Contrôle bang-bang de la chaleur

I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Contrôle bang-bang de la chaleur
Kim Dang PHUNG
Sichuan University.
6 Mai 2011, Paris, GT Contrôle
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Plan
I. Qu'entends-je par bang-bang ?
II. Contrôle exact de la chaleur avec potentiel à partir de ω × E
III. Observabilité à partir de ω × E
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Références
L.Miller, A direct Lebeau-Robbiano strategy for the observability of
heat-like semigroups, Discrete and Continuous Dynamical Systems
Series B 14 (4) (2010) 1465-1485.
V. Mizel , T. Seidman , An abstract 'bang-bang principle' and time
optimal boundary control of the heat equation, SIAM J. Control
Optim. 35 (1997) 1204-1216.
K. D. Phung, G. Wang , Quantitative unique continuation for the
semilinear heat equation in a convex domain, Journal of Functional
Analysis 259 (5) (2010) 1230-1247.
G. Wang, L∞ -null controllability for the heat equation and its
consequences for the time optimal control problem, SIAM J. Control
Optim. 47 (2008) 1701-1720.
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Résultat connu
Soit Ω un domaine borné régulier de Rn, ω ⊂ Ω. Étant données
yo ∈ L2 (Ω) et M > 0, si y ∗ , 1|]0,T ∗ [ f ∗ est un couple (y, f ) qui
vérie

∂t y − ∆y = 1|ω f
dans Ω × ]0, +∞[ ,




sur ∂Ω × ]0, +∞[ ,
 y=0
y (·, 0) = yo
dans Ω ,


y
(·,
T
)
=
0
dans Ω ,



kf (·, t)kL2 (ω) ≤ M p.p. t ∈ ]0, +∞[ ,
et T ∗ > 0 est le plus
les couples (y, f ), alors
petit des temps possibles
kf ∗ (·, t)kL2 (ω) = M
De plus, y ∗ , 1|]0,T ∗ [ f ∗ est unique.
p.p. t ∈ ]0, T ∗ [ .
parmi tous
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Nouveau résultat
Soit Ω un domaine borné convexe ou étoilé de Rn , ω ⊂ Ω, T > 0,
2
a ∈ L∞ (Ω × ]0,
T [). Étant données yo ∈ L (Ω) et M > 0, si
∗
∗
y , 1|]τ ∗ ,T [ f est un couple (y, f ) qui vérie

∂t y − ∆y + a (x, t) y = 1|ω f




 y=0
y (·, 0) = yo


y (·, T ) = 0



kf (·, t)kL2 (ω) ≤ M
et τ ∗ ∈ [0, T [ est le plus grand
tous les couples (y, f ), alors
kf ∗ (·, t)kL2 (ω) = M
De plus, y ∗ , 1|]τ ∗ ,T [ f ∗ est unique.
dans Ω × ]0, T [ ,
sur ∂Ω × ]0, T [ ,
dans Ω ,
dans Ω ,
p.p. t ∈ ]0, T [ ,
des temps possibles
p.p. t ∈ ]τ ∗ , T [ .
parmi
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Preuve par contradiction
Si kf ∗ (·, t)kL2 (ω) = M p.p. t ∈ ]τ ∗ , T [ faux,
alors ∃ ε > 0 et E ⊂ ]τ ∗ , T [ , |E| > 0 tel que
kf ∗ (·, t)kL2 (ω) ≤ M − ε p.p. t ∈ E .
But : Contradiction avec l'optimalité de τ∗
i.e., construction du couple z, 1|]τ ∗ +δ,T [ v solution de

∂t z − ∆z + az = 1|ω×]τ ∗ +δ,T [ v




 z=0
z (·, 0) = yo


z (·, T ) = 0



kv (·, t)kL2 (ω) ≤ M
dans Ω × ]0, T [ ,
sur ∂Ω × ]0, T [ ,
dans Ω ,
dans Ω ,
p.p. t ∈ ]0, T [ ,
pour un petit δ > 0 avec E ⊂ ]τ ∗ + δo , T [ pour un δo > 0
susamment petit.
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Contrôle exact et coût
Pour tout yo ∈ L2 (Ω), il existe un contrôle f ∈ L∞ (ω × E) tel
que l'unique solution y de

 ∂t y − ∆y + ay = 1|ω×E f
y=0

y (·, 0) = yo
dans Ω × ]0, T [ ,
sur ∂Ω × ]0, T [ ,
dans Ω ,
vérie
y (·, T ) = 0 et
kf kL∞ (ω×E) ≤ CT,a kyo kL2 (Ω) .
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Inégalité d'observabilité

dans Ω × ]0, T [ ,
 ∂t u − ∆u + au = 0
u=0
sur ∂Ω × ]0, T [ ,

2
u (·, 0) = uo ∈ L (Ω) ,
ku (·, T )kL2 (Ω) ≤
2
2
CeC/T eC (T kak∞ +T kak∞ )
Z Z
ω
E
|u (x, t)| dxdt .
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Preuve
Etape I. Observation en un point en temps
→ici Ω convexe ou étoilé
→inégalité d'interpolation polynomiale , paramètre ε > 0
Etape II. Propriété de mesure positive, E ⊂ ]0, T [ et |E| > 0
→Construction d'une suite de points {`n }n≥1 liée à E
→dépendante du paramètre z > 1
Etape III. Choix des paramètres: ε et z
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Observation en un point en temps
Z
2
2
|u (x, t)|2 dx ≤ CeC/t eC (T kak∞ +T kak∞ )
Ω
1−α Z
α
Z
2
2
|u (x, 0)| dx
|u (x, t)| dx
Ω
ω
ku (·, t)kL2 (Ω) ≤ ε ku (·, 0)kL2 (Ω)
2
2
1
+ γ CeC/t eC (T kak∞ +T kak∞ ) ku (·, t)kL1 (ω)
ε
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Propriété de mesure positive
Soient T > 0 et E ⊂ ]0, T [ un ensemble de mesure strictement
positif. Soit L un point de densité pour E . Alors, il existe
`1 ∈ ]L, T [ tel que pour tout z > 1, la suite {`n }n≥1 décroissante
dénie par
`n+1 = L +
1
zn
(`1 − L)
converge vers L et vérie
1
3
|`n − `n+1 | ≤ |E ∩ ]`n+1 , `n [| ≤ |`n − `n+1 | .
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Application 1/2
Avec 0 < `n+2 < `n+1 ≤ t ≤ `n < T ,
ku (·, t)kL2 (Ω) ≤ ε ku (·, `n+2 )kL2 (Ω)
2
2
1
+ γ CeC/(t−`n+2 ) eC (T kak∞ +T kak∞ ) ku (·, t)kL1 (ω)
ε
On rappelle que e−T kak∞ ku (·, `n )kL2 (Ω) ≤ ku (·, t)kL2 (Ω) .
On intègre sur E ∩ ]`n+1 , `n [
|E ∩ ]`n+1 , `n [| e−T kak∞ ku (·, `n )kL2 (Ω)
≤ |E ∩ ]`n+1 , `n [| ε ku (·, `n+2 )kL2 (Ω)
Z
2
2
C
+ γ eC/(`n+1 −`n+2 ) eC (T kak∞ +T kak∞ )
ku (·, t)kL1 (ω) dt
ε
E∩]`n+1 ,`n [
I: Bang-Bang
II: Contrôle exact
II: Observabilité
Application 2/2
On utilise `n
h
−C
εγ e
1
z n+2
`1 −L z(z−1)
i
T kak∞ +T 2 kak2∞
≤ eC (
h
−C
εγ+1 e
ku
Z (·, `n )kL2 (Ω) −
)
ku (·, t)k
E∩]`n+1 ,`n [
On pose d = C
h
1
1
`1 −L z(z−1)
On choisit ε = e−dz
n+1
i
z n+2
1
`1 −L z(z−1)
i
ku (·, `n+2 )kL
L1 (ω) dt
.
et (γ + 1) z 2 = (γ + 2)
n
n+2
−d(γ+2)z
e−d(γ+2)z ku (·, `n )k
ku (·, `n+2 )kL2 (Ω)
Z L2 (Ω) − e
2
2
≤ eC (T kak∞ +T kak∞ )
ku (·, t)kL1 (ω) dt
E∩]`n+1 ,`n [
On choisit n = 2m et on fait la somme pour m = 1 jusqu'à l'inni.
http://freephung.free.fr/kimdang/pub.html
MERCI!