Espace de Sobolev H1(I)

Espace de Sobolev H 1 (I)
Arnaud Girand
19 juin 2012
Référence :
– [Bre05], p. 121–123 et 129
Prérequis :
– théorème d’Ascoli.
Soit I = (a, b) un intervalle ouvert borné de R.
On considère l’espace de Sobolev H 1 (I) défini comme suit :
1
2
H (I) := u ∈ L (I) ∃g ∈ L2 (I), ∀ϕ ∈ Cc∞ (I),
Z
I
′
uϕ = −
Z
gϕ
I
La fonction g ∈ L2 (I) est alors unique : on la note u′ . On munit H 1 (I) de la topologie associée au
produit scalaire suivant :
h., .i : H 1 (I) × H 1 (I) → R
Z
Z
(u, v) 7→ uv + u′ v ′
I
I
La norme induite par h., .i est notée k.kH 1 et vérifie :
∀u ∈ H 1 (I),
kuk2H 1 = kuk2L2 + ku′ k2L2
Proposition 1
On a les résultats suivants :
(i) H 1 (I) est un espace de Hilbert ;
(ii) H 1 (I) s’injecte de façon compacte dans C 0 (I).
(iii) H 1 (I) s’injecte de façon continue dans L2 (I) ;
Démonstration :
(i) Il est clair que (H 1 (I), h., .i est préhilbertien. Soit (un )n une suite de Cauchy dans H 1 (I).
Alors, si on fixe ε > 0 il existe N ≥ 0 tel que :
kun+p − un k2H 1 ≤ ε
∀n ≥ N, ∀p ≥ 0,
I.e :
∀n ≥ N, ∀p ≥ 0,
kun+p − un k2L2 + ku′n+p − u′n k2L2 ≤ ε
En particulier, (un )n (resp. (u′n )n ) est de Cauchy dans l’espace complet L2 (I) donc y admet
une limite u ∈ L2 (I) (resp. v ∈ L2 (I)). Or :
Z
Z
Z
Z
∞
′ ′
′
′
∀ϕ ∈ Cc (I), un ϕ − u ϕ = un ϕ − uϕ I
I
I
ZI
≤ |un − u||ϕ′ |
I
≤ kun − ukL2 kϕ′ kL2 par Cauchy–Schwarz
−−−−→ 0
n→∞
1
R
R
Donc ∀ϕ ∈ Cc∞ (I), I u′n ϕ −−−−→ I u′ ϕ (i.e u′n ⇀ u′ au sens des distributions). Cependant
n→∞
on montre de même que :
Z
Z
∀ϕ ∈ Cc∞ (I), u′n ϕ − vϕ ≤ ku′n − vkL2 kϕ′ kL2 −−−−→ 0
n→∞
I
I
De fait par unicité de la limite :
Z
Cc∞ (I),
∀ϕ ∈
I
(u′ − v)ϕ = 0
Ce qui implique, par théorème de représentation de Riesz, que u′ = v p.p donc dans L2 .
In fine :
kun − uk2H 1 = kun − uk2L2 + ku′n − u′ k2L2 −−−−→ 0
n→∞
D’où le résultat.
(ii) – Commençons par démontrer que tout u ∈ H 1 (I) admet un représentant continu. Soit
y0 ∈ I. On définit ũ ∈ C(I) comme suit :
Z x
u′ (t)dt
ũ : x 7→
y0
ũ est bien continue car u′ ∈ L2 (I) ⊂ L1loc (I) (car I est borné). De plus :
Z Z x
Z
u′ (t)dtϕ′ (x)dx
ũϕ′ =
∀ϕ ∈ Cc∞ (I),
I
I
=
Z
a
y0
y0 Z x
u′ (t)dtϕ′ (x)dx +
y0
=−
Z
y0
=−
y0
=−
Z
=−
Z
a
x
Z
′
′
u (t)dtϕ (x)dx +
y0
u′ (t)dt
Z
t
ϕ′ (x)dx +
a
a
a
b
y0
y0
Z
Z
′
u (t)(ϕ(t) − 0)dt +
Z
Z
Z
u(t)dtϕ′ (x)dx
y0
bZ x
y0
Z b
y0
b
y0
x
u′ (t)dtϕ′ (x)dx
y0
u′ (t)dt
Z
b
ϕ′ (x)dx par Fubini
t
u′ (t)(0 − ϕ(t))dt
u′ ϕ
I
De fait ũ′ = u′ et donc d’après le lemme 1, il existe C ∈ R tel que u = ũ + C presque
partout donc dans H 1 (I). ū := ũ + C est bien un représentant continu de u.
– Notons B la boule unité fermée de H 1 (I). Alors, pour u ∈ B on a :
Z x
2
′
∀x 6= y ∈ I, |u(x) − u(y)| = |ū(x) − ū(y)| = u (t)dt
y
p
≤ |x − y|ku′ kL2 par Cauchy–Schwarz
p
≤ |x − y|ku′ kH 1
p
≤ |x − y|
2
Donc B est équicontinue dans C 0 (I). De plus (variation par rapport au Brézis) :
1 Z b
u(x)dy ∀x ∈ I, |u(x)| = b − a a
Z
1 Z b
x
′
=
u (t)dt − u(y) dt
b − a a
y
Z bZ x
Z
1
1
|u|
≤
|u′ (t)|dtdy +
b−a a y
b−a I
Z bZ b
Z
1
1
′
|u|
|u (t)|dtdy +
≤
b−a a a
b−a I
Z b
Z
1
=
|u′ (t)|dt +
|u|
b−a I
a
√
1
≤ b − aku′ kL2 + √
kukL2 par Cauchy–Schwarz
b−a
√
1
≤
b−a+ √
kukH 1
b−a
Donc B est bornée pour k.k∞ . De fait, par théorème d’Ascoli, B est relativement compacte
dans C 0 (I), d’où le résultat.
(iii) La topologie L2 étant plus faible que la topologie de la convergence uniforme, (iii) est une
conséquence immédiate de (ii).
Détails supplémentaires :
2
∞
– RUtilisation du théorème de représentation de Riesz.
R Si f ∈ L est telle que pour tout ϕ ∈ Cc ,
f ϕ = 0 alors par densité la forme linéaire ϕ 7→ f ϕ est nulle. Le théorème de représentation
de Riesz implique alors que f = 0 dans L2 (donc presque partout). R
R
R
uϕ′ = − I gϕ = − I gϕ
– Unicité de u′ . Si deuxRfonctions g, h ∈ L2 vérifient que ∀ϕ ∈ Cc∞ (I),
I
alors ∀ϕ ∈ Cc∞ (I),
I (g − h)ϕ = 0 et donc g = h presque partout.
– Soit u ∈ L1loc (I). Alors pour y0 ∈ I, xI¯ et h tel que x + h ∈ I¯ on a :
Z
Z x Z x+h Z x+h
x+h
u = u−
u ≤
|u| −−−→ 0 car ∀ε ∈ [0, h], u ∈ L1loc (I)
y0
h→0
y0
x
x
Rx
Donc x 7→ y0 u ∈ C 0 (I).
– On a fait usage du lemme suivant (cf. [Bre05], p.122–123) :
Lemme 1
Soit f ∈ L1loc (I).
On suppose que :
∀ϕ ∈
Cc∞ (I),
Z
f ϕ′ = 0
I
Alors il existe C ∈ vR tel que f = C presque partout. En particulier deux éléments de H 1 (I)
de même dérivée diffèrent d’une constante.
∞
Démonstration
: Soit ψ ∈ Cc∞ (I)R d’intégrale
1 et soit
Alors la fonction
R w ∈ Cc (I).
R
R
∞
h := w − ψ I w est dans Cc (I) et I h = I w − 1 × I w = 0 donc 1 h admet une primitive ϕ ∈ Cc∞ (I) et donc :
Z
Z Z ′
0 = fϕ = f w − ψ w
I
1. Il est clair que h admet une primitive dans
compact.
I
C ∞ (I).
La nullité de
3
I
R
I
h nous prouve que celle–ci est à support
I.e :
Z w−ψ w
Z Z I
ZI
w(x)f (y)ψ(y)dydx par Fubini
= fw −
ZI IZ I = w f − fψ
∀w ∈ Cc∞ (I), 0 =
Z
f
I
Et donc, f = C :=
R
I
I
f ψ presque partout.
Références
[Bre05] Haim Brezis. Analyse fonctionelle. Dunod, 2005.
4