Correction TS. DM4.08

TS – DM4
Correction
Chapitre : La fonction exponentielle .
Énoncé : Soit m un réel. On cherche à déterminer le nombre de solutions réelles dans l’intervalle [ −5 ; 5]
de l’équation :
(E)
− x2 + 2 x − 1 + m e− x = 0
1. Dans cette question on pose m = 2 .
A l’aide du logiciel GeoGebra, donner un encadrement d’amplitude 10
−1
de l’unique solution de
(E) .
pour m = 2 , je trouve une unique solution α à l’équation ( E ) avec : 1, 6 < α < 1, 7
voir ici : http://lycee.lagrave.free.fr/spip.php?article693
2. Soit f la fonction définie sur [ −5 ; 5] par : f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 1) e x .
A l’aide du logiciel GeoGebra, tracer la courbe représentative de
de solutions de l’équation
- pour m ∈ [ −5 ; 0[
- pour m = 0
- pour m ∈ ]0 ; 0, 2[
- pour m ∈ [ 0, 2 ; 1, 5[
- pour m ≃ 1, 5
- pour m ∈ ]1, 5 ; 5]
f et émettre une conjecture quant au nombre
f ( x ) = m dans l’intervalle [ −5 ; 5] , en fonction des valeurs de m .
je conjecture qu’il y a aucune solution à l’équation f ( x ) = m
je conjecture qu’il y a une seule solution à l’équation f ( x ) = m
je conjecture qu’il y a deux solutions à l’équation f ( x ) = m
je conjecture qu’il y a trois solutions à l’équation f ( x ) = m
je conjecture qu’il y a deux solutions à l’équation f ( x ) = m
je conjecture qu’il y a une seule solution à l’équation f ( x ) = m
3. Démontrer que, pour tout m , l’équation ( E ) et l’équation f ( x ) = m ont le même ensemble de solutions
dans l’intervalle
[ −5 ; 5 ] .
f ( x ) = m ⇔ ( x 2 − 2 x + 1) e x = m
m
ex
⇔ x 2 − 2 x + 1 = m e− x
⇔ 0 = − x2 + 2 x − 1 + m e− x
f ( x ) = m ⇔ − x 2 + 2 x − 1 + m e− x = 0
⇔ x2 − 2 x + 1 =
(E)
l’équation ( E ) et l’équation f ( x ) = m ont le même ensemble de solutions
4. Répondre au problème posé.
f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 1) e x
la fonction f est dérivable sur [ −5 ; 5] comme produit de fonctions dérivables
avec U ( x ) = x 2 − 2 x + 1
f = U.V
U' ( x ) = 2 x − 2
f ' = U'.V + U.V'
V ( x ) = ex
et
V' ( x ) = e x
et
f ' ( x ) = ( 2 x − 2 ) e x + ( x 2 − 2 x + 1) e x = ( 2 x − 2 + x 2 − 2 x + 1) e x = ( x 2 − 1) e x
f ' est donc du signe de
(x
2
− 1) car e x > 0 d’où le tableau des variations de f :
x
x −1
f '( x)
−5
f ( x)
–1
0
0
+
+
2
–
–
1
0
0
4e −1 ≃ 1, 47
36e −5 ≃ 0, 24
5
+
+
16e5 ≃ 2374, 61
0
d’après le tableau des variations de f , je retrouve les conjectures de la question 2. pour l’équation f ( x ) = m
aucune solution pour m ∈ [ −5 ; 0[
une seule solution pour m = 0
car f ( x ) ≥ 0
car f ( x ) = 0 pour x = 1
deux solutions pour m ∈  0 ; 36e−5  une dans l’intervalle ]−1 ; 1[ et une dans l’intervalle ]1 ; 5[
trois solutions pour m ∈  36e−5 ; 4e −1  une dans ]−5 ; − 1[ , une dans ]−1 ; 1[ et une dans ]1 ; 5[
deux solutions pour m = 4e −1
une pour x = −1 et une dans ]1 ; 5[
une seule solution pour m ∈  4e−1 ; 16e5 
une dans l’intervalle ]1 ; 5[