2de7 Devoir surveillé n°5 2011/2012 Exercice 1 : Dans un repère

2de7
Devoir surveillé n°5
2011/2012
Exercice 1 :
Dans un repère orthonormé (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, placer les points A(-1 ; -1), B(1; 2) et
C(1 ; - 4).
1) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
2) Construire le point D image du point C par la translation de vecteur ⃗
AB .
3) Démontrer que le quadrilatère ACDB est un losange.
Exercice 2 :
ADCG et AGFE sont deux carrés.
1) Déterminer l'image du point D par la translation de vecteur ⃗
CG suivie de la
translation de vecteur ⃗
AF . Compléter alors ⃗
CG + ⃗
AF = ….
2) Recopier et sans utiliser d'autres points que ceux de la figure compléter les
égalités à l'aide d'un seul vecteur :
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
DG =.....
CA + ⃗
EG + ⃗
EF =.....
DA + AG =.....
DA + ⃗
DA =.....
⃗
EG + ⃗
CA =.....
Exercice 3 :
u +⃗
v .
1) Dans chaque cas, placer le point M tel que ⃗
AM = ⃗
2
2) Reproduire la figure ci-dessous et construire le point B
u =⃗
tel que ⃗
BO + ⃗
AO .
Exercice 4 :
x et y sont deux réels. On considère les points A(x –1 ; 2), B(1 ; y – 5), C(x ; 0) et D(-x ; -2) dans un repère
orthonormé (O; ⃗
i ,⃗
j ). Calculer x et y tels que ABCD soit un parallélogramme.
R
Exercice 5 : Soit un triangle RST.
1) Construire le point E image de T par la translation
de vecteur ⃗
RS et le point F image de R par la
T
S
translation de vecteur ⃗
TS .
2) Prouver que ⃗
SF .
TR = ⃗
3) Prouver que S est le milieu de [EF].
Exercice 6 : Recopier et compléter la phrase en utilisant ou bien « donc » ou bien « si et seulement si ».
1)
2)
ABCD est un losange ………………….. (AC) est perpendiculaire à (BD).
I est le milieu de [AB] ………………….. ⃗
AI = ⃗
IB .
Correction du devoir surveillé n°5
2011/2012
Exercice 1 :
1) Dans le repère orthonormé (O, I, J) :
AB2 = (1 – (-1))2 + (2 – (-1))2 = 22 + 32 =13 donc AB = √ 13 cm.
AC2 = (1 – (-1))2 + (-4 – (-1))2 = 22 + (-3)2 =13 donc AC = √ 13 cm.
Comme AB = AC, le triangle ABC est isocèle en A.
3) Comme le point D est l'image du point C par la translation de vecteur ⃗
AB alors ⃗
AB = ⃗
CD . Le
quadrilatère ABDC est alors un parallélogramme. De plus AB = AC, si un parallélogramme a deux côtés
consécutifs de même longueur alors ce parallélogramme est un losange. Je peux conclure que le
parallélogramme ABDC est un losange.
Exercice 2 :
ADCG et AGFE sont deux carrés.
1) L'image du point D par la translation de vecteur ⃗
CG suivie de la translation de
vecteur ⃗
AF est le point F. Compléter alors ⃗
CG + ⃗
AF = ⃗
DF
2)
⃗
⃗
⃗
AG = ⃗
DG ; ⃗
DG = ⃗
CA + ⃗
CG
EG + ⃗
EG + ⃗
CA = ⃗
0 .
DF ; ⃗
EF = ⃗
EF ;
DA + ⃗
DA + ⃗
DA = ⃗
Exercice 3 :
u +⃗
v .
1) Dans chaque cas, placer le point M tel que ⃗
AM = ⃗
2
M
M
M
2) Construisons le point N tel que ⃗
AO = ⃗
ON .On a alors
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
u
BO + AO = BO + ON = BN = ⃗
Exercice 4 :
ABCD est un parallélogramme si et seulement si ⃗
AB = ⃗
DC et deux vecteurs sont égaux si et seulement
si ils ont les mêmes coordonnées.
x B −x A
1−( x−1)
1−x+1
2−x
⃗
⃗
⃗
⃗
AB
AB
AB
AB
yB− y A
y−5−2
y−5−2
y−7
x C− x D
x−(−x)
2x
⃗
⃗
⃗
DC
DC
DC
y C− y D
0−(−2)
2
Nous devons alors résoudre les deux équations suivantes : 2 – x = 2x
et
y–7=2
3x = 2
et
y=9
( )
( )
(
(
)
)
( )
( )
( )
x=
On a alors x=
2
et y = 9.
3
2
3
Exercice 5 :
R
F
2) Comme le point F est l'image de R par la translation de vecteur
⃗
TS alors ⃗
TS , le quadrilatère RTSF est donc un
RF = ⃗
parallélogramme et on peut en déduire que ⃗
SF .
TR = ⃗
3) Comme le point E est l'image de T par la translation de vecteur
T
S
E
⃗
RS alors ⃗
RS , le quadrilatère RSET est donc un parallélogramme et on peut en déduire que
TE = ⃗
⃗
ES . On a alors ⃗
SF et ⃗
ES donc ⃗
SF = ⃗
ES ce qui signifie que S est le milieu
TR = ⃗
TR = ⃗
TR = ⃗
de [EF].
Exercice 6 : Recopier et compléter la phrase en utilisant ou bien « donc » ou bien « si et seulement si ».
1)
ABCD est un losange donc (AC) est perpendiculaire à (BD).
2)
I est le milieu de [AB] si et seulement si ⃗
AI = ⃗
IB .