TRAVAUX DIRIGES No. 4, JEUDI 3 NOVEMBRE 2016

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TRAVAUX DIRIGES No. 4, JEUDI 3 NOVEMBRE 2016
EXERCICE No.6
On cherche à résoudre l’équation de Képler, soit :
u − e sin u = M
(1)
L’anomalie moyenne M étant donnée par :
M = n(t − t0 ) =
2π
(t − t0 )
T
1◦ ) Ici on procède par approximations successives : on considère tout d’abord une
solution approchée u0 de la racine de (1). En appelant ε = M − M0 , rechercher
une nouvelle valeur approchée de u meilleure que u0 . On peut ensuite itérer le
raisonnement en partant non plus de u0 mais de u1 .
2◦ ) En vous aidant du 1◦ ) calculer avec une précision meilleure que la seconde
d’aangle la valeur de u pour la Terre, avec : e = 0.01673014 et M = 45◦
3◦ ) Pour résoudre l’équation de Képler, on recherche maintenant un développement
limité de u en fonction de e, lorsque ce dernier paramètre est petit. On considère
ainsi que u est une fonction unique de e (M étant considéré comme une constante).
Montrer que :
u=M + e−
e3
e3
e2 e4
e4
sin M +
sin 2M + 3 sin 3M + sin 4M + O(e5 )
−
3
2
6
8
3
4◦ ) En déduire un développement limité de a/r et de r/a
5◦ ) Calculer la valeur moyenne de r lors d’une révolution complète, en fonction de
a et de e.
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Demi grand axe (U.A.)
Diamètre équatorial (en km)
Excentricité
Période sidérale (an)
Période synodique (jour)
Vitesse orbitale moyenne (km/s)
Masse (en MT )
Densité
Gravité (en gT )
Vitesse de libération (km/s)
Aplatissement
Période de rotation sidérale
Obliquité sur l’orbite
Mercure
0,3871
4 878
0,2056
0,24084
?
?
0.05527
?
?
?
0
58,646 j
0,0
Vénus
Terre
Mars
0,7233
1,000
1,5237
12 104
12 756
6 794
0,0068
0,0167
0,0934
0.61515
1,0000
1,8809
?
X
?
?
?
?
0,8150
1,0000
0,1074
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0,0034
0,0052
243,01 j 23h 56mn 04s 24h 37 mn
177,3
23,45
25,19
Tab. 1 – Caractéristiques physiques des 4 planètes telluriques
EXERCICE No.32
En utilisant les données utiles de la table I ci-dessus, remplir les cases avec les points
d’interrogation.
Données numériques k = 6, 671 × 10−11 m3 /kg.s2 ; MT erre = 5, 972 × 1024 kg ; 1 U.A.
≈ 149 597 871km