Centres étrangers I – Série S – Juin 2000 – Exercice On se propose

Centres étrangers I – Série S – Juin 2000 – Exercice
On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de
trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées
par deux droites de l’espace.
G G G⎞
⎛
L’espace est rapporté à un repère orthonormal ⎜ O; i , j , k ⎟ d’unité
⎝
⎠
G G
1 km. Le plan O; i , j représente le sol.
(
)
Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux
droites ( D1 ) et ( D2 ) , dont on connaît des représentations
paramétriques :
⎧x = 3+ a
⎪
D1 : ⎪⎨ y = 9 + 3a
⎪
z=2
⎩⎪
( )
1.
avec a ∈ \
⎧ x = 0,5 + 2b
⎪
D2 : ⎪⎨ y = 4 + b
⎪
⎪⎩ z = 4 − b
( )
avec b ∈ \
G
a. Indiquer les coordonnées d’un vecteur u1 directeur de la
G
droite ( D1 ) et d’un vecteur u1 directeur de la droite ( D2 ) .
b. Prouver que les droites ( D1 ) et ( D2 ) ne sont pas coplanaires.
2. On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de
coordonnées S ( 3;4;0,1) , un appareil de surveillance qui émet un
rayon représenté par une droite notée ( R ) . Soit ( P1 ) le plan
contenant S et ( D1 ) et soit ( P2 ) le plan contenant S et ( D2 ) .
a. Montrer que ( D2 ) est sécante à ( P1 ) .
b. Montrer que ( D1 ) est sécante à ( P2 ) .
c. Un technicien affirme qu’il est possible de choisir la direction
de ( R ) pour que cette droite coupe chacune des droites ( D1 )
et ( D2 ) .
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
PanaMaths
[1-5]
Juin 2002
Analyse
Si cet exercice met en jeu des objets géométriques simples de l’espace (points, droites et
plans), il requiert, entre autres, de maîtriser les principaux calculs vectoriels en coordonnées
cartésiennes (produit scalaire et produit vectoriel).
Résolution
Æ Question 1.a.
G
Les représentations paramétriques fournies nous permettent d’écrire directement : u1 (1,3, 0 )
G
et u2 ( 2,1, −1) , ces coordonnées correspondant aux coefficients de a et b respectivement dans
chacune des représentations paramétriques.
On peut rapidement retrouver ce résultat comme suit : on considère un point M quelconque de
la droite ( D1 ) . Pour a = 0 on obtient le point A ( 3,9, 2 ) de cette droite. On a alors :
x − 3 = (3 + a ) − 3 = a
JJJJG
AM y − 9 = ( 9 + 3a ) − 9 = 3a
2−2 = 0
JJJJG
G
G
Soit : AM = au1 avec u1 (1,3, 0 ) .
G
On procède de même pour obtenir u2 ( 2,1, −1) .
G
G
Les vecteurs u1 ( 1, 3, 0 ) et u2 ( 2,1, −1) sont des vecteurs directeurs des droites ( D1 ) et
( D2 ) , respectivement.
Æ Question 1.b.
G
G
Tout d’abord, on constate que les vecteurs u1 et u2 ne sont pas colinéaires puisque la
G
troisième coordonnée de u2 n’est pas nulle (c’est une condition nécessaire puisque la
G
troisième coordonnée de u1 l’est !). Les droites ( D1 ) et ( D 2 ) ne sont donc pas parallèles.
Sont-elles sécantes ?
Pour cela, on cherche à résoudre le système :
⎧3 + a = 0,5 + 2b
⎪
⎨9 + 3a = 4 + b
⎪2 = 4 − b
⎩
PanaMaths
[2-5]
Juin 2002
La troisième équation nous fournit immédiatement b = 2 .
La première équation nous fournit alors : a = 1,5 et la deuxième : a = −1 .
Le système n’admet donc pas de solution ; les droites ( D1 ) et ( D 2 ) ne sont pas sécantes.
Les droites ( D1 ) et ( D 2 ) n’étant ni parallèles, ni sécantes, elles ne sont pas coplanaires.
Les droites ( D1 ) et ( D2 ) ne sont pas coplanaires.
Æ Question 2.a.
Nous disposons, sur la droite ( D1 ) , du point A ( 3,9, 2 ) .
3−3 = 0
JJJG
On a alors : AS 4 − 9 = −5
0,1 − 2 = −1,9
G
Un vecteur n1 ( x; y; z ) est normal au plan ( P1 ) si, et seulement si, il est orthogonal aux
JJJG
G
G JJJG
G G
vecteurs AS et u1 . Cette condition équivaut à : n1. AS = 0 et n1.u1 = 0 .
Le repère considéré étant orthonormal, on a :
19
G JJJG
⎧
⎧⎪n1. AS = 0
⎧−5 y − 1,9 z = 0
⎪y = − z
⇔⎨
⇔⎨
50
⎨ G G
x + 3y = 0
⎩
⎩⎪ n1.u1 = 0
⎪⎩ x = −3 y
En choisissant z = 50 , on obtient immédiatement : y = −19 et x = 57 .
G
Finalement, on a : n1 ( 57; −19;50 ) .
G
G
Le plan ( P1 ) et la droite ( D 2 ) sont sécants si, et seulement si, les vecteurs n1 et u2 ne sont
G G
pas orthogonaux. Or, on a : n1.u2 = 57 × 2 + ( −19 ) × 1 + 50 × ( −1) = 114 − 19 − 50 = 114 − 69 = 45 .
G
G G
G
Comme n1.u2 ≠ 0 , les vecteurs n1 et u2 ne sont pas orthogonaux et ( P1 ) et ( D 2 ) sont sécants.
La droite ( D2 ) et le plan ( P1 ) sont sécants.
Æ Question 2.b.
Nous procédons comme précédemment.
Nous disposons, sur la droite ( D 2 ) , du point B ( 0,5; 4; 4 ) .
PanaMaths
[3-5]
Juin 2002
3 − 0,5 = 2,5
JJJG
On a alors : BS 4 − 4 = 0
0,1 − 4 = −3,9
G
Un vecteur n2 ( x; y; z ) est normal au plan ( P2 ) si, et seulement si, il est orthogonal aux
JJJG
G
G JJJG
G G
vecteurs BS et u2 . Cette condition équivaut à : n2 .BS = 0 et n2 .u2 = 0 .
Le repère considéré étant orthonormal, on a :
39
39
⎧
⎧
JJJG
39
x=
z
x=
z
⎧
⎪
⎪
⎧⎪nG2 .BS = 0
=
x
z
⎧2,5 x − 3,9 z = 0
⎪
⎪
⎪
25
25
⇔
⇔
⇔
⇔
25
⎨ G G
⎨
⎨
⎨
⎨
⎪⎩ n2 .u2 = 0
⎩ 2x + y − z = 0
⎪⎩ y = −2 x + z
⎪ y = − 78 z + z
⎪ y = − 53 z
25
25
⎩⎪
⎩⎪
En choisissant z = 25 , on obtient immédiatement : y = −14 et x = 39 .
G
Finalement, on a : n2 ( 39; −53; 25 ) .
G
G
Le plan ( P2 ) et la droite ( D1 ) sont sécants si, et seulement si, les vecteurs n2 et u1 ne sont
G G
pas orthogonaux. Or, on a : n2 .u1 = 39 × 1 + ( −53) × 3 + 25 × 0 = 39 − 115 = −76 .
G
G G
G
Comme n2 .u1 ≠ 0 , les vecteurs n2 et u1 ne sont pas orthogonaux et ( P2 ) et ( D1 ) sont sécants.
En conclusion :
La droite ( D1 ) et le plan ( P2 ) sont sécants.
Æ Question 2.c.
Les deux plans ( P1 ) et ( P2 ) admettent une intersection non vide puisqu’ils contiennent tous
deux le point S. Comme ils ne sont pas confondus (puisque les droites ( D1 ) et ( D 2 ) ne sont
pas sécantes), on en tire qu’ils admettent une droite ( R ') comme intersection, cette droite
contenant le point S.
Nous allons montrer que la droite ( R ') satisfait au problème posé, à savoir coupe les droites
( D1 ) et ( D2 ) .
Nous avons vu, aux deux questions précédentes :
•
Que l’intersection de ( P1 ) et ( D 2 ) était non vide : ( P1 ) ∩ ( D 2 ) = {S1} .
Le point S1 appartenant à ( D 2 ) , il appartient à ( P2 ) . Puisqu’il appartient également à
( P1 ) , on en déduit qu’il appartient à ( R ') = ( P1 ) ∩ ( P2 ) .
PanaMaths
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Juin 2002
•
Que l’intersection de ( P2 ) et ( D1 ) était non vide : ( P2 ) ∩ ( D1 ) = {S 2 } .
Le point S2 appartenant à ( D1 ) , il appartient à ( P1 ) . Puisqu’il appartient également à
( P2 ) , on en déduit qu’il appartient à ( R ') = ( P1 ) ∩ ( P2 ) .
Nous avons ainsi montré que les points S1 et S2 appartenaient à ( R ' ) = ( P1 ) ∩ ( P2 ) .
La droite ( R ') , intersection des plans ( P1 ) et ( P2 ) , contient le point S et coupe les droites
( D1 ) et ( D2 ) . Elle répond donc au problème posé.
La droite ( R ') , intersection des plans ( P1 ) et ( P2 ) , contient le point S et coupe les
droites ( D1 ) et ( D2 ) .
JJJG
JJJG
Note : à titre de vérification, on pourra montrer que les vecteurs SS1 et SS 2 sont colinéaires
(les calculs sont laissés au lecteur en guise d’entraînement).
PanaMaths
[5-5]
Juin 2002