Seconde - Addition de vecteurs

Addition de vecteurs
I) Somme de vecteurs
Soit u et v deux vecteurs et M un point.
La translation de vecteur u associe au point
M le point N
La translation de vecteur v associe au point
N le point P
La translation qui associe le point P au point
M est appelée :
translation de vecteur u+v
1) Définition
La somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation
résultant de l’enchaînement des translations de vecteur et de
vecteur
On note ce vecteur +
2) Propriété
Dans un repère, on donne les vecteurs
Alors les coordonnées du vecteur
Démonstration
Dans un repère d’origine O, la translation
de vecteur u(x ; y ) associe au point O le
point M( x ; y ), la translation de
vecteur v ( x’ ; y’) associe au point M le
point N.
⎯⎯→
Alors u + v = ON on cherche donc les
coordonnées du point N
⎯⎯→
les coordonnées de MN sont
(xN– x ;yN– y )
⎯⎯→
Or MN = v
donc x’ = xN– xet y’ = yN– y
d’où u + v (x’ + x ; y’ + y )
+
(x ; y ) et
( x’ ; y’ )
sont (x + x’ ; y +y’)
Exemple
Dans un repère on considère u ( 3 ; –2) et v ( 4 ; 6 )
Alors u + v ( 3 + 4 ; – 2 + 6 ) d’où u + v ( 7 ; 4 )
3) Propriétés
Pour tous vecteurs , , et
•
•
•
+ =
:
+
+ = +
( + )+
= +( +
)
II) Constructions géométriques
Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs u et v, on peut procéder de
l’une ou de l’autre des façons suivantes
Relation de Chasles
+
On dispose « bout à bout » le
représentant (A , B) de et le
représentant ( B , C ) de
=
Règle du parallélogramme
On choisit des représentants (A, B) de
et (A , C) de de même origine. La
tel que
somme + est le vecteur
ABEC soit un parallélogramme.