
=0
On en dduit aprs intgration par partie que hdN (U ):j2uig = 0. Mais dN (U ) est
une projection pour tout U , et est donc auto-adjointe, soit :
h j dN (U ):2U ig = 0:
1+n
m
Ceci tant valable pour tout 2 C1
c (R R ), on obtient nalement dN (U ):2U = 0.
Ainsi, une onde gomtrique U vri
e :
2U ? TU N
C'est ce qu'on appelle l'quation extrinsque satisfaite par une onde gomtrique.
1.2.2 Onde Gomtrique quivariante
Cependant il est di&cile d'tudier les ondes gomtriques dans toute leur gnralit. $ titre d'exemple, on ne dispose pas encore d'un thorme d'existence locale dans
l'espace d'nergie (H n=2 ) pour des ondes gomtriques quelconques.
Il apparat que le cas n = 2 est particuliment important, et on demande souvent
aux ondes gomtriques d'avoir une certaine symtrie (radiale par exemple).
L'quation tudie dans les chapitre 4 et 5 est une forme trs particulire d'onde
gomtrique. Tout d'abord on demande que N soit la varit 0 C sin S1 : c'est--dire
que N est la boule ouverte de rayon C (dans R2 ), et qu'en utilisant les coordonnes
Pour x 2 N r = jxj = x=jxj
sa mtrique s'crive :
ds2 = dr2 + sin2 (r)d2 :
On demande de plus que U ne soit pas quelconque, mais de la forme :
j
U j (t x) = xr u(t r) (j = 1 2)
o# les xj sont les coordonnes cartsiennes d'espace de l'espace de dpart R2 , et donc
u reprsente la norme de U . On dit que U est quivariante corotationnelle.
On obtient alors une EDP sur u, qui s'crit :
8
>
< utt = urr + 1r ur ; sin2r22u
(1.1)
>
: uujtj=0 ==uu0
t t=0
1
1.2 Le problme des ondes gomtriques
7
Remarquons que la notion de onde gomtrique quivariante ne peut !tre d
nie dans
le cas gnral que si N est symtrie sphrique.
Une onde gomtrique minimise par d
nition l'action d
nie par le Lagrangien
standard : il est donc normal de trouver le D'Alembertien (radial, en dimension 2),
et on a aaire une quation d'onde semi-linaire. L'quation (1.1) crite ci-dessus
renferme toutes ces conditions : dsormais on ne s'intressera qu' (1.1), et non la
manire dont elle a t obtenue.
1.2.3 Quelques proprits
Par construction de l'onde gomtrique comme extremum d'une certaine action, on
obtient la conservation d'une nergie, savoir :
Z 2 u
sin
2
2
rdr
E (u) = ju j + ju j +
t
r
r2
On a aussi une proprit d'chelle :
u(t r) onde gomtrique () u (t r) = u(t r) onde gomtrique
De plus comme il s'agit d'une quation d'onde, on aura aussi la propagation vitesse
nie de l'nergie (dans notre cas, la vitesse est 1). Notons :
Z R
2 u
sin
2
2
E (u R) =
ju j + ju j +
rdr
t
0
r
r2
Cela s'crit alors (par exemple) :
E (u(t) R) E (u(t + ) R + j j)
o# E (u(t) R) dsigne l'nergie au temps t, entre r = 0 et r = R. Une consquence
explicite s'crit :
Si Supp(u0 ) Supp(u1 ) a b], alors Supp(u(t)) a ; t b + t] \ R+ :
(C'est cette proprit que l'on sous-entend en gnral quand on parle de propagation vitesse nie).
En
n, lorsque l'on s'intresse l'quation des ondes semi-linaire, un des outils fondamentaux est l'ingalit de Strichartz. Il s'agit d'une estime linaire entre une fonction v et son D'Alembertien 2v. Cette estime est notamment au coeur des thormes
d'existence locale. Voici une version relativement simple de l'ingalit de Strichartz : si
v : R Rn ! C , on a
;
kvkLq (0T ]Lp(Rn )) C (n p q r) kv(t = 0 )kH 1 (Rn ) + k2vkL1 (0T ]L2(Rn ))
o# les indices r et q vri
ent : r 2 = 2n=(n ; 2) et la condition dite de 'gap(
1=q + n=r = n=2 ; 1. Remarquons que C ne dpend pas de T ). Dans le cas des ondes
gomtriques quivariantes, ce n'est pas tout fait cette estime que l'on utilise, mais
une gnralisation dans des espaces de Besov homognes.
Ces faits permettent d'obtenir des rsultats prcieux :
Dcroissance de l'nergie sur les c nes et vanescence du )ux : en notant v(`) =
u(;` `), pour T T 0 0, on a
Z jT j 2 v
sin
0
0
02
E (u(T ) T ) ; E (u(T ) T ) =
v +
`d` = Flux(u T 0 T ) 0
T
0
et Flux(u 0 T ) ! 0 quand T ! 0,
`2
8
Introduction au thme de recherche
Thorme d'existence locale dans l'espace d'nergie H 1 et non dans H 2 que donne
la thorie standard des quations des ondes semi-linaires (c'est un rsultat de
Shatah et Tahvildar-Zadeh),
Condition d'explosion (issue de la dmonstration du thorme d'existence locale) :
il existe une constante "0 > 0 telle que :
Si u explose en T alors limt"Tinf E (u(t) T ; t) "0
("0 ne dpend pas de l'onde gomtrique u considre). Cette condition d'explosion est donc en fait une condition de concentration de l'nergie en 0. Elle a
un avantage tout fait signi
catif sur une condition du type ' kukH ! 1( : sa
signi
cation 'physique( la rend beaucoup plus maniable.
vanescence de l'nergie dans les c nes 'extrieurs( (c'est un rsultat profond d*
Shatah et Chritodoulou 2]) : pour 2]0 1 x,
Z jtj 1
1 u2 + sin2 u rdr ;;;
t!0
u
+
!0
ext (t) =
t
r
2
2
r
jtj 2
E
def
2
Rappelons encore une fois que le thorme d'existence locale (ainsi que la condition
d'explosion qui en dcoule) n'est ici valable que pour les ondes gomtriques quivariantes et les ondes gomtriques radiales.
En
n, pour simpli
er les notations, on supposera souvent qu'une wave map u explose en T = 0, et en consquence, les donnes initiales correspondront un t < 0
(souvent se sera t = ;1) : ceci est justi
par l'invariance en temps de l'quation.
Il s'avre que la dimension 2 (au dpart) est critique pour les ondes gomtriques,
trois gards. L'espace d'nergie H 1 s'injecte presque dans L1 , mais pas tout fait
(exposant critique de l'injection de Sobolev) : ainsi la contrainte de rester dans N (si
N est borne), ou (si N n'est pas borne) la mtrique introduite impose aussi le fait
d'!tre L1 (cf chapitre 4).
D'autre part, il n'existe pas de solution autosimilaire d'nergie nie, ce qui est le
cas en dimension suprieure (pour R1+3 par exemple). Une solution autosimilaire est
de la forme u(t r) = v(r=t). Si on se donne une condition initiale rgulire compatible t = ;1, on obtient alors naturellement une solution explosant t = 0. Cela permet de
conclure alors facilement qu'il n'y a pas d'existence globale, m!me donnes initiales
trs rgulires. A contrario, dans notre cas des ondes gomtriques symtries dans
R 1+2 , on ne connat pas d'exemple de donnes initiales rgulires qui induisent une
explosion en temps ni : il existe des solutions auto-similaires, mais elles sont d'nergie
in
nie (cf chapitre 4 pour plus de dtails).
En
n l'nergie est conserve par changement d'chelle (i.e. E (u ) = E (u)), et on
peut esprer obtenir une thorie donnes petites. En eet, si on avait E (u ) = E (u)
(avec 6= 0), quitte changer d'chelle, on aurait pu supposer u d'nergie aussi petite
que l'on veut : ainsi l'hyptohse de donnes grandes ou petites n'aurait rien apport
au problme. Par contre, dans notre cas, supposer les donnes d'nergie petite apporte
eectivement quelque chose : on espre obtenir un rsultat d'existence globale (c'est-dire T = 1 dans le thorme d'exitence locale).
Le problme est dlicat, plusieurs auteurs y ont contribu (notamment M. Struwe,
J. Shatah, T. Tao). Un rsultat assez gnral t obtenu par T. Tao, qui a montr
l'existence globale de solutions donnes initiales d'nergie petites, pour des ondes
gomtriques (sans symtries) valeur dans la sphre de dimension quelconque.
1.2 Le problme des ondes gomtriques
1.2.4 Le problme de l'explosion
9
Venons en au problme prcis qui fera l'objet de la thse. On connat une solution
(au changement d'chelle et direntes invariances prs) stationnaire de (1.1) :
Q(r) = 2 arctan(r)
Cette onde gomtrique ralise le minimum de l'nergie parmi les fonctions qui s'annulent en 0 en tendent vers en +1. L'ide est d'tudier ce qui se passe pour des
ondes gomtriques u vri
ant :
E (Q) < E (u) E (Q) + (et bien s*r, u(t 0) = 0, u(t r) ! quand r ! 1) : remarquons que ces conditions
sont prserves au cours du temps sous la condition de non-concentration de l'nergie).
Avant de s'intresser au caractre d'volution d'une onde gomtrique, il faut obtenir
quelques rsultats 'statiques(.
On tudie tout d'abord la Hessienne d2Q E de l'nergie E au point Q (cf chapitre 4).
La proprit d'chelle entrane qu'il existe un noyau non restreint 0 : on s'aper%oit
qu'il est en fait gal rQr R. Le problme est alors de savoir si l'nergie est coercive
dans un hyperplan supplmentaire au noyau (et pour quelle norme). Il s'avre que c'est
le cas, dans l'espace de Hardy de dim 2 :
H = H 1 \ fu=r 2 L2 (rdr)g
(qui est en fait l'espace vectoriel 'tangent( au point Q pour les u d'nergie nie au
sens o# si u est d'nergie su&samment proche de Q, u(0) = 0, u ! en +1, alors
u ; Q 2 H ).
Un autre rsultat est l'existence d'une dcomposition pour u :
u = Q + "
" est ici d'nergie petite, et reprsente le changement d'chelle ncessaire pour que u
ait le 'pro
l( Q. Ensuite, quitte changer un peu le paramtre d'chelle, on peut supposer que la dcomposition vri
e en plus une contrainte sur " (souvent ces contraintes
sont des conditions d'orthogonalits, mais dans notre cas, il s'agit d'une contrainte nonlinaire : cf. chapitre 5) : l'intr!t d'imposer cette contrainte et de s'assurer que l'on
reste toujours loign du noyau de d2Q E .
Une consquence est un premier renforcement de la condition d'explosion : comme
l'nergie de " est petite, si u explose, ! 1, mais alors toute l'nergie de Q est
concentre, et n'est compense au plus que par celle de ".
Dans le chapitre 5, on tudie 2 consquences de ces dcompositions sur des ondes
gomtriques que l'on suppose !tre explosives :
$ quelle vitesse ! 1. A priori, la vitesse nie de propagation donne que pour
une onde gomtrique explosant en T = 0, on a :
(t)jtj 1
(c'est le taux auto-similaire). On cherche montrer qu'en fait, (t)jtj ! 1.
Quelle est l'nergie minimale concentre lors de
qu'elle doit
pl'explosion.pOn avu
2
!tre suprieure quelque chose de la forme ( E (Q) ; E (") . En fait, on
aimerait obtenir la concentration d'une nergie suprieure E (Q).
Il reste de nombreux points clairer. Notamment, il faut enlever une hypothse
technique pour complter les rsultats du chapitre 5, et deux 'vrais( problmes : dterminer s'il y a ou non explosion (en temps ni ou non), et dans le cas explosif, essayer de
dgager un pro
l l'explosion (li Q) - c'est l que rside la dynamique du problme.
10
Rfrences
Rfrences
1] F. Merle & P. Raphael : On Blow-up for prole for the critical nonlinear Schrdinger equation, Preprint, 2001.
2] J. Shatah & M. Struwe : Geometric Wave equations, Courant Lecture Notes in
Mathematics 2, 1998.
3] J. Shatah & A. Tavildar-Zadeh : On the Cauchy Problem for equivariant wave
maps, Communications on Pure and Applied Maths, 47 (p. 719-753), 1994.
4] J. Ginibre & G. Velo : Generalized Strichartz Inequalities for the Wave Equation,
J. of Func. Anal., 133 (p. 50-68), 1995.
5] T. Tao : Global regularity of wave map II. Small energy in two dimension, Comm.
Math. Phys., 224 (p. 443-544), 2001.
6] P. Bizn, T. Chmaj & Z. Tabor : Formation of singularitites for equivariant
(2+1)-dimensional wave maps into the 2-sphere, Nonlinearity, 14 (p. 1041-1053),
2001.
Chapitre 2
Proprits qualitatives des ondes
gomtriques critiques l'explosion
Dbut de thse1
Introduction
Le but de cette note est de prsenter quelques rsultats concernant la vitesse d'explosion et l'nergie concentre l'explosion d'une onde gomtrique (explosive) d'nergie
proche de de celle de Q (solution stationnaire).
En particulier, on exhibe un paramtre qui dtermine s'il y a ou non explosion, et
la vitesse la laquelle se concentre l'explosion.
Sous une condition de continuit du )ot pour la topologie H 1 -faible, on montre
que ce taux l'explosion est plus grand que le taux autosimilaire (issu de la proprit
d'chelle), et on en dduit en corollaire que l'nergie concentre l'explosion est suprieure l'nergie totale de Q.
2.1 Dcomposition d'une onde gomtrique et premiers rsultats
2.1.1 Calculs prliminaires sur l'nergie
Soit u : Rt
R+
r
! R vri
ant :
(
utt = urr + 1r ur ; sin2r22u
(u ut )jt=0 = u0
On a la conservation de l'nergie :
def
E (u(t)) =
Z 1
0
Ce qui nous amne la :
Dnition 2.1.
1
On note Eab (u) =
Sous la direction de F.
Merle
2
ut + ur + sinr2 u rdr = E (u0 )
2
2
Z b
2u sin
2
2
ut + ur + r2 rdr, et E (u t) = E0jtj(u).
a
(2002-2003)
12
Proprits qualitatives l'explosion
On s'intresse ici la quantit F (t) = E (u(t) b(t)) o# b est une certaine fonction
rgulire :
Lemme 2.1.
d F (t) = b ;b ;u2 + u2 + 2u u + b sin2 u (t b(t))
t t
t r
t b
r
dt
Preuve :
d F (t) = d Z b(t) u2 + u2 + sin2 u rdr
t
r
dt
dt 0
r2
2 u(t b(t)) sin
2
2
= bt (t)b(t) ut (t b(t)) + ur (t b(t)) +
b(t)2
Z b(t) +2
utt ut + urt ur + sin2r22u ut rdr
0
2
= bt (t)b(t) u2t (t b(t)) + u2r (t b(t)) + sin bu((tt)2b(t))
Z b(t) +2
urr + 1r ur ; sin2r22u ut + urt ur + sin2r22u ut rdr
0
2 u(t b(t)) sin
2
2
= bt (t)b(t) ut (t b(t)) + ur (t b(t)) +
b(t)2
+2 ur ut r]b0(t)
; ;
= b(t) bt (t) u2t (t b(t)) + u2r (t b(t)) + 2ut (t b(t))ur (t b(t))
2
+bt (t) sin ub((tt)b(t))
Corollaire 2.1.
1. Si 1, E (u(t) R + t) est dcroissante en t. En partuclier,
E (u(t) R + t) admet une limite quand t ! 0. D'autre part, on a la propagation
vitesse nie de l'nergie (R 0, j j jtj) :
E (u(t) R) E (u(t + ) R + j j)
2. Si b(t) est tel que F (t) = cste, on a : bt 2 ;1 1]. En particulier, b(t) admet une
limite en 0.
Preuve :
1. On pose b(t) = R + t.
2. On veut dtd F (t) = 0. Tous les termes ne peuvent !tre de m!me signe, d'o# la
contrainte.
2.1.2 Premire dcomposition
Lemme 2.2. Il existe 0 > 0 tel que ce qui suit soit vri. Pour tout < 0 , si u
est tel que E (Q) E (u) E (Q) + , u(0) = 0, et u ! en +1, alors u admet la
dcomposition :
u ; Q = "
o 2 R et k"kH (
) avec (
) ! 0 quand ! 0.
2.1 Dcomposition d'une onde gomtrique et premiers rsultats
13
Preuve : Soit un tel que E (Q) E (un) E (Q) + n1 , un = 0, u ! en +1. On
construit :
r
vn (r) = un o# n est tel que vn(1) = 2
n
C'est possible car un est continu.
On a : E (vn ) = E (un ). En particulier, rvn est borne dans L2 (rdr), donc converge
faiblement pour une sous-suite vers w.De m!me, pour tout n, kvn kC0 C (E (Q)+1) =
C (5) = C , donc vn est uniformment borne. Soit K un compact de ]0 +1. On a
pour tout x < y 2 K :
Zy
8n jvn(x) ; vn(y)j j@r vn(r)jdr
x
Z y
1=2 Z y dr 1=2
2
j@r vn(r)j rdr
x
x r
r p
x5 jx ; yj
Puisque inf K > 0, vn est donc quicontinue sur K , ponctuellement borne, donc
d'aprs le thorme d'Ascoli, d'adhrence compacte dans C0 (K ).
On pose Km = 1=m m], pour m 2 entier. On suppose que l'on a construit des
extractions 1 : : : m telles que v
1 m (n) ! wm dans C0 (Km ). On dispose alors
d'une extraction m+1 et de w0 2 C0 (Km+1 ) telles que v
1 m m+1 (n) ! wm+1
dans C0 (Km ). Par sparation de C0 (Km ), on a wm+1 jKm = wm . On pose nalement
(m) = 1 m (m), et pour r > 0, v(r) = wm (r) si r 2 Km (c'est possible d'aprs
la remarque prcdente). Le procd de diagonalisation nous assure alors que :
8m v(n) ! vjKm dans C0(Km )
En particulier, v est continue sur ]0 +1, v(1) = =2. De plus v(n) ! v pp et dans
D0 (]0 +1). Cela implique que rv = w. tudions un peu v. Par Fatou, on a :
Z sin2 v
Z sin2 v
n
dr
lim
inf
r
r dr
De m!me, par limite faible, kvkH_ 1 lim inf kvn kH_ 1 , donc :
E (v) lim inf E (vn ) E (Q)
E (v) < 1 donc v admet des limites en 0 et en +1, qui annulent sin. L'estimation
ponctuelle d'nergie :
2j cos(w(x)) ; cos(w(y))j Exy (w)
donne que pour les vn , lim supn vn (r) = , lim inf n vn (r) = 0, et ce pour tout r > 0.
Ainsi (par convergence pp), v(r) 2 0 ]. Prouvons maintenant que :
8r 1 v(r) 2 et 8r 1 v(r) 2
On dmontre une seule de ces ingalits, l'autre se dduisant de la m!me manire. Soit
donc r < 1 tel que v(r) > =2, on note 2" = ; cos(v(r)) > 0. On a convergence
14
Proprits qualitatives l'explosion
uniforme sur tout compact, donc il existe N tel que pour n N , vn (r) =2 + ". On
choisit nalement n tel que n1 ". Alors :
E (Q) + 1 E (v ) = E r (v ) + E 1 (v ) + E +1 (v )
n
n
0
n
r n
1
n
2 (j cos(vn(r)) ; 1j + j cos(vn(r))j + 1)
2 (2 + 2j cos(vn (r))j) car cos(vn (r)) < 0
4 + 4" = E (Q) + 4"
Ce qui est absurde. Ainsi, v(0) = 0 et v ! en +1. Puisque E (v) E (Q), la carac-
trisation de Q donne que E (v) = E (Q) et qu'il existe tel que v = Q . Maintenant,
v(1) = =2 = Q(1) donc = 1, v = Q.
Essayons prsent d'valuer E (vn ; Q). On a : E (vn ) ! E (Q), ce qui implique
l'galit dans Fatou et dans les normes pour le passage la limite faible dans H_ 1 .
En particulier, vn ! Q dans H_ 1 -fort. Pour la partie non-linaire :
sin2 (vn ; Q) = (sin vn cos Q ; sin Q cos vn )2
= sin2 vn (1 ; sin2 Q) + sin2 Q(1 ; sin2 vn )
;2 sin Q sin vn cos vn cos Q
= sin2 vn + sin2 Q ; 2 sin2 vn sin2 Q
;2 sin Q sin vn cos vn cos Q
On intgre dans L1 (dr=r). Le premier terme vri
e l'galit dans Fatou, donc :
Z
Z sin2 v
n dr ! sin2 Q dr
r
r
Le deuxime terme ne pose pas de problme. Le troisime terme
est domin par sin2 Q 2
R
4
L1 (dr=r), donc vu la convergence ponctuelle, tend vers sinr Q dr grce au thorme
de convergence domine. En
n sin Q(r) = 1+rr2 donc sin Q 2 L1 (dr=r), ce qui assure la
convergence du quatrime terme dans L1 (dr=r). En remontant les calculs prcdents,
on a donc :
Z sin2(v ; Q)
Z sin2(Q ; Q)
n
dr !
dr = 0
r
r
Ainsi, E (vn ; Q) ! 0 quand n ! 1. Vu l'estime d'nergie ponctuelle, cela implique
en particulier que vn ! Q uniformment sur R+ tout entier. Mais si E (vn ; Q) 4,
vu que vn (0) ; Q(0) = 0 et vn ; Q ! 0 en 1, par l'estime ponctuelle, jvn j =2.
Mais alors, j sin vn j 2=jvn j, et donc :
kvn ; Qk2H CE (vn ; Q) ! 0 quand n ! 1
Ainsi, si E (u0 ) E (Q) + , on peut faire cette dcomposition pour tout temps t.
On notera 0 (t) le changement d'chelle :
u(t r) = Q0(t) (r) + "(t 0 (t)r)
Lemme 2.3. On a l'ingalit :
q
q
q
Eab (u + v) Eab (u) + Eab (v)
2.1 Dcomposition d'une onde gomtrique et premiers rsultats
15
Preuve : Notons tout d'abord que j sin(u + v)j = j sin u cos v + cos u sin vj j sin uj + j sin vj. On en dduit :
Z b
2
(
j
sin
u
j
+
j
sin
v
j
)
b
2
2
rdr
Ea(u + v) (ut + vt ) + (ur + vr ) +
r2
a
Z b
j
sin
u
sin
v
j
b
b
Ea (u) + Ea (v) + 2
utvt + ur vr +
rdr
2
r
a
q
Eab (u) + Eab v) + 2 Eab (u)Eab (v) par Cauchy-Schwarz
Ce qui est exactement le rsultat annonc.
Proposition 2.1. Critre d'explosion : il existe une constante unviserselle "0 > 0 telle
que :
u explose au temps T () E0T ;t (u(t)) = E (u(t) T ; t) "0 pour t < T
Remarquons que la fonction t 7! E (u(t) T ; t) est dcroissante. Il existe donc une
limite ET (u) : on dira que u concentre l'nergie ET (u).
On supposera dans toute la suite que est choisit de sorte que :
minf
0 1g et (
) < minf"0 1=4g
Lemme 2.4. Soit u une onde gomtrique
p explosant en 0, telle que E (u) E (Q) + .
Alors u concentre au moins E (Q) ; 4 (
). En particulier :
0 (1t)jtj 1
u
Preuve : On considre la dcomposition : u(t) = Q(t) + "(t). On a videmment :
E ("(t)) (
) < "0
Supposons que lim inf t"0 (t)jtj < 1. Alors il existe une suite (tn ) qui tend vers 0
en croissant, telle que (tn ) M pour une certaine constante M . Cela entrane que
E (Q(tn ) tn ) ! 0 quand t ! 0, et donc :
lim
inf E (u(tn ) tn ) lim
inf E (Q(tn ) tn ) + E ("(tn ) tn )
n!1
n!1
q
+2 E (Q(tn ) tn )E ("(tn ) tn )
lim sup E ("(tn )) < "0
n!1
Ce qui est absurde, car cela nie l'hypothse que u explose en 0. Ainsi, (t) ! 1. Donc :
s s
p
E u(t) C(t) E (Q(t) C(t) ; E ("(t))
p
p
E (Q C ) ; (
)
Par propagation vitesse nie de l'nergie, on en dduit que :
E (u(t) t) p
p 2
E (Q C ) ; (
)
16
Proprits qualitatives l'explosion
Et ceci tant vrai pour tout C 0, on a :
p 2
p
E (Q) ; (
) E (Q) ; 4 (
)
p
Comme on sait de plus que E (u(t) (1t) ) 2 + 3 E (Q) ; 4 (
), on en dduit
que 1 jtj. Ceci achve de dmontrer les rsultats voulus.
(t)
E (u(t) t) p
Remarque : Ce rsultat sera amlior la n de la note.
2.1.3 Modulation de la dcomposition
Proposition 2.2 (Dcomposition prcise). Il existe 1 > 0 tel que ce qui suit soit
vri. Si E (u) = E (Q) + , avec 1 , alors il existe (t) continue tel que :
u(t r) = Q((t)r) + "(t (t)r)
et :
1 ; (t) + E ("(t)) (
) o (
) ! 0 quand ! 0
Z 1 0(t)
1
sin(2
Q
(
))
sin(2
"
(
t
))
Q()" (t ) + 2
d = 0
4
0
Preuve : Commen%ons par le cas o# = 1 : u(1) = 2 . On cherche appliquer le
thorme des fonctions implicites, o# u se trouve dans un voisinage de Q. On considre
donc
" : 7! 7! Q() ; u On veut que f (" ) = 0, o# :
Z 1
f (" ) =
Q() (e()) () + 412 sin(2Q()) sin ("()) () d
0
On veut exprimer " en fonction de , il nous faut donc calculer @ f , au point (" =
d " = u . Et comme " = 0 () u = Q :
0 = 1). Or on a : d
=1
Z 1
@ f j"=0=1 =
Q Q + 412 sin(2Q) sin(2Q ) d 6= 0
0
Ainsi, par le thorme d'inversion locale, il existe un voisinage U ]1 ; 1 + de
(Q 1) tel que :
f (" ) = 0 () " = "()
avec B (Q ) U . Quitte restreindre, on peut supposer que ( ) 0 , et on pose
1 = min > 0. On a dmontr que si u 2 B (Q 1 ), il existe 2]1 ; 1 1 + 1 tel
que " = Q ; u( ) vri
e la contrainte f . Bien s*r, varie de fa%on C 1 avec u.
Repla%ons-nous maintenant dans le cas gnral. On introduit donc le changement
d'chelle
u (t r) = u
r
t (t) :
0
2.2 tude du taux d'explosion
17
Alors u (t) 2 B (Q
1). Ce qui prcde s'applique u (t), et il existe donc 1 (t) tel que
" = Q ; vt 1(t) vri
e la contrainte f . Mais alors, en posant (t) = 1 (t)0 (t), on
obtient la dcomposition dsire, les estimes de petitesse tant obtenue par construction. En
n, est continue car 0 l'est (comme u), et que 1 aussi (car elle est C 1 ).
2.2 tude du taux d'explosion
2.2.1 Objet Asymptotique
On pose ici que (t) est d
ni comme tant l'inf des rels suprieurs jtj, vri
ant :
u t (1t) = 2
Soit u une solution d
nie sur ;1 0, explosant en t = 0, d'nergie infrieure (strictement) 8 et telle que u (t) soit bien d
ni et vri
e :
8t < 0 C1 (1t)jtj C2
u
o# C1 , C2 sont des constantes strictement positives.
D'aprs l'explosion de u en 0 et la propagation vitesse nie de l'nergie, on peut
supposer que C2 = 1. Par ailleurs, u concentre au moins une nergie gale 2. Remarquons ds prsent que pour tout x, u(t0 + t= r=) est encore solution, et
a la m!me nergie que u. Soit tn = ;2;n une suite croissante de temps, tn ! 0, et
n = u (tn). On pose :
un (t r) = u(t jtnj r jtnj)
un est une solution d
nie sur ;1 0, qui explose en 0. Bien s*r, on a un (;1 r) =
u(tn r jtn j), et unt (;1 r) = jtnjut (tn r jtnj). De plus,
Zt
Zt
e(un )(t r)rdr =
e(u)(t jtnj rjtn j)rdr
0
0
Z tjtn j
=
e(u)(t jtnj r)rdr 2
0
Donc un concentre une nergie au moins gale 2. On considre la suite de fonctions
(un (;1 ) unt (;1 ))n2N :
Elle est borne dans H , donc extraction prs, on peut supposer qu'elle converge
faiblement vers v0 2 H . On en dduit de plus que un (;1) ! v0 pp et uniformment sur
les compacts de ]0 +1, et de plus unr (;1) * v0 r dans L2 (rdr)-faible, et unt (;1) * v1
dans L2 (rdr)-faible.
1
Par ailleurs, par d
nition, un ;1 jt j = 2 . Mais 1jt j 2 C1 1] par hyn n
n n
1
pothse : quitte extraire, on peut supposer que
! 2 C 1], et comme la
1
n jtn j
suite un est quicontinue, on en dduit que un (;1 ) ! 2 , c'est--dire, v0 (
) = 2 . Par
18
Proprits qualitatives l'explosion
le m!me argument que pour le lemme de dcomposition, on en dduit que v(0) = 0,
v ! en +1, et par convergence faible, E (v) E (un ) = E (u). On d
nit prsent
notre objet asymptotique : v satisfait
8
>
2v = sin2r22v
<
1 ) = v0
>
: vv((;
;
t 1 ) = v1
Soit ;1 T l'intervalle de d
nition de v(t). On admet que :
8t 2 0 T un (t ) ! v(t )pp: et uniformment sur les compacts de ]0 1
et que : unt (t) * vt (t), unr (t) * vr (t) dans L2 -faible. En utilisant les fonction vt r
t
et vr r
t et l'ingalit de Cauchy-Schwarz, on a que :
Zt;
Zt;
2
2
lim inf
un t (t r) + un r (t r) rdr vt2(t r) + vr2 (t r) rdr
0
0
0
0
Et par Fatou :
Z t sin2 v(t r)
Z t sin2 u (t r)
n
dr
r
r dr
0
0
En particulier, ceci dmontre que que T 0.
lim inf
0
0
2.2.2 Renforcement de la convergence
Maintenant, notons que un t u (tjt1n j)jtn j = u tjtn j u (t1jtn j) = 2 , et par minimalit de u , on en dduit :
un (t) = u (tjtnj)jtn j et donc (1t)jtj 2 C1 1]
un
On pose : (t) = lim inf n un (t). Alors (t) 2 C1 1], et par quicontinuit de r 7!
un (t r) (et convergence localement uniforme vers v(t )) :
v t (1t) = 2
Ceci nous montre que v (t) est bien d
ni et vri
e : v (t) (t) C11 jtj, et donc que
1
v (t)jtj 2 C1 1].
Ceci nous amne considrer l'espace :
1
E = u onde gomtriques jE (u) < 1 et 8t 2 ;1 0 (t)jtj 2 C1 1]
u
Nous venons de montrer qu' u 2 E , on peut associer v = f (u) 2 E , o# E (v) E (u).
Soit un une suite de E minimisant l'nergie. Comme l'nergie des un est uniformment bornes, la suite est relativement compacte dans l'espace C 0 (;1 0 ]0 1) et
de m!me pour unr et unt dans L2 -faible. On en dduit, quitte extraire, l'existence
d'une limite u dans ces espaces. Bien entendu, on a : E (u) lim inf n E (un ). Reste montrer que u 2 E , c'est--dire que u (t) est bien d
ni, et entre les bonnes bornes.
On utilise encore l'quicontinuit des un : en posant (t) = lim inf n un (t), on a que
2.2 tude du taux d'explosion
19
2 C1 1], et que u t (1t) = 2 . Ceci assure que u(t) est bien d
ni, ainsi que
2 C1 1]. Finalement, u 2 E .
Posons v = f (u) 2 E , alors E (v) = E (u) car u est d'nergie minimum. Reprenons
1
(t)jtj
1
(t)jtj
la d
nition de v : c'est l'onde gomtrique dont la donne initiale est la limite des
0 (]0 1), et H
_ 1 -faible en temps et en
donnes initiales de un = u(jtn j jtn j) au sens Cloc
espace. Mais puisque E (v) = E (u), la convergence est forte dans H_ 1 et de m!me :
Z 1 sin2 u (0 r)
Z 1 sin2 v(0 r)
n
dr
!
r
r dr
0
0
Mais rappelons nous que pour t < 0 :
8
Z jt j
Z jt j
>
2
lim inf
un t (t r)rdr vt2 (t r)rdr
>
>
0
0
Zt
Z jt j
<
2
lim inf un r (t r)rdr vr2 (t r)rdr
>
0
0
>
Z jt j sin2 v(t r)
Zt 2
>
>
: lim inf sin un(t r) dr r
r dr
0
0
0
0
0
0
0
0
Si l'une de ces ingalits est stricte, en utilisant le fait que l'on a les m!mes ingalits
quand on intgre sur t0 1, l'addition des toutes ces ingalits donnera l'ingalit
stricte :
limninf E (u(tn )) > E (v)
Ce qui est absurde. Toutes ces ingalits sont donc en fait des galits. En particulier,
cela donne :
E (un (t) t0 ) ! E (v(t) t0 )
Or un calcul prliminaire donne que E (un (t) t0 ) = E (u(tjtn j) t0 jtn j). Posons t0 = t,
1, et notons Eu la limite limt"0 E (u(t) t) (dont l'existence est assure par le
lemme). On en dduit, en faisant tendre n ! 1, que :
E (v(t) t) = Eu ne dpend pas de t !
On peut donc driver cette galit par rapport t, pour obtenir que pp, on a :
Z jtj sin
2
v
2 vtt vt + vrt vr + 2r2 vt (t r)rdr
0
2 v (t ;t) sin
2
; vt (t ;t) (;t) + vr (t ;t) (;t) + ;t
=0
Cela signi
e juste que le )ux est nul. Or vtt = vrr + 1r vr ; sin2r22v . tudions donc le terme
intgr : les termes en sin 2v s'liminent, et par ailleurs :
d
dr vr vtr] = vrr vt r + vr vrt + vr vt d'o# :
vr (t ;t)vt (t ;t) (;t) =
Z jtj
0
(vrr vt r + vr vrt + vr vt ) (t r)dr
20
Proprits qualitatives l'explosion
Ce qui nous donne nalement, pour le )ux :
2vr (t ;t)vt (t ;t) (;t) ; vt2 (t ;t) (;t) + vr2 (t ;t) (;t)
2 v (t ;t) sin
= 0 (2.1)
+ ;t
En regroupant les termes, aprs division par ;t, cela donne :
2v sin
2
2
2
;(vr ; vt ) ; ( ; 1)(vr + vt ) ; (;t)2 (t ;t) = 0
Tous les termes tant de m!me signe, on en dduit que pour r jtj, vr = vt = 0,et
sin v = 0. Par continuit de v(t ), cela entrane que v(t ) = cste pour r jtj, et
comme v(t r) ! quand r ! 1, cela donne :
8r jtj v(t r) = Ainsi, v concentre toute son nergie.
2.2.3 Conclusion
Mais rappelons nous le rsultat (cf. le mmoire de DEA - chapitre 4) :
Proposition 2.3 (Shatah & Christodoulou). Soit u une onde gomtrique quivariante rgulire pour t < 0, et qui admet une singularit en t = 0 r = 0. Alors :
Z def jtj 1 2 1 2 sin2 u
t!0! 0:
Eext (t) =
u
+
u
+
rdr
;
;;
t
r
2
2
r
jtj 2
Cela entrane une contradiction avec la concentration de toute l'nergie. En eet,
rappelons-nous que (1t)jtj 2 C1 1]. Choisissons = C1 =2 pour appliquer la proposiv
tion de Shatah & Christodoulou. On obtient :
E (v(t) C21 jtj) ; E (v(t) jtj) ! 0 quand t " 0
Comme E (v(t) jtj) = E (v), E (v(t) C21 jtj) ! E (v). Or on sait que :
C 1
1
E v(t) 2 jtj E v(t) (t) E (v) ; 2
D'o#, en passant la limite t ! 0 :
E (v) E (v) ; 2
Ce qui est absurde. Ainsi, v ne peut pas exister, et il n'existe donc pas non plus d'onde
gomtrique u vri
ant :
1
u(t)jtj 2 C1 1]
En fait, on peut raisonner de la m!me fa%on sur une sous-suite de temps tn qui vri
ent
1
u (tn )jtn j 2 C1 1]. On a donc dmontr le :
Thorme 2.1. Soit u une onde gomtrique explosant en 0, et vriant E (u) E (Q) + . Alors :
lim
(t)jtj = 1
t"0 u
2.3 nergie concentre l'explosion
21
2.3 nergie concentre l'explosion
Dmontrons tout d'abord le
Lemme 2.5. Soit. Si A A0, alors :
Z A
2
u
(u)r + cos(2Q) r2 rdr ;C (A)kuk2H
0
o C (A) ! 0 quand A ! 1 (C (A) > 0).
2
Preuve : Supposons donc qu'il existe une suite croissante de rels An tendant
vers 1 et des fonctions un telles que kun kH = 1, et pour un certain C > 0 :
Z An 0
(un )2r + cos(2Q) ur2n rdr ;C
2
Alors on peut supposer que un * u dans H ; faible, dans L1, et pp. Pour tout
A > b (b est tel que si r b, cos(2Q) 0), si n est assez grand, An A, et donc par
hypothse,
Z A
(un )2r + cos(2Q) urn2 rdr ;C
0
2
En passant la limite faible :
Z A
2
u2r + cos(2Q) ur2 rdr ;C
0
R Ceci tant vrai pour tout A, 01 (u)2r + cos(2Q) ur22 rdr ;C . Ceci est absurde car
la Hessienne de l'nergie est positive au point Q.
Proposition 2.4. Soit u une onde gomtrique explosant en T = 0, d'nergie E (u) E (Q) + . Alors u concentre au moins l'nergie E (Q) = 4 l'explosion.
Preuve : On crit tout d'abord :
u(t r) = Q((t)r) + "(t (t)r)
o# E ("(t )) (
). D'aprs l'tude qui prcde, on peut supposer que (t)jtj ! 1.
On dveloppe alors l'expression de l'nergie.
jtj
0
E (u(t)) =
Or :
Z jtj 0
Z (t)jtj 0
2
(|Q{z+ ")t} +(Q + ")r + sin (Qr2 + ") (t (t)r)rdr
2
2
0
(Q + " )2 + sin (Q2 + ") (t )d ( = (t)r)
2
sin2 (u + v) = 12 (1 ; cos(2u + 2v)) = 1 ; cos 2u cos 22v + sin 2u sin 2v
= 21 (1 ; cos 2u) + 12 cos 2u(1 ; cos 2v) + 12 sin(2u) sin(2v)
= sin2 u + cos 2u sin2 v + 21 sin 2u sin 2v
22
Rfrences
Donc :
jtj
0
E (u(t)) Z(t)jtj
0
Z(t)jtj
2 2 sin
Q
sin
2
Q + 2 d +
" + cos(2Q) 2 " d
0
Z(t)jtj
") d
+2
Q " + sin(2Q4)sin(2
2
0
I1 (t) + I2 (t) + 2I3 (t)
Estimons donc les termes concerns : tout d'abord, comme (t)jtj ! 1 :
I1 (t) = E (Q (t)jtj) ! E (Q):
Pour I3 (t), grce la dcomposition module, on a (et que j sin 2xj=2 = j sin xjj cos xj j sin xj) :
Z 1 sin(2
Q
)
sin(2
"
)
d
jI3 (t)j = Q" +
2
4
(t)jtj
!1=2
Z 1 2
sin
2
Q + 2 d k"(t)kH
(t)jtj
q
E1(t)jtj (Q)(
) ! 0 quand t ! 1
Et en
n, pour I2 (t), remarquons tout d'abord, que si est su&samment petit, k"(t)kH
l'est aussi (de manire uniforme), et donc que je(t )j 1 (par exemple). On en dduit
alors que j sin(e(t ))j 21 j"(t j. Ainsi :
Z (t)jtj 2
"
I2 (t) " + cos(2Q) 2 d
0
; 12 C ((t)jtj)k"(t)k2H
2
Grce au lemme. Ainsi, lim inf t"1 I2 (t) 0, et en sommant les estimations, on obtient :
lim
inf E (u(t) jtj) E (Q)
t"1
Mais rappelons-nous que t 7! E (u(t) jtj) est dcroissante en t, d'o# l'on dduit que :
8t < 0 E (u(t) jtj) E (Q)
Rfrences
1] J. Shatah & M. Struwe : Geometric Wave equations, Courant Lecture Notes in
Mathematics 2, 1998.
2] J. Shatah & M. Struwe : Regularity results for nonlinear wave equations, Ann.
of Math., 138 (p. 503-518), 1993.
Rfrences
23
3] J. Shatah & A.S. Tavildar-Zadeh : Regularity of harmonic maps from the
Minkowsky space into rotationnally symmetric manifold, Comm. Pure Appl. Math.,
45 (p.947-971), 1992
4] J. Shatah & A. Tavildar-Zadeh : On the Cauchy Problem for equivariant wave
maps, Communications on Pure and Applied Maths, 47 (p. 719-753), 1994.
5] H. Bahouri & P. Grard : High frequency approximation of solutions to critical
nonlinear wave equations, Am. J. of Math., 121 (p. 131-175), 1999.
6] J. Ginibre & G. Velo : Generalized Strichartz Inequalities for the Wave Equation,
J. of Func. Anal., 133 (p. 50-68), 1995.
7] P. Bizn, T. Chmaj & Z. Tabor : Formation of singularitites for equivariant
(2+1)-dimensional wave maps into the 2-sphere, Nonlinearity, 14 (p. 1041-1053),
2001.