ELCIN_20 Filtrage d une tension triangulaire par un passe bande

G.P.
Sujet colle électrocinétique
ÉLECTROCINÉTIQUE
CHAP
00
Filtrage d'une tension triangulaire
par un passe-bande
On considère un filtre de fonction de transfert :
f 0=2kHz et de coefficient de qualité Q=10 .
H  j =
1
 
de fréquence
1 j Q  − 0 
0 
1. Déterminer la nature du filtre
2. Tracer le diagramme de Bode.
On envoie sur ce filtre une tension triangulaire variant entre 0 et E 0 de fréquence f e avec
E 0=10 V .
e(t)
t
3.
f e =2kHz . Déterminer le signal de sortie
f e =20kHz . En utilisant le comportement intégrateur ou dérivateur du filtre, interpréter la
4.
forme du signal de sortie et calculer son amplitude crête à crête.
f e =100Hz . Quel est en théorie le comportement du filtre pour cette fréquence ? Que
5.
vaudrait alors le signal de sortie ? En considérant l’équation différentielle du filtre, interpréter la
forme du signal observé.
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Sujet colle électrocinétique
G.P.
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Corrigé
1) Si 0 ,
si  ∞ ,
(et si =0
H 0 ,
H 0
H =1 ).
Il s'agit d'un filtre passe-bande.
-----------------------------------2) Les asymptotes sont G dB=−20 log Q±20 log  x  .
On aussi G dB  x=1=0 dB .
D'où le tracé rapide mettant en évidence l'existence de la résonance.
G dB
1
0,1
10
x
(log)
-20
-40
-----------------------------------3) Le signal se décompose en série de Fourier:
tension continue de valeur
E 0 /2
harmonique 1 ou fondamental de fréquence
fe
puis autres harmoniques -impairs uniquement- de fréquences 3 f e ,5 f e ...etc.
Le filtre passe-bande est très sélectif (cf
récupère ici que cette fréquence.
Q=10 ), centré sur la fréquence f 0= f e ,on ne
Le fondamental du signal d'entrée est (cf Fourier. Faire le calcul):
e fondamental :=−4
avec 4
E0
2
E0
cos 2  f e t
=4,1 V
2

ici s=H = e ×e fondamental =e fondamental .
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L'amplitude du signal de sortie est donc de 4,1 V .
-----------------------------------4) A nouveau, le continu est éliminé.
Le
fondamental
a
pour
fréquence f e =10 f 0 et
les
harmoniques
suivants
3 f e =30 f 0, 5 f e =50 f 0 ...etc. Pour tous ces composantes, on se trouve quasiment sur
l'asymptote haute fréquence du diagramme de Bode donc pour un harmonique quelconque de
pulsation  , avec p= j  :
s harmonique  0
≈
e harmonique p Q
e harmonique =
Q
p s harmonique
0
e harmonique =
Q d s harmonique
0
dt
L'entrée est la dérivée de la sortie (à un facteur près). La sortie est donc une primitive de l'entrée
et ceci sera donc vrai pour le signal total (sauf le continu).
d s t=
0
e t partie alternative dt
Q
0 t
s t−s t=0=
∫ e t '  partie alternative dt '
Q t=0
e(t)partie alternative
s(t)
E0 /2
t
- E0 /2
On peut comprendre que les extremums de s t (cf le signe de l'aire s'inverse) sont les points où
e t =0 d'où le choix pour le tracé de s t en régime permanent en t=0 .
Le signal de sortie est une suite d'arcs de paraboles (cf: intégrale de triangles).
On peut trouver s MAX =scrête à crête /2 en intégrant entre t=0 et t=T / 4 , on obtient:
Te / 4
s

E
t'
− cc −0= 0 ∫ − 0 1−4 dt '
2
Q t =0 2
Te
s cc 0 1 E 0 T e
=
2 Q 2 2 4
(cf:
0
×surface triangle ).
Q
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Finalement
s cc =
 E0 f 0 
= =0,08V
Q 4 f e 40
Le signal obtenu (cf on n'est pas du tout dans la bande passante ) est très faible.
-----------------------------------5) A nouveau, le continu est éliminé.
Pour le fondamental de fréquence f e = f 0 /20 et les harmoniques suivants 3 f e ,5 f e jusque
19 f e , on se trouve « presque » sur l'asymptote basse fréquence du diagramme de Bode donc
pour un harmonique quelconque de pulsation  :
s harmonique
p
≈
e harmonique Q  0
s harmonique =
s harmonique =
1
p e harmonique
Q 0
1 d e harmonique
Q 0
dt
La sortie serait donc la dérivée de l'entrée ( à un facteur près) si on se limite aux premiers
1
harmoniques (les plus importants puisque l'amplitude est en
pour un triangle).
n2
e(t)partie alternative
s(t)
E0 /2
t
- E0 /2
Le signal de sortie est un signal rectangle.
On peut trouver s MAX =scrête à crête /2 en dérivant entre t=0 et t=T / 2 le signal d'entrée:
e t =−
E0
t
1−4 
2
Te
on obtient:
s cc
1 E0 4
=
2 Q 0 2 T e
s cc =
2 E0 f e
=0,032V
Q f 0
Ici aussi le signal obtenu (cf on ne se trouve pas, pour la plupart des harmoniques, dans la bande
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passante ) est très faible.
En fait, les harmoniques 19 f e et 21 f e bien que faibles sont amplifiés fortement car proches
de la résonance...et notre approximation qui consiste à ne tenir compte que des premiers
harmoniques est simpliste ici. Finalement, on observe dans le signal prévu des oscillations
amorties de fréquence voisine de f 0=20 f e .
Pour étudier le signal mieux vaut revenir à l'équation différentielle(au lieu de décomposition de
Fourier). On retrouve l'équation différentielle:
H=
s
=
e
1
 
1 j Q − 0 
0 
1

p
1Q Q 0
0
p
sQ

p
sQ 0 s=e
0
p
2
p sQ
p 2 s
p
sQ 0 s= p e
0
0

p s 20 s= 0 p e
Q
Q
d'où l'équation différentielle cherchée:
 d e t 
d 2 s t 0 d s t 

20 s t= 0
2
Q dt
Q dt
dt
Si on résout entre t=0 et t=T e /2 :
 E
d 2 s t  0 d s t 

20 s t= 0 2 0
2
Q dt
Q Te
dt
équation différentielle:
s cc
1 E0 4
=
2 Q 0 2 T e
•
dont la solution particulière redonne la solution précédente s=
•
et dont la solution générale sans second membre donne des oscillations amorties (qui
s'effectueront autour de la solution particulière précédente) de pseudopulsation
1
= 0 1−
proche de la pulsation de résonance du filtre (cf: résoudre l'équation
4 Q2
caractéristique)
