PTSI Lycée Joliot Curie, Rennes Année 2007–2008

◮ PTSI
Lycée Joliot Curie, Rennes
Année 2007–2008, (b) Examen de TP Mathematica
Clément Picard
Les réponses doivent être rendues sur une copie papier (c’est cette copie papier qui sera notée). On demande
d’écrire pour chaque question la ou les commandes qui permettent de traiter la question, mais il ne faut pas écrire
la réponse donnée par Mathematica, sauf si c’est explicitement demandé.
Les documents papier ne sont pas autorisés. Par contre l’utilisation de l’aide en ligne est autorisée (et même
encouragée).
Exercice 1
Lire l’aide en ligne sur la commande GramSchmidt.
Charger le package LinearAlgebra en rentrant la commande <<LinearAlgebra‘Orthogonalization‘ comme il
est expliqué dans l’aide en ligne de la commande GramSchmidt.
Grâce à la commande GramSchmidt, orthonormaliser la famille de polynômes (1, X, X 2 ) pour le produit scalaire
Z 1
P (t)Q(t)dt. Ecrire aussi le résultat simplifié donné par Mathematica.
(P, Q) 7→
0
Exercice 2 Oral de l’ENSAM
Soit C la courbe en polaire r = th(θ/2).
1) Représenter cette courbe pour θ ∈ [0, 2π]. On pourra par exemple utiliser la commande PolarPlot, mais
elle nécessite le chargement d’un package ainsi qu’il est expliqué dans l’aide en ligne. Il est aussi possible
d’utiliser la commande ParametricPlot mais il faut passer d’une représentation polaire à une représentation
paramétrique.
Sur la copie papier on donnera la commande Mathematica utilisée, ainsi qu’un tracé approximatif du résultat.
2) Calculer une valeur approchée de la longueur pour θ ∈ [0, 2π]. On fera figurer la valeur obtenue sur la copie.
Exercice 3
Oral de l’ENSAM
1) Résoudre l’équation différentielle (E) : xy ′ + (3 + x)y = (1 + x2 )e−x .
2) Soit f la solution de E qui vérifie la condition initiale f (1) = 2. Donner une valeur approchée de f (2), on
fera figurer cette valeur sur la copie.
3) Existe-t-il des solutions continues sur R ? Justifier la réponse.
Exercice 4
Oral de l’ENSAM
1) Soit z un nombre complexe. Définir u = 1/(z 2 + e2iπ/3 z + 1).
2) En substituant z par x + iy et en utilisant les commandes Re et ComplexExpand, déterminer les nombres
complexes z pour lesquels u est un imaginaire pur. Faire le tracé des courbes correspondantes. On fera
figurer sur la copie un tracé sommaire du résultat.