I- Cercle circonscrit et triangle rectangle II- Médiane et
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I- Cercle circonscrit et triangle rectangle II- Médiane et
Classe de quatrième Triangle rectangle et cercle I- Cercle circonscrit et triangle rectangle Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Exemple : ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=3 cm et BC=4 cm. Démontre que le milieu de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Données : ABC est un triangle rectangle en B. Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour diamètre le segment [AB]. Donc le milieu de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit. II- Médiane et triangle rectangle Définition : Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse. M T Exemple : MOT est un triangle rectangle en O telle que MO=5 cm et MT= 7 cm. S est le milieu de [MT]. Calcule la longueur du segment [OS]. O Dans le triangle MOT, S est le milieu du côté [MT]. Donc le segment [OS] est la médiane de MOT issue de O. Données : Le triangle MOT est rectangle en O. Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse. 1 1 Conclusion : OS= MT= ×7=3,5 . 2 2 Propriété : Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse. III- Triangle inscrit et cercle Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse. Exemple : (C) est un cercle de diamètre [TR] tel que TR=7 cm. I est un point du cercle (C) tel que TRI=60° . Démontre que TRI est rectangle en R. Données : Le point I appartient au cercle de diamètre [TR]. Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse. Conclusion : Le triangle TRI est rectangle en I.