Matrice inverse Matrices élémentaires

Inversibilité et matrice inverse
Matrice inverse
Matrices élémentaires
Rappel : La matrice identité I est l’élément neutre pour la multiplication matricielle, puisque pour une matrice quelconque A : m × n
on a :
ImA = A = AIn
Définition. Une matrice carrée A : n × n est dite inversible s’il
existe une matrice X : n × n satisfaisant :
AX = I et XA = I
On dit que la matrice X est une matrice inverse de la matrice A
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
1
'
(
'
(
2. La matrice A = 25 est inversible, car X = 0.04 satisfait
'
('
(
'
('
(
25
0.04 = [1] = 0.04
25
Exemples
1. La matrice A suivante n’est pas inversible :


1 1 3


A=0 0 0
4 5 6
)
En effet si il existait X avec AX = I on devrait avoir en particulier
(AX)22 = (I)22 c’est-à-dire 0x12 + 0x22 + 0x32 = 1
*
)
*
1 8
1 −8
3. La matrice A =
est inversible, car X =
0 1
0 1
satisfait
*)
* )
*
)
1 8
1 −8
1 0
=
AX =
0 1
0 1
0 1
)
*)
* )
*
1 −8
1 8
1 0
XA =
=
0 1
0 1
0 1
équation qui n’a pas de solution.
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
2
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
3
Théorème. Si la matrice A est inversible, elle admet une seule
matrice inverse, qu’on notera désormais A−1.
Définition. On définit
Pr. Supposons que X et Y soient deux matrices inverses de A. On
a donc en particulier XA = I et AY = I. Mais alors
et, si A est inversible,
X = XI = X(AY ) = (XA)Y = IY = Y
An := A
· · A0
- ·./
n facteurs
−1
A−n := A
· · A−10
- ·./
n facteurs
!
Théorème. Soit A : n × n une matrice inversible, alors
,−1
+
1. A−1 est inversible et A−1
=A
2. An est inversible et (An)−1 = A−n
3. kA est inversible si k #= 0 et (kA)−1 = k1 A−1
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4
Théorème. Soit A : n×n et B : n×n deux matrices inversibles.
Alors
1. AB est une matrice inversible et
2. (AB)−1 = B −1A−1
Pr. On montre les deux propriétés en vérifiant que
+ −1 −1,
+
,
B A
(AB) = (AB) B −1A−1 = I
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5
Remarque : L’affirmation de ce théorème se généralise par induction au cas de plusieurs matrices inversibles de même ordre. Le
produit de matrices inversibles est une matrice inversible, égale
au produit des matrices inverses respectives effectué dans l’ordre
inverse.
−1 −1
(A1A2 · · · An)−1 = A−1
n · · · A2 A1
Or
+
!
,
+
,
B −1A−1 (AB) = B −1 A−1A B = B −1IB = B −1B = I
+
,
+
,
(AB) B −1A−1 = A BB −1 A−1 = AIA−1 = AA−1 = I
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6
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
7
Description de l’algorithme de Gauss avec le
calcul matriciel
si elle résulte d’une unique opération élémentaire effectuée sur les
lignes de la matrice identité Im.
Définition. On appelle opération élémentaire l’opération effectuée
sur les lignes d’une matrice d’un des trois types suivants :
Il existe donc trois types de matrices élémentaires, correspondants
aux trois types d’opérations élémentaires.
1. Multiplier une ligne par une constante non nulle.
Notation et interprétation :
2. Permuter deux lignes.
1. Ei(a) : multiplier la i-ème ligne de la matrice identité par a, ∀a #=
0.
3. Ajouter un multiple d’une ligne à une autre.
Remarque : Ces opérations sont précisément celles utilisées dans
l’algorithme de Gauss.
Définition. La matrice E : m × m est une matrice élémentaire
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8
Dans cette notation l’ordre m de la matrice élémentaire est sousentendu.
Exemples : pour m = 4 on a


1 0 0 0


0 9 0 0
E2(9) = 

0 0 1 0
0 0 0 1


1 0

0 1
E24(4) = 
0 0
0 0
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL


E24 = 

0
0
1
0
0
4
0
1





1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0





2. Eij : permuter les lignes i et j de la matrice identité.
3. Eij (c) : ajouter c fois la j-ème ligne de la matrice identité à la
i-ème.
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9
Théorème. Soit A : m×n une matrice quelconque et E : m×m
une matrice élémentaire résultant d’une certaine opération élémentaire effectuée sur les lignes de Im. Alors la matrice EA est le résultat
de la même opération élémentaire appliquée aux lignes de A.
Pr. Découle de l’interprétation du produit matriciel : la i-ème ligne
de EA est une combinaison linéaire des lignes de A avec les coefficients provenant de la ligne i de E. Or ces coefficients décrivent
précisément l’opération élémentaire en question. !
Exemples :
10
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
11
1. Pour une matrice A : 2 × 2,
E1(7)A =
)
7 0
0 1
*)
a11 a12
a21 a22
*
=
)
7a11 7a12
a21 a22
*


3. Pour une matrice A : 3 × 2,



1 0 −3
a11 a12



E13(−3)A =  0 1 0   a21 a22 
0 0 1
a31 a32


a11 − 3a31 a12 − 3a32


= 
a21
a22

a31
a32
2. Pour une matrice A : 3 × 2,



0 0 1
a11 a12
a31 a32

 


E13A =  0 1 0   a21 a22  =  a21 a22 
1 0 0
a31 a32
a11 a12
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12
Théorème. Toute matrice élémentaire est inversible, et on a :
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
13
Équivalence par lignes
1. [Ei(a)]−1 = Ei( a1 ) , ∀a #= 0
2. [Eij ]−1 = Eij
3. [Eij (c)]−1 = Eij (−c)
Pr. Soit E une matrice élémentaire quelconque et E0 la matrice
définie comme matrice inverse de E dans le théorème. E0 est toujours définie et on vérifie que EE0 = I = E0E. En effet E0 décrit
l’opération élémentaire inverse de celle décrite par E, précisément
celle qui appliquée à E redonne I. !
Définition. Deux matrices de même taille A : m×n et B : m×n
sont dites équivalentes par lignes si B peut être obtenue à partir de
A par une suite d’opérations élémentaires effectuées sur les lignes
de A. On note A ∼ B.
l
On a donc A ∼ B si il existe des matrices élémentaires
l
E1, E2, . . . , Ek telles que
B = Ek · · · E2 E1 A
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
14
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
15
Pr. On montre les implications 1. ⇒2. ⇒3. ⇒1.
Cette relation est donc symétrique, car on a alors aussi
E1−1E2−1 · · · Ek−1B = E1−1E2−1 · · · Ek−1 (Ek · · · E2E1A)
+
+
+
,
, ,
= E1−1 E2−1 · · · Ek−1Ek · · · E2 E1 A
– 1. ⇒2. Soit X0 une solution quelconque de AX = 0, donc
satisfaisant AX0 = 0. Puisque A−1 existe, on a aussi A−1AX0 =
A−10 c’est-à-dire X0 = 0.
= A
et les matrices Ei−1 sont bien des matrices élémentaires.
Théorème. Pour toute matrice carrée A : n × n les affirmations
suivantes sont équivalentes :
– 2. ⇒3.
1. A est inversible.
2. L’équation AX = 0 n’a que la solution triviale X = 0.
La solution triviale X = 0 étant la solution unique du système, en
appliquant l’algorithme de Gauss à A0 on obtient nécessairement
3. A est équivalente par lignes à I. (A ∼ In)
l
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
une matrice échelonnée réduite

1 ···
 . ..
.
R0 =  .
0 ···
Soit A0 la matrice augmentée du système AX = 0.
1 

a11 · · · a1n 11 0

1 
A0 =  .. . . . .. 1 .. 
1
an1 · · · ann 1 0
16
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
17
E1, E2, . . . , Ek telles que Ek · · · E2E1A = In, mais alors on
a E1−1E2−1 · · · Ek−1Ek · · · E2E1A = E1−1E2−1 · · · Ek−1In, c’est-àdire A = E1−1E2−1 · · · Ek−1. A est un produit de matrices (élémentaires) inversibles, donc inversible.
R0 de la forme
1 
0 11 0
.. 11 .. 
 = [In| 0]
1
11 0
!
où chaque ligne a son 1 directeur. Mais l’algorithme de Gauss
est une suite d’opérations élémentaires effectuées sur A0. Il
existe donc des matrices élémentaires E1, E2, . . . , Ek telles que
Ek · · · E2E1A0 = R0, c’est-à-dire Ek · · · E2E1 [A| 0] = [In| 0] et
donc Ek · · · E2E1A = In soit A ∼ In.
l
– 3. ⇒1.
A ∼ In signifie qu’il existe des matrices élémentaires
l
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
18
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
19
Méthode de calcul de l’inverse
On déduit du théorème précédent la méthode suivante pour déterminer si une matrice A : n × n est inversible et, le cas échéant,
calculer son inverse :
seulement l’inverse, quand elle existe, mais également une décomposition de celle-ci - et donc de A - en produit de matrices élémentaires, qui est souvent plus utile que la matrice explicite. Pour cela
il suffit de répertorier la suite d’opérations élémentaires effectuées.
1. Former la matrice “augmentée” [A| In].
2. Échelonner et réduire cette matrice - sans faire aparaitre de 1directeur dans la partie correspondant à I - obtenant ainsi la matrice [R| X].
3. Si R = In, alors A−1 = X,
Sinon A n’est pas inversible.
Remarque : L’application de l’algorithme de Gauss fournit non
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
20
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL

Exemples
1.

1 2 3


A=2 5 3
1 0 8
1
1 2 3 11 1 0

1
2 5 31 0 1
1
1 0 81 0 0
1

1 2 3 11 1

1
 0 1 −3 1 −2
1
0 −2 5 1 −1


Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL


0

0  l2 − 2l1 →
1
l3 − l1

0 0

→
1 0
0 1
l3 + 2l2
22
1
3 11 1
1
−3 1 −2
1
−1 1 −5
1
1 1 0
1
1
1 −2 1
1
1 5 −2

0 0

→
1 0
2 1
−l3

2 3
0
l1 − 3l3

1 −3
0  l2 + 3l3 →
0 1
−1
1

1
2 0 1 −14 6 3
l1 − 2l2
1

→
1 0 1 13 −5 −3 
1
0 1 1 5 −2 −1
1 2

0 1
0 0
1

0
0

1

0
0
21
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
23
1

1 0 0 11 −40 16 9

1

 0 1 0 1 13 −5 −3 
1
0 0 1 1 5 −2 −1

il vient
A
mais encore
−1

et
E12(−2)E13(−3)E23(3)E3(−1)E32(2)E31(−1)E21(−2)I = A−1
donc aussi pour la matrice A elle-même, en appliquant les règles
pour l’inverse d’un produit de matrices inversibles

A = E21(2)E31(1)E32(−2)E3(−1)E23(−3)E13(3)E12(2)
−40 16 9


=  13 −5 −3 
5 −2 −1
2.

1 4 6


A =  2 −3 0 
4 5 12

E12(−2)E13(−3)E23(3)E3(−1)E32(2)E31(−1)E21(−2)A = I
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
24
1

1 4 6 11 1 0 0

1

 2 −3 0 1 0 1 0  l2 − 2l1 →
1
4 5 12 1 0 0 1
l3 − 4l1
1


1
1 4
6 1 1 0 0

1
 1
l2 →
 0 −11 −12 1 −2 1 0  − 11
1
0 −11 −12 1 −4 0 1
1


1 4
6 11 1
0 0


12 1 2
1
→
0 1
11 11 11 − 11 0 
0 −11 −12 1 −4 0 1
l3 + 11l2
25
1

1 4 6 11 1
0 0
l1 − 4l2


12 1 2
1
→
 0 1 11 1 11 − 11 0 
1
0 0 0 1 −2 −1 1
1


18 1 3
4
1 0 11 1 11 11 0

1 2

1
= [R| X]
 0 1 12
11 11 11 − 11 0 
0 0 0 1 −2 −1 1

Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL

On conclut que A n’est pas inversible, puisque R #= I.
Néanmoins, on a
XA = R et A = X −1R
26
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
27
avec
Décomposition LU
X = E12(−4)E32(11)E2(−
1
)E31(−4)E21(−2)
11
La suite d’opérations effectuées par l’algorithme de Gauss pour échelonner et réduire une matrice A s’écrit, de manière générale, comme
le produit matriciel
X −1 = E21(2)E31(4)E2(−11)E32(−11)E12(4)
Ek . . . Ei+1Ei . . . E1A = R
où R est la matrice échelonnée réduite obtenue, les matrices
E1, . . . , Ei sont les matrices élémentaires correspondant aux opérations successives de la phase “échelonner” de l’algorithme, et les
matrices Ei+1, . . . , Ek celles de la phase “réduire”.
On supposera dans ce qui suit qu’on n’a pas dû faire de permutations
de lignes au cours de la phase “échelonner”. On remarque qu’alors
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
28
les matrices E1, . . . , Ei sont toutes des matrices triangulaires inférieures, et les matrices Ei+1, . . . , Ek des matrices triangulaires
supérieures.
On a donc
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
29
obtient ainsi une factorisation de A de la forme A = LU ( , produit
d’une matrice triangulaire inférieure par une triangulaire supérieure.
En particulier si A est inversible on a R = I et donc directement
A = LU .
−1
A = E1−1 . . . Ei−1Ei+1
. . . Ek−1R
Exemple Dans l’exemple 1. précédent on a obtenu
−1
A = (E1−1 . . . Ei−1)(Ei+1
. . . Ek−1)R
(E12(−2)E13(−3)E23(3)) (E3(−1)E32(2)E31(−1)E21(−2)) A = I
A = LU R
soit
A = (E21(2)E31(1)E32(−2)E3(−1)) (E23(−3)E13(3)E12(2))
où L, produit de matrices triangulaires inférieures, est une matrice
triangulaire inférieure, et U une matrice triangulaire supérieure.
Si A est une matrice carrée, alors R est une matrice triangulaire
supérieure et U ( = U R est encore triangulaire supérieure et on
avec
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
30
= LU
31





1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0





L =  2 1 0  0 1 0  0 1 0  0 1 0 
0 0 1
1 0 1
0 −2 1
0 0 −1


1 0 0


L = 2 1 0 
1 −2 −1
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL




1 0 0
1 0 3
1 2 0




U =  0 1 −3   0 1 0   0 1 0 
0 0 1
0 0 1
0 0 1


1 2 3


U =  0 1 −3 
0 0 1
32
Caractérisation des matrices inversibles
On a de même une décomposition de A−1de
U −1L−1 avec



1 −2 −9
1



−1
−1
U =  0 1 3  et L =  −2
0 0 1
5
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
la forme A−1 =

0 0

1 0 
−2 −1
33
Pr. On a déjà montré l’équivalence des 3 premières affirmations.
La méthode de calcul de l’inverse permet de compléter les affirmations équivalentes déjà prouvées dans le théorème précédent.
Théorème. Pour toute matrice carrée A : n × n les affirmations
suivantes sont équivalentes :
1. A est inversible.
– 1. ⇒ 4. Pour tout !b, A−1!b est bien défini et on vérifie que
!x0 = A−1!b est solution du système : A(A−1!b) = (AA−1)!b = !b
– 4. ⇒ 1. Le système possède une solution pour tout !b, en particulier en choisissant pour !b chacun des vecteurs colonnes de la
matrice identité



1
 

!e1 =  ..  , . . . , !en = 
0
2. L’équation AX = 0 n’a que la solution triviale X = 0.
3. A est équivalente par lignes à I. (A ∼ In))
l
4. Le système A!x = !b possède une solution pour tout vecteur !b.

0
.. 

1
Soit !xi une solution de A!x = !ei , i = 1, . . . , n et soit X la maAlgèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
34
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
35
'
(
trice ayant pour colonnes ces vecteurs !xi : X = !x1 |. . .| !xn .
Il vient
'
( '
(
AX = A !x1 |. . .| !xn = A!x1 |. . .| A!xn
'
(
= !e1 |. . .| !en = I
donc A est inversible et X est son inverse.
!
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
36