Analyse et Commande des systèmes linéaires

Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Part IV
Analyse fréquentielle des systèmes linéaires
Introduction
Représentation de Bode
Sommaire
17
Introduction
18
Représentation de Bode
19
Représentation de Nyquist
20
Représentation de Black
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Introduction
idée: Utiliser comme signal test un signal sinusoidal.
Definition
L’analyse fréquentielle (ou analyse harmonique) d’un système est son étude
au moyen de sa réponse fréquentielle, c’est-à-dire de sa réponse en régime
permanent sinusoı̈dal, lorsqu’il est soumis à une entrée sinusoı̈dale dont on
fait varier la pulsation ω = 2πf = 2π
T .
Réponse fréquentielle
1
Entrée
0.8
0.6
Sortie
0.4
Amplitude
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
Régime transitoire
−0.8
−1
0
5
10
15
20
25
Temps
30
35
40
45
50
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Caractérisation de la réponse fréquentielle
On considère un système linéaire défini par sa fonction de transfert:
F (p) =
bm p m + · · · + b1 p + b0
an p n + · · · + a1 p + a0
u(p)
F(p)
y(p)
Entrée sinusoı̈dale u(t) = u0 sin(ωt)
Sortie en régime permanent : y (t) = y0 sin(ωt + ϕ)
La réponse du système est caractérisée par :
1
2
une même période d’oscillation ω
un déphasage ϕ entre la sortie et l’entrée :
ϕ = argF (jω) = arctg
3
un gain A(ω) =
y0
u0
= |F (jω)|
Im F (jω)
Re F (jω)
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
définitions
Definition
La représentation de Bode consiste à représenter la fonction de transfert
complexe F (jω) sur deux courbes séparées :
• la courbe de gain qui représente le module de F (jω), exprimé en décibel
(dB), en fonction de la pulsation ω ;
• la courbe de phase qui représente l’argument de F (jω), exprimé en
degré (ou en radiant), en fonction de la pulsation ω.
Propriétés
L’abscisse est graduée sur une échelle logarithmique, ce qui signifie que l’on
a des écartements constants chaque fois que l’on double la pulsation. Deux
pulsations ω1 et ω2 sont séparées d’une
• décade si ω2 = 10ω1 ou ω2 = ω101 ;
• octave si ω2 = 2ω1 ou ω2 = ω21 .
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Propriété d’additivité des lieux
Propriété
Cette représentation permet de traiter des lieux complexes par addition
directe des lieux élémentaires :
Soit
⇒
G (p) = G1 (p)G2 (p) · · · Gk (p)
20log10 |G (jω)| = 20log10 |G1 (jω)| + · · · + 20log10 |Gk (jω)|
argG (jω) = argG1 (jω) + argG2 (jω) + · · · + argGk (jω)
Propriété
En pratique, on ne construit généralement que les diagrammes
asymptotiques, sur lesquels sont donnés le comportement aux hautes
fréquences, aux basses fréquences, aux moyennes fréquences, et en quelques
points caractéristiques.
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
N(p)
Récapitulatif du tracé de F (p) = K D(p)
1
2
3
4
Factoriser N(p) et D(p) en produits de 1er et 2ieme ordre.
Classer les pôles et les zéros suivant les ω croissants.
Tracer le diagramme asymptotique de chaque fonction élémentaire.
Additionner les diagrammes élémentaires graphiquement.
remark
Les courbes d’un facteur au numérateur symétriques par rapport à l’axe
des ω de celles figurant au dénominateur.
1
La courbe de gain de 1−Tp
est identique à celle de
phase est symétrique par rapport à l’axe des ω.
1
1+Tp .
La courbe de
Un terme de degré α > 0 provoque une variation de + 20α dB / décade
s’il est au numérateur, de - 20α dB / décade s’il est au dénominateur.
Tracé asymptotique :
jω + a a quand ω < a
+ coupure de pente
jω + a jω quand ω > a
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Terme constant
G (p) = k
AdB = 20log10 k ∀ ω
ϕ=0
dB
ϕ
20 log k
90
10
0
ω
0
-90
ω
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Dérivateur
G (p) = p
AdB = 20log
ω
10
ϕ = arctg ω0 = arctg∞ =
ϕ
dB
20
90
ω
0.1
0
1
-20
π
2
ω
0
10
0.1
-90
→ droite de pente 20 dB/décade (6 dB/octave)
1
10
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Intégrateur
G (p) =
1
jω
1
→ G (jω) =
=− 2
p
jω
ω
AdB = −20log
ω
10
= −arctg∞ = − π2
ϕ = arctg −ω
0
ϕ
dB
20
90
10
0
0.1
-20
ω
ω
0
1
0.1
-90
→ droite de pente -20 dB/décade (-6 dB/octave)
1
10
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Retard pur
G (p) = e −τ p
→ G (jω) = e −jτ ω =
dB
0
1 − jtg τ2ω
1 − tg2 τ2ω − 2jtg τ2ω
=
1 + jtg τ2ω
1 + tg2 τ2ω
AdB = 20log10 1 = 0
ϕ = arctg (−tgτ ω) = −τ ω
ϕ
ω
0
-90
-180
π
2τ
π
τ
ω
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Premier ordre
G (p) =
1
1
→ G (jω) =
=
1 + Tp
1 + jT ω
√
AdB = −20log10 1 + T 2 ω 2
ϕ = −arctgT ω
ϕ
dB
0
1/2T
1/T
-3
2/T
ω
0
1/2T
1/T
2/T
ω
-6db/octave
A
-45
-6
-90
• qd ω → 0, AdB → −20log10 1 = 0
• qd ω = T1 ,
√
AdB = −20log10 2 = −3
• qd ω → ∞, AdB → −20log10 T ω
→ entre 2 fréquences ω1 et 2ω1 ,
AdB (2ω1 ) − AdB (ω1 ) =
−20log10 2 = −6
• qd ω → 0, ϕ → 0
• qd ω = T1 , ϕ = −arctg1 = −45o
• qd ω → ∞,
ϕ → −arctg∞ = −90o
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Deuxième ordre
1
G (p) =
1+
2ζ
ωn p
+
p2
ωn2
→ G (jω) = ⎧
⎪
⎪
⎪
1−
⎨ AdB = −20log10
ζω
⎪
⎪ ϕ = −arctg 2 ωn2
⎪
⎩
1− ω
ω2
ωn2
1−
1−
ω
ωn2
2
+
j2 ζω
ωn
2
+ 2ζω
ωn
ω2
−
ωn2
2
2
2ζω
ωn
2
2
ωn
• Résonance : pour ζ < 0.707, AdB passe par un maximum, d’autant plus
grand que ζ est petit, obtenu pour ω tel que :
d|G (jω)|
=
0
⇒
ω
=
ω
1 − 2ζ 2
r
n
dω
1
Q= √
2ζ
1−2ζ 2
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Deuxième ordre
dB
10
0
ϕ
ζ<0.707
20log Q
ωn
ωr
ζ>0.707
ω
0
ωn
ω
-40db/décade
ζ
-90
-180
ζ
• qd ω → 0, AdB → −20log10 1 = 0.
• En MF, dépend essentiellement de
ζ.
• qd ω → ∞,
2
AdB → −20log10 ωω2 = −40log10 ωωn
n
→ Pente −40 dB/décade.
• Les deux asymptotes se coupent en
ω = ωn
0
• qd ω → 0, ϕ → 0
• qd ω = ωn ,
ϕ = −arctg∞ = −90o
• qd ω → ∞,
ϕ → −arctg − ω1 = −180o
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Exemple de tracé
G (p) =
50(1 + p)
(1 + 0.01p)(100p 2 + 4p + 1)
Pulsations caractéristiques :
0.1
1
100
↑
↑
↑
ωn zéro pôle
entre 0 et 0.1, G (p) 50
entre 0.1 t 1, G (p) 100p250
+4p+1
50(1+p)
100p 2 +4p+1
50(1+p)
G (p) = (1+0.01p)(100p
2 +4p+1)
entre 1 et 100, G (p) entre 100 et +∞,
Résonance
100 =
4=
2ζ
ωn
1
ωn2
→ ωn = 0.1
→ ζ = 0.2
Représentation de Black
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Tracés élémentaires
50
Magnitude (dB)
0
G(p)=1+p
G(p)=50
−50
−100
G(p)=1/(1+0.01p)
−150
G(p)=1/(100p2+4p+1)
−200
90
45
G(p)=1+p
Phase (deg)
0
−45
G(p)=50
−90
G(p)=1/(1+0.01p)
−135
2
G(p)=1/(100p +4p+1)
−180
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
Tracé complet
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
−50
−100
0
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
définition
Definition
La représentation de Nyquist permet de représenter la fonction de transfert
complexe F (jω) sur un seul graphique dans le plan complexe, en
coordonnées polaires ( |F (jω)|, argF (jω)) ou cartésiennes (x = ReF (jω),
y = ImF (jω)). La courbe doit être graduée en ω, omega ∈ [0, +∞[.
Im
8
ω=
Re F(j ω) K
ω = 0 Re
ϕ
ω=
8
Im
K
ω=0
Α(ω)
Im F(j ω)
ω
ω n = pulsation naturelle
ω = 1/Τ
Figure: Systèmes du premier
ordre
Figure: Systèmes du deuxième
ordre
Re
Introduction
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
définition
Definition
La représentation de Black permet de représenter la fonction de transfert
complexe F (jω) sur un seul graphique gradué en abscisse par l’argument de
F (jω), exprimé en degré (ou en radiant), et en ordonnées par le module de
F (jω), exprimé en décibel (dB). La courbe est graduée en ω, ω ∈ [0, +∞[.
• Notation : AdB (ω) = 20log10 |F (jω)|.
Gain (dB)
−π
2
−π
4
ω = 1/Τ
ωr
ωn
0
ω=0
ϕ (rad)
−π
2
−π
-3
ωn
Gain (dB)
0
20 log − 1
10 2 ζ
ω = 0 ϕ (rad)
20 log − 1
10 2 ζ
ζ<0.707
ω r = ω n 1−2ζ2
Figure: Systèmes du premier
ordre
ω=
8
ω=
8
ζ>0.707
Figure: Systèmes du deuxième
ordre