Sur le module de la fonction caractéristique du calcul des probabilités
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Sur le module de la fonction caractéristique du calcul des probabilités
Œ UVRES DE L AURENT S CHWARTZ L AURENT S CHWARTZ Sur le module de la fonction caractéristique du calcul des probabilités C. R. Acad. Sci. Paris, 212 (1941), p. 418-421. Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz publiées par la Société mathématique de France, 2011. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ CORRESPONDANCE. THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur le module de la fonction du calcul des probabilités. Note de M. par M. Paul Montel. caractéristique LAURENT SCHWARTZ, présentée Désignons par x une variable aléatoire réelle; par F(X) sa fonction de répartition [F(X) est la probabilité de l'événement x<^ X], fonction non décroissante, F( — oo) = o, F(+oc) = i; par <p(z) sa fonction caractéristique ç(j) = / ^ x rfF(X), t réel. Il est utile de faire la décomposition de F(X) en somme d'une fonction absolument continue F 1 (X)=/ f(œ)dx, d'une fonction de sauts F 2 (X), et d'une fonction singulière F 3 (X) qui ne croît que sur un ensemble de mesure nulle. Posons Pl= f d¥i ? i ( 0 = J + e"*dFt(X) (* = I » 2 ' 3 )î (1 = 1, a, 3); II est bien connu que <p(o) = i, et que, pour tout J, \<p(t)\<i. Le but de la présente Note est de voir si | <p(f) | peut approcher arbitrairement près de i SÉANCE DU 17 MARS I94l4*9 pour les très grandes valeurs de £, et plus généralement de calculer lim |ç(*)|. Nous rappelons que lim |?(*)| = 0 . „-+- oc I. Étude de ç, (t). — On sait que 9, (t) = f eilxf(x)dx tend vers zéro lorsque 111 tend vers oc. IL Étude de <p2(0- — Nous allons montrer que iim |ç 2 (O=jt> 2 . Soient en efFet œly xt, . . ., ,xn un nombre fini de points où se trouvent concentrées des probabilités positives respectivement égales à ai, a2, . • ., a n telles que a, -+- a2 -f-. . . -\-<xn > />2 — z Or, il existe une infinité de valeurs de t pour lesquelles les nombres txu tx2, .... tœn sont tous, à un multiple de 2?r près, compris entre — s' et -h s/; pour ces valeurs (a t -f-a 2 + . . . + aw)cose'— De plus il est clair que Pensemble des valeurs de t pour lesquelles | Ç2(0l ^ P a — ^1 S^ petit que soit Y], a une densité positive dans l'ensemble des valeurs de /[autrement dit, la mesure de cet ensemble dans l'intervalle (— A, + A), est supérieure à £A, k ^> o fixe]. III. Étude de ç 3 (/). — L'égalité bien connue lim 1/2 A / | <p3(*)|2ûfa = o montre que, dans tous les cas, Tensemble des valeurs de t pour lesquelles | ç 3 (t) | ^> Y) est de densité nulle dans l'ensemble de toutes les valeurs de t. Nous allons montrer que la valeur de lim | ç 3 (*)| peut être zéro, un nombre intermédiaire entre zéro et p 3 , ou p39 suivant la nature arithmétique de la distribution des masses. Nous prendrons le cas où p , = p 2 = o, p 3 = i , F< = F 2 = o, F 3 = F ; la loi de probabilité est singulière. On obtient aisément une telle loi en considérant x comme la somme ^ = 2 ^ n d'une infinité dénombrable de variables aléatoires indépendantes xn, la variable xn pouvant prendre, ayec des probabilités égales, les deux valeurs opposées + un et — ww, avec un+h[un <^k<^ 1/2. On a alors 42O ACADÉMIE DES SCIENCES. Il = 30 Premier cas. — un — njn ! ; <p (t) = I I cos % tjn !. Alors 71 COS — COS • tend vers i pour n -> oo. Conclusion : lim | <p (t) | = i. Deuxième cas. —^ un= n/p71,p entier ^> 2 ; Ç(Ê) = T I cos(^ntjpn). a. |ç(p w )| = | ç ( i ) | 7^0. Donc lim | ç ( î ) | ^> o. 6. Pour | *| ]> 1/2, il y a dans la progression géométrique t, tjp, t/p*, ..., au moins un terme compris entre 1/2 et 1/2/); donc | ç(*) <^ cos (n/2p) et Troisième cas. — wn== Tt/p", p réel non entier ^> 2; ç(^) = I |cos(itf/pn). 71 = 0 Montrons que pour p rationnel =pjq, g ^ 1, lim | ç(f) | = o. Posons t = rp71, r ^ T < p; < | COSTCTp/l.COS7ITpn-1.COSTTTpn-~2 . . . COSTTTp2 . COS7TTp . COS7TT |. Il suffit de montrer que lorsque n (c^est-à-dire \t\) tend vers 00 } ce dernier produit tend vers zéro uniformément par rapport à T, et pour cela de montrer que si Ton considère une suite de termes de la forme ]cos7TTp^|, cos7rrp>k+1|, | cosTrrp^ 2 ^ etc., on est sûr d'en rencontrer un qui soit inférieur à COS[TT/(/> -\- g], le nombre de termes nécessaire dépendant de X, mais non de r. | cos7rrp*| > COS[TT/(/? -+- g)] signifie que Tpkz= m -h yj, m entier | n \ < i/(p -+- g). Mais alors rp^+1n= m(p/g) H- r\(plg)] si tn n'est pas divisible par g, ce nombre diffère*d'un entier d'au moins et Ton aura | cos^rp^ 1 ] < cos[7r/(/> -+- ^)]. Dans le cas contraire, m = m'^, m1 entier et et | cos7TTpx+11 > cos signifie | r/\ <C • Mais alors rp^2—mfp (p/g)-+-r}f (p/g); si m' n'est pas divisible par ^, il diffère d'un entier d'au moins (i/g)-—fi'(p/g)>i/(p-\-g) et l'on aura |cos7rrpx+2| <;cos(7r/p-+-^). f fr Dans le cas contraire, m =m g, m" entier et r p x = m"g2-±- YJ, rp1^1 = mffpg-h r)f, x+2 rp>>+2 _- m"jps _|_ yj" e t | cos 7TTp 1 > cos( TT p -+- ç ) signifie | Y);/ | < ( 1 jp -h ^) et ainsi de suite. SÉANCE DU 17 MARS 1941. * 421 1 Comme, finalement, E[rp'] < p^ ne saurait être divisible par des puissances de q dépassant (X -h 1) (logp/log^'), nous avons démontré la propriété. IV. Conclusion. p^ lim j \t\ C'est la nature arithmétique de la distribution des probabilités qui décide de la valeur de la limite supérieure'entre les deux extrêmes donnés. Si Ton excepte un ensemble de valeurs de t de densité limite nulle, alors lim