5 Vecteurs et translation
Transcription
5 Vecteurs et translation
5 Vecteurs et translation Chapitre 9 p 197 1. Définitions 1. 1. Translation et vecteur Activité 1. 1. 1. Sur Geogebra A est le point de coordonnées ( 2;-2 ) A' est le point de coordonnées ( 8;1 ) B est le point de coordonnées ( 3;2 ) C est le point de coordonnées ( 5;-1 ) F est le point de coordonnées ( 5;3 ) On définit la transformation t du plan de la manière suivante: À tout point M du plan on fait correspondre le point M' = t ( M ) défini par: M' est le symétrique de A par rapport au milieu de [ MA' ]. a. Construire B ' =t B , C ' =t C et F ' =t F b. Quelle est la nature du quadrilatère AA'B'B, AA'C'C, AA'F'F et, de manière générale, AA'M'M?Justifier. Le parallélogramme AA'F'F sera qualifié de " parallélogramme aplati ". c. Pourquoi A' est-il égal à t ( A )? Définition || A et A' sont deux points quelconques du plan. || La translation transformant A en A' est la transformation qui || à tout point M du plan fait correspondre le point M' tel que: || AA'M'M est un parallélogramme ( éventuellement aplati ). || La famille des couples ( M, M') ainsi construits est un vecteur ( noté A A' ) || Chaque élément de la famille est un représentant de ce vecteur. Activité 1. 1. 1. ( suite ). d. Créer le vecteur AA ' Retrouver les images de B, de C, de F en utilisant la translation de Geogebra. e. Créer le vecteur CC ' . Au lieu de définir la translation avec le couple ( A, A' ), on le définit avec le couple ( C, C' ). Change-t-on, alors, les images des points D, E, F et M en général? Comment, donc, peut on appeler, autrement, la famille AA ' ? Pourquoi peut-on écrire AA ' = CC ' = DD ' =...= MM ' ? Proposition 1 || La translation de vecteur AB est la translation || qui transforme A en B. || On la note t AB || Les phrases suivantes sont équivalentes: || AB= CD , || t t CD , AB = || ABDC est un parallélogramme ( éventuellement aplati ), || || [ AD ] et [ BC ] ont le même milieu. { ( AB ) et ( CD ) ont la même direction (A,B) et ( C,D) ont le même sens AB=CD Notation: Un vecteur est souvent noté u , v , i , j , w , etc... C'est toujours le nom d'une famille définie par une translation. Proposition: || Le point I est le milieu de [ AB ] si, et seulement si, AI = IB Exercice 1. 1. 2. a. Soit le triangle RST. On demande de construire le point E ( resp. F ) image de T ( resp. R ) par la translation de vecteur RS ( resp. TS ). b. Donner deux vecteurs égaux à TR . Justifier. c. Que peut-on dire de S par rapport à E et F. Justifier. Exercice 1. 1. 3. ABCD et un carré. K est le milieu de [ BC ]. E est le symétrique de D par rapport à K. En donnant des arguments uniquement d'ordre vectoriel répondre aux questions suivantes: a. Que peut-on dire des vecteurs EC ? BD et b. Que peut-on dire des vecteurs AB et BE ? c. Que peut-on dire de B par rapport à [ AE ]? Exercice 1. 1. 4. ABCD est un parallélogramme de centre O et E le point défini par BE = AO . 1. Faire une figure. 2. Démontrer que 3. Démontrer que OE = AB . OE = DC . 4. Que peut-on dire de OC et BE ? de OB et de CE ? de DO et de CE ? 1. 2. Coordonnées d'un vecteur Activité 1. 2. 1. On reprend les hypothèses de l'activité 1. 1. 1. 1. Pour "aller " de A en A' j'avance de ...? et je "monte" de ...? ( ne pas répondre sur la fiche !!! ) 2. Mêmes questions pour aller de B en B', de C en C', de F en F', d'un point M quelconque à son image t ( F )? 3. Quels sont les coefficient directeurs des droites (AA' ) et ( BB' )? Que peut-on en déduire à propos des droites concernées? pouvait-on s'y attendre? 5. Quels sont les coefficient directeurs des droites ( AB ) et ( A'B' ). 6. Que peut-on dire à propos du quadrilatère ABB'A'? ( justifier ), du quadrilatère ACC'A'? ( sans justifier ), du quadrilatère BB'F'F? Définition 2 || Si u = AB alors { x u est ce dont j'avance pour aller de A à B. y u est ce dont je monte { x = x B− x A AB y = y B− y A AB || u et v sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées. Exercice 1. 2. 2. Ex 21, 22 p 212 Exercice 1. 2. 3. Ex 24, 25 p 212 x x xI = A B 2 Proposition: || Le point I est le milieu de [ AB ] si, et seulement si, y A y B y I= 2 Exercice 1. 2. 4. Exercice 1. 2. 5. Ex 5, 8 p 210 || Les coordonnées du vecteur AB sont les nombres { 2. Somme de deux vecteurs 2. 1. Définition Activité 2. 1. Dans Geogebra trouver dans la barre de menu la commande translation. De cette manière déterminer l'image de E par la translation de vecteur u puis l'image de cette image par la translation de vecteur v . On dit alors qu'on enchaîne, dans cet ordre, les deux translations t u et t v Faire la même chose pour F et G. Que peut-on dire, pour les trois points, des vecteurs Point de départ Point d ' arrivée . Faire la construction à la main, sur la figure ci-dessous. Justifier. Définition || u et v sont deux vecteurs. Le vecteur u + v est le vecteur de la translation || composée en enchaînant les deux translations t u et t v : || t v u M =t u v M =t u t v M =t v t u M Exercice 2. 1. 1. ABC est un triangle. Construire les points M et N définis par les égalités vectorielles: AM = AB AC , AN = CB AB . 3 Propriété || A et B sont deux points quelconques. de Chasles || Pour tout point C, AB = AC + CB Exercice 2. 1. 2. Illustrer sur la figure ci-dessus. Deux constructions : en utilisant deux bipoints consécutifs : Chasles ; en utilisant deux bipoints de même origine: règle dite du parallélogramme . Exercice 2. 1. 3. A, B, C et D sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 3; 3 ), ( 7; - 1) et ( -1; 2 ). a. Construire les points E, F et G définis par les égalités suivantes: AE= AB AC , CF = AD DB , DG= CB AD . b. Lire les coordonnées des vecteurs , AB AC et AE . Quelle remarque peut-on faire? Y a-t-il la même relation entre les coordonnées des vecteurs CF , AD et DB . Proposition || x u v = x u x v et y u v = y u y v . Exercice 2. 1. 3. ( suite ) Donner les coordonnées de CB , AD . En déduire celles de DG . Vérifier sur le graphique. 2. 2. Le vecteur nul Définition: || u 0= 0 u= u: || 0 est le vecteur de la translation qui, à tout point M, || fait correspondre le point M lui-même. || C'est le vecteur AA , BB , ..., MM , ... || Les coordonnées de 0 sont ( 0; 0 ). 2. 3. L'opposé Définition || − u u =u −u = 0: || Si u est le vecteur de la translation qui à M fait correspondre le point M', || −u est le vecteur de la translation qui, au point M' fait correspondre le point M. || − AB = BA || x −u =−x u et y −u=− y u . 4 Exercice 2. 3. 1. A, B, C et D sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 3; 3 ), ( 7; - 1) et ( -1; 2 ). a. Construire les points E, F et G définis par les égalités suivantes: AE= AB− AC , CF = AD− DB , DG= CB− AD . b. Déterminer les coordonnées des points E, F et G. c. Construire le point H défini par AH = BC AD− FD d. Déterminer ses coordonnées. 3. Produit d'un vecteur par un nombre réel 3. 1. Définition Définition || u est le vecteur de coordonnées ( x; y ). k est un réel. || Par définition, le vecteur k u est le vecteur de coordonnées ( k x; k y ). Conséquences || k u est un vecteur dont les représentants ont || la même direction que ceux de u || sens que ceux deu si k 0 {lele même sens contraire si k0 || une longueur égale au produit de celle de ceux de u par 0 {−kk sisikk0 Activité 3. 1. 1. A, B, C et D sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 3; 3 ), ( 7; - 1) et ( -1; 2 ). a. Représenter les points E et F tels que AE=2 AB , CF =3 CD . b. Quelles sont les coordonnées des points E et F. Donner une réponse graphique et une réponse par le calcul. c. Peut-on voir un rapport entre les distances AE et AB, entre CF et CD. Justifier géométriquement ces réponses. Exercice 3. 1. 2. Placer, dans la figure suivante les points M, N et P définis par: 3 BN = CA− BA et AM =−2 AC , CP=3 AB CA−2 CB . 2 5 Proposition || Le point I est le milieu de [ AB ] si, et seulement si, • • Définition 1 OI = OA OB 2 x x xI = A B 2 y A y B y I= 2 { || Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si, et seulement si, || il existe un réel k tel que v=k u ou u =k v || donc si les coordonnées de u et de v sont colinéaires. Exercice 3. 1. 3. A, B, C et D sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 1; 7 ), ( 7; - 1) et ( -1; 2 ). Les vecteurs AD et CB sont-ils colinéaires?et les vecteurs AC ? DB et Exercice 3. 1. 4. A et B sont les points de coordonnées respectives ( 2; - 2 ), ( 3; 3 ). Déterminer l'ordonnée de C d'abscisse 6 tel que AC et AB soient colinéaires. Proposition ||Les vecteurs AB et CD sont colinéaires si, et seulement si, || * soit l'un des vecteurs au moins est nul; || * soit les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles. Conséquences || Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, || les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Exercice 3. 1. 5. Ex 102 et 103 p 220 Exercice 3. 1. 6. Ex 105 p 220 4. Distance de deux points, norme d'un vecteur On se situe nécessairement dans un repère orthonormé O ; i , j . Proposition || Les points A et B ont pour coordonnées x A ; x B et x X ; y B . || alors la distance AB est égale à x B −x A2 y B − y A 2 . || Ce nombre est aussi appelé norme du vecteur AB . || De manière générale, on note ∣∣u∣∣ le nombre ∣∣u∣∣= x 2u y 2u . Exercice 4. 1. Ex 100 p 219 Exercice 4. 2. Le plan est rapporté au repère orthonormé O ; i , j . A et B sont les points de 1 3 coordonnées ( 1; 0 ) et ( 0; 0). C est le point de coordonnées ( ; ). Que peut-on dire du triangle 2 2 ABC? A, B et C sont les points de coordonnées ( 2; 3 ), ( 4; 0 ) et ( 9; 5 ). Que peut-on dire du triangle ABC? TD Ex 106 p 220; Ex 107 p 220 6 Correction des exercices vecteurs et translations 1. Définitions 1. 1. Translation et vecteur Ex 1. 1. 2. a. TR= ES = SF .En effet donc TESR est un TE= RS parallélogramme donc TRSE est un parallélogramme donc TR= ES . Même démonstration pour TR= SF . c. ES = SF donc S est le milieu de [ EF ]. Ex 1. 1. 3. a. [ BC ] et [ ED ] ont le même milieu ( E ) donc BD= EC . b. BD= EC donc BDCE est un parallélogramme donc DCEB est un parallélogramme donc BE = DC . AB= DC puisque ABCD est un parallélogramme. Donc AB= BE . c. AB= BE donc B est le milieu de [ AE ]. 7 Ex 1. 1. 4. 2. BE = AO donc BEOA est un parallélogramme, donc OEBA est un parallélogramme donc OE = AB . 3. AB= DC puisque ABCD est un parallélogramme. OE = AB d'après la question précédente. Donc OE = DC . 4. OC = AO puisque O est le milieu de [ AC ]. AO= BE par hypothèse. Donc OC = BE . OC = BE donc OCEB est un parallélogramme donc OBEC est un parallélogramme, donc OB= CE . DO=OB puisque O est le milieu de [ DE ]. Or OB=CE donc DO=CE . On peut donc faire plusieurs remarques: ( EO ) coupe [ BC ] en son milieu. DO= OE = CE et par conséquent OD= EO= EC : la famille peut ici prendre trois noms. De même pour . AB= DC = OE 1. 2. Coordonnées d'un vecteur 2. 3. L'opposé Exercice 2. 3. 1. a. AE= AB− AC= AB CA= CA AB= CB , CF = AD BD , DG= CB DA {−22 B {33 1 7 C { A AB { 5 −1 CA {−5 {−22 −1 A 8 AB− AC = AB CA= AE {1−5=−4 5−1=4 = x E − x A donc x E = x A x =2−4=−2 et, b. x AE AE =−2 4=2 . de la même manière, y E = y A x AE c. AH = BC AD DF = BC AF = AF BC −2 3 7 4 B { C { AF { BC { {−22 F {02 4 3 −1 −4 2 2 22=4 A { AF BC { H { −2 0 −2−2=−2 A AF BC 4−2=2 {−44=0 3. Produit d'un vecteur par un nombre réel 3. 1. Définition Exercice 3. 1. 2. Exercice 3. 1. 3. A −3 AD { 4 {−22 D {−12 C {−17 B {17 {−12 B {17 A 5 AC { les coordonnées ne sont pas proportionnelles {−22 C {−17 1 colinéaires: CB =2 AD . D 9 DB {52 CB AD et CB sont {−68 . Les deux vecteurs donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Exercice 3. 1. 4. A {−22 B {33 AB Appelons y l'ordonnée, pour l'instant inconnue, de C. {15 A {−22 C {6y AC 4 Les deux vecteurs sont colinéaires si, et { y2 seulement si, les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit si 4×5−1× y2=0 c'est à dire si y2=20 c ' est à dire y=18 . Exercice 102 p 220 {−33 B {−15 AB {−48 7 3 −4 1. b. D { C { DC { a 4 4−a 1. a. A 2. ABDC est un trapèze de bases [ AB ] et [ CD ] si, et seulement si, ( AB ) // ( CD ) et ceci si, et seulement si, AB et CD sont colinéaires. Ces vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont 8 −4 = proportionnelles soit si −4 4−a −4−4 =2 . Ceci donc si 4−a= 8 équivaut à 4−2=a ou a=2 . Exercice 103 p 220 x−5 CD { y−3 {53 D { xy 5 2 CA {−3 C { A { 3 −3 −6 1 −1 CA { −2 3 1 CD= CA ⇔ x−5=−1 Donc D a { y−3=−2 3 x=4 pour coordonnées { . y=1 2. C 1 65 11 x E = x B x C = = 2 2 2 1 −23 1 y E = y B y C = = 2 2 2 { { 2 6 B est le milieu de [ AF ] ⇔ AB= BF : A −3 B −2 AB AB= BF ⇔ 10 x=10 . F { . { x−6=4 y2=1 y=−1 {14 B {−26 F { xy BF . { x−6 y2 { { 11 2 4 3. a. D E . DE 1 1 2 { 3 2 4 10 .D F 1 −1 DF −1 2 { { 10−4=6 {−1−1=−2 3. b. DF =4 DE donc les vecteurs DF et DE étant colinéaires, les droites ( DF ) et ( DE ) sont parallèles. Comme elles passent toutes les deux par le point D, elles sont identiques= la droite ( DE ) est la droite ( DF ): les points D, E et F appartiennent à la même droite: les points D, E et F sont alignés. Exercice 105 p 220 2. MN = MA AN =− MA AN =− kAB kAC =k − AB AC =k BA AC = kBC . 3. On sait que ∣∣k u∣∣=k ∣∣u∣∣ si k > 0 et ∣∣k u∣∣=−k ∣∣ u∣∣ si k < 0. On rappelle qu'on appelle ∣∣u∣∣ la longueur commune de tous les représentants de u : Si AB=u AB∣∣= AB . alors ∣∣u∣∣=∣∣ { AM =k AB=2,5×3=7,5 Si k = 2,5 alors AN =k AC =2,5×5=12,5 MN =k BC =2,5×6=15 11 { AM =−k AB=2 −2 10 Si k = alors AN =−k AC= . 3 3 MN =−k BC =4 4. Distance de deux points, norme d'un vecteur Exercice 4. 1. Ex100 p 219 2. a. ABCD est un parallélogramme ⇔ AB= DC −3 −3−−1=−2 B { AB { {−1 −4 −1 −14=3 x 3 3−x D { C { . y 3 DC {3− y 3− x=−2 5 AB= DC ⇔ { 3− y=3 . Donc D {0 . c. A 3. Pour démontrer que le parallélogramme ABD est un rectangle nous allons montrer qu'il a un angle droit ( un seul suffit car cela entraine que tous les autres le sont ). Pour cela nous allons démontrer que le triangle ABC est rectangle. 2 2 AB=∣∣ AB∣∣= x B −x A2 y B − y A 2 = x y = −2232= 13 AB AB 2 2 2 y =13 . Mais il est plus facile de calculer AB 2 : AB = x AB AB De même BC 2= x C − x B 2 y C − y B 2=6 242 =52 et AC 2=4 27 2=65 Or 1352=65 donc AC 2= AB 2 BC 2 . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B. Exercice 4. 2. A {10 B {00 AB {−10 AB 2=−120 2=1 { { { { 1 −1 2 2 2 2 1 −1 3 1 3 2 AC = A C AC = = =1 . 0 3 3 2 2 4 4 2 2 { 1 2 0 B C BC 0 3 2 { 1 2 2 2 1 3 13 4 2 BC = = = =1 3 2 2 4 4 2 On peut conclure que ABC est équilatéral {23 B {04 AB {−32 AB =2 −3 =13 2 9 7 A { C { 3 5 AC { 2 AC =494=53 2 A 2 12 2 2 B {04 C {95 BC {55 BC 2=2525=50 On ne peut rien dire (!) du triangle: en tout cas il n'est pas rectangle comme il pourrait le sembler sur la figure 13