Brevet Blanc n°2

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET BLANC n°2
SESSION 2013
MATHÉMATIQUES
SÉRIE COLLÈGE
_________
DURÉE DE L’ÉPREUVE : 2 h 00
_________
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4.
Dès qu’il vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
L’utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
L’usage du dictionnaire n’est pas autorisé.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Qualité de rédaction et de présentation
2 points
2 points
3 points
3 points
4 points
9 points
7 points
6 points
4 points
Exercice 1 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées mais une seule est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse qui est exacte.
1°)
2°)
3°)
4°)
L’équation 3 x + 5 = – 3 x – 7 a pour solution :
Combien de temps faut-il pour parcourir 20 km
à la vitesse de 100 km/h ?
J’achète un meuble dont le prix est de 460€.
Combien vais-je payer si l’on fait une réduction
de 20% ?
Je paye une chemise soldée à 36 €.
Quel était son prix avant la réduction de 20% ?
–2
–1
0
2
5 min
10 min
12 min
20 min
440 €
92 €
368 €
552 €
45 €
56 €
43,20 €
28,80 €
Exercice 2
1. Factoriser l’expression :
E = (3 x + 5) ² – (3 x – 5) (3 x + 5)
2. En déduire la valeur de :
3 000 000 005² – 2 999 999 995 × 3 000 000 005
Exercice 3 : Résoudre les inéquations suivantes et représenter leurs solutions sur un axe.
1. 7 ( x + 1 ) < 6 x – 2
2. 9 x + 4 ≥ 12 x – 4
Exercice 4
Toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
Un père a trois fois l’âge de son fils et vingt ans de moins que son père. Dans cinq ans, ils auront cent douze ans à
eux trois. Quels sont les âges du fils, du père et du grand-père ?
Exercice 5
Une fonction f est définie par son graphique ci-contre.
A l’aide du graphique, déterminer la valeur approchée de(s) :
a. l’image du nombre 1 par la fonction f.
b. f(−2),
c. f(0),
d. antécédent(s) par f du nombre 1,
e. nombre(s) x tel que f(x) = −4,
f. la valeur du nombre compris entre −2 et 6,5
qui a la plus petite image par la fonction f.
Exercice 6
Sur la figure ci-contre (où les dimensions ne sont pas respectées),
ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm.
F est un point du segment [AD].
E est un point de la demi-droite [AB) n’appartenant pas au
segment [AB] tel que BE = DF = x.
(x est donc un nombre compris entre 0 et 10)
1. Démontrer que l’aire du triangle BEC est égale à 5x.
2. Exprimer l’aire du triangle CDF en fonction de x, puis démontrer que l’aire du quadrilatère ABCF est égale à
60 – 3 x.
On considère les fonctions f et g définies par f : x ẃ 5x et g : x ẃ 60 – 3x.
a) Calculer f(0) et g(0).
b) Calculer f(10) et g(10).
3. On a représenté ci-dessous dans un même repère les courbes Cf et Cg représentatives des fonctions f et g.
Déterminer par lecture graphique :
a) Une valeur approchée de l’antécédent de 40 par la fonction f.
b) Une valeur approchée de l’antécédent de 40 par la fonction g.
c) Une valeur approchée de l’image de 4 par la fonction g.
d) La valeur de x pour laquelle l’aire du triangle BEC et l’aire du quadrilatère ABCF sont égales.
4.
Retrouver la réponse de la question 4.d) en écrivant une équation puis en la résolvant. Justifier.
5. Pour la valeur de x trouvée, calculer l’aire du triangle BEC et l’aire du quadrilatère ABCF.
Exercice 7
IJK est un triangle tel que IJ = 9,6 cm, JK = 10,4 cm et IK = 4 cm.
1. Tracer le triangle en vraie grandeur.
2. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en I.
3. Déterminer la valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle☺
IKJ .
4. M est le point du segment [IJ] tel que IM = 7,2 cm ;
N est le point du segment [IK] tel que IN = 3 cm.
a) Compléter la figure déjà tracée à la question 1).
b) Démontrer que les droites (MN) et (JK) sont parallèles.
c) Calculer la distance MN.
Exercice 8
Bruno veut construire un tipi qui aura la forme d’une pyramide.
La base de la pyramide est un rectangle ABCD de centre H.
La hauteur de la pyramide est [SH].
AB = 1,20 m ; AD = 1,60 m et SH = 2,40 m.
1.
Calculer le volume en m3 et en L de cette pyramide
On rappelle que le volume d’une pyramide est V =
2. Calculer la longueur BD.
3.
La baguette [EF] est parallèle à la baguette [AD].
[SD] mesure 2,60 m et [SF] mesure 1,95 m.
Calculer EF.
B×h
où B est l’aire de sa base et h est sa hauteur.
3
Correction du brevet blanc
3 Points de rédaction :
exercice 2 : 0,5 point si le b) est bien expliqué.
exercice 5 : 0,5 point dans s'il y a des phrases.
Exercice 7 :
0,5 point si la figure est précise
0,5 point pour la question 2 (réciproque de Pythagore bien rédigée)
0,5 point pour la question 3 (s'il est écrit dans le triangle IJK rectangle en I)
Exercice 8:
0,5 point si les unités sont écrites.
Compétences:
C1 : validée si la question 3) ou la question 4) du QCM est juste.
C2 : validée si au moins 2 bons calculs sur 4 dans la question 3 de l'exercice 6 (calculer f(0), g(0), f(10), g(10) )
C3 : validée dans l'exercice 8 si la question 2 (Pythagore) ou la question 3 (Thalès) est faite correctement.
C4 : Validée si le calcul du volume en m3 est juste (ou la conversion de m3 en L ?)
Partie numérique
Exercice 1
équation, fractions, pourcentages, puissances, pgcd, vitesse.
1° ) 3 x + 5 = – 3 x – 7 donc 3 x + 5 – 5 + 3 x = – 3 x – 7 + 3 x – 5 donc 6 x = – 12 donc x = – 2
La bonne réponse est – 2.
d 20
2°) d = 20 km, v = 100 km/h donc t = =
= 0,2 h = 12 min
v 100
80
3° ) On paye 100 – 20 = 80% du prix donc :
× 460 = 368 €
Je vais payer le meuble 368 euros.
100
4° ) 80% → 36€
36 × 100
100% →
= 45 €
80
Le prix de la chemise était au départ de 45 euros.
Exercice 2
1) E = ( 3 x + 5 ) ² – ( 3 x – 5 ) ( 3 x + 5 )
E=(3x+5)[(3x+5)–(3x–5)]
E = ( 3 x + 5 ) [3 x + 5 – 3 x + 5]
E = ( 3 x + 5 ) × 10
Factorisation
( /1)
2 ) 3 000 000 005² – 2 999 999 995 × 3 000 000 005
Ce calcul peut s'écrire ( 3 x + 5 ) ² – ( 3 x – 5 ) ( 3 x + 5 ) pour x = 1 000 000 000
D'après 1 ) on a donc :
3 000 000 005² – 2 999 999 995 × 3 000 000 005 = 3 000 000 005 × 10 = 30 000 000 050
( /1 )
Exercice 3
Inéquations
1. a ) 7 ( x + 1 ) < 6 x – 2 donc 7 x + 7< 6 x – 2 donc 7 x ◙
+7 ◙
–7 –6x<◙
6x –2◙
– 6 x– 7
x<–9
( /1 + 0,5 )
b ) 9 x + 4 ≥ 12 x – 4 donc 9 x – 12 x ≥ – 4 – 4 donc – 3 x ≥ – 8
–8
x≤
Attention le sens de l'inégalité change car je divise par un nombre négatif.
–3
8
x≤
3
Exercice 4
Mise en équation, équation
Soit x l'âge du fils. Ainsi, 3 x est l'âge du père et 3 x + 20 l'âge du grand père.
Dans 5 ans, ils auront respectivement, x + 5, 3 x + 5 et 3 x + 25.
x + 5 + 3 x + 5 + 3 x + 25 = 112 donc 7 x + 35 = 112 donc 7 x = 112 – 35 donc 7 x = 77 donc x = 11
Le fils a 11 ans, le père a 33 ans et le grand-père a 53 ans.
Fonctions
Exercice 5
a. L'image du nombre 1 est – 3.
b. f ( – 2 ) = 4
c. f ( 0 ) = – 3
d. Les antécédents de 1 sont : – 1,5 ; 4 et 5,5.
e. f ( x ) = – 4 pour x = 7
f. 0,5 a la plus petite image entre – 2 et 6,5.
Exercice 6
Lecture graphique, vocabulaire
( /0,5 )
( /0,5 )
( /0,5 )
( /1 )
( /1 )
( /0,5 )
Calcul d'aire, calcul d'image, lecture graphique et équation
1. BEC est un triangle rectangle en B avec BE = x cm et BC = 10 cm.
10 × x
A=
= 5 x L'aire du triangle BEC est égale à 5 x .
2
( /1 )
2. CDF est un triangle rectangle en D avec DF = x cm et DC = 6cm.
( /1,5 )
6×x
ACDF =
= 3 x L'aire du triangle CDF est égale à 3 x.
2
ABCD est un rectangle avec : AABCD = 10 × 6 = 60 cm²
On a : AABCF = AABCD – ACDF = 60 – 3 x L'aire du quadrilatère ABCF est 60 – 3 x .
3. a ) f ( 0 ) = 5 × 0 = 0
et
g ( 0 ) = 60 – 3 × 0 = 60
b ) f ( 10 ) = 5 × 10 = 50
et
g ( 10 ) = 60 – 3 × 10 = 30
( /2)
4. a ) Une valeur approchée de l'antécédent de 40 par la fonction f est : 8.
( /0,5 )
b ) Une valeur approchée de l'antécédent de 40 par la fonction g est : 6,6.
( /0,5 )
c ) L'image de 4 par la fonction g est environ 48.
( /0,5 )
d ) La valeur de x pour laquelle l'aire du triangle BEC et l'aire du quadrilatère ABCF sont égales est : 7,5.
( /0,5 )
4. ABEC = AABCF
60
5 x = 60 – 3 x donc 5 x + 3 x = 60 – 3 x + 3 x donc 8 x = 60 donc x = = 7,5 cm
8
Les aires de BEC et ABCF sont égales lorsque BE = DF = 7,5 cm.
( /1,5 )
6. Pour x = 7,5 cm,
ABEC = 5 × 7,5 = 37,5 cm² et AABCF = 60 × 3 × 7,5 = 37,5 cm²
( /1)
Partie géométrie
Exercice 7
Réciproque Pythagore, trigonométrie, réciproque et théorème de Thalès
1. Construction à la règle et au compas.
( /0,5)
2. Dans le triangle IJK, le côté le plus long est JK.
( /1,5)
JK² = 10,4² = 108,16 et IJ² + IK² = 9,6² + 4² = 108,16
Ainsi, on a : JK² = IJ² + IK².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I.
KI
4
4
3. Dans le triangle IJK rectangle en I, on a : cos (♀
K )= =
donc☺
IKJ = arccos (
) ≈ 67°
KJ 10,4
10,4
4. a) Construction géométrique.
( /0,5)
b) Dans le triangle IJK, on sait que : I, N et K sont alignés dans le même ordre que I, M et J.
IN 3
IM 7,2
IN IM
On a : = = 0,75 et
=
= 0,75 donc =
IK 4
IJ 9,6
IK IJ
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (JK) sont parallèles.
c) Dans le triangle IJK, on sait que :
- (MN) // (JK)
- (NK) et (MJ) sont sécantes en I.
IN IM NM
D'après le théorème de Thalès, on a : =
=
( /1,5)
IK IJ
KJ
NM 7,2
7,2 × 10,4
Ainsi,
=
d'où MN =
= 7,8 cm
10,4 9,6
9,6
Exercice 8
Calcul aire/volume, conversion, théorème de Thalès
1) La pyramide SABCD a pour base le rectangle ABCD.
B = L x l = AD x AB = 1,6 x 1,2 = 1,92 m²
V = (B x h) : 3 = (B x SH) : 3 = (1,92 x 2,40) : 3 = 1,536 m3
( /2)
3
Le volume de cette pyramide est 1,536 m .
1m3 = 1000L donc 1,536 m3 = 1 536L
Le volume de la pyramide SABCD est 1 536L
2) ABCD est un rectangle donc le triangle ABD est rectangle en A.
Dans le triangle ABD rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
BD² = AB² + AD² = 1,2² + 1,6² = 4
Donc BD = 4 = 2 m.
3) On sait que : - (EF) // (AD),
- les droites (EA) et (FD) sont sécantes en S.
SE SF EF
D'après le théorème de Thalès, on a : =
=
SA SD AD
EF 1,95
1,6 × 1,95
Ainsi,
=
d'où : EF =
= 1,2 m
( /2)
1,6 2,6
2,6
( /1)
( /2)
( /2)