Mines Maths 2 MP 2004 — Corrigé

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Mines Maths 2 MP 2004 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Lyon) ; il a été relu par Paul
Pichaureau (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE).
Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants.
Le premier problème est consacré à l’étude des principales propriétés des fonctions
harmoniques (fonctions de deux variables réelles dont le laplacien est nul). Après avoir
donné quelques exemples de fonctions harmoniques sur R2 , on démontre trois grandes
propriétés de ces fonctions :
• Le principe du maximum, qui affirme qu’une fonction harmonique sur un ouvert
et continue sur l’adhérence de cet ouvert atteint son maximum sur son bord.
Cette propriété n’est démontrée que dans le cas où l’ouvert est un disque.
• La propriété de la moyenne, qui affirme que si f est harmonique sur R2 ,
alors pour tout point (x0 , y0 ) de R2 et pour tout r > 0 :
Z
1
f = f (x0 , y0 )
2π C((x0 ,y0 ),r)
• Enfin, le fait que les fonctions harmoniques sur R2 et bornées sont constantes.
La difficulté de ce problème porte davantage sur la diversité des notions abordées
que sur la technicité des questions. C’est un excellent problème de synthèse qui aborde
toutes les notions d’analyse au programme.
Le second problème porte sur les difféomorphismes de R2 . Étant donnés n points
distincts (A1 , A2 , . . . , An ) et n autres points distincts (A′1 , A′2 , . . . , A′n ), on montre
l’existence d’un C ∞ -difféomorphisme de R2 envoyant Ai sur A′i pour tout i.
Ce problème demande plus d’initiative et de maîtrise technique que le premier.
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Indications
Problème I
y
3 On peut poser α = .
x
P
4 Montrer la convergence normale de la série de fonctions un
K
.
5 Montrer la convergence normale sur tout compact des séries de fonctions de terme
∂ 2 un ∂ 2 un ∂ 2 un
∂un ∂un
,
, puis celles de terme général
,
,
pour montrer
général
∂x
∂y
∂x2
∂y 2 ∂x∂y
2
que ϕ est de classe C , et enfin calculer le laplacien de ϕ.
7 Utiliser le fait que (ap , bp ) est un maximum local de la fonction x 7→ fp (x, bp )
et de la fonction y 7→ fp (ap , y).
9 Remarquer que le maximum de f respectivement sur D et sur C est atteint
respectivement en des (x0 , y0 ) et en (x1 , y1 ) puis comparer fp (x0 , y0 ) et fp (x1 , y1 ).
10 Calculer le maximum de f − g et de g − f .
13 Remarquer que (ρ cos θ, ρ sin θ) est un paramétrage du cercle de rayon ρ.
14 Utiliser le fait que la forme différentielle trouvée à la question précédente est
exacte.
15 Intégrer en coordonnées polaires. Commencer par intégrer en θ, utiliser la question
précédente, puis intégrer en r.
16 Faire un dessin de la situation décrite dans l’énoncé.
17 Majorer |f (x0 , y0 ) − f (0, 0)| en fonction d’une intégrale de |f | sur la différence
symétrique de deux disques de rayon r. Utiliser la question précédente, puis faire
tendre r vers +∞.
Problème II
18 Raisonner par récurrence sur n.
2M
P
22 Montrer que si |λ| <
, alors θλ,r
est un C ∞ -difféomorphisme.
r
24 Utiliser la question précédente pour construire une suite finie de points Pk
Pi
du segment [BB′ ] tels que θλ,r
(Pi ) = Pi+1 et qui laisse les points Ai invariants.
25 Il y a une erreur d’énoncé : il ne s’agit pas de trouver un endomorphisme, mais
bien un difféomorphisme.
26 Distinguer les points Ai appartenant au segment [BB′ ] des autres. La question 24
permet de construire un difféomorphisme échangeant deux points consécutifs du
segment et laissant les autres points invariants. Si on numérote les points de ce
segment de 1 à n, ce difféomorphisme s’apparente d’un point de vue algébrique
à la transposition (i, i + 1). Le problème qui se pose est donc de construire la
transposition (1, n) à partir des transpositions (i, i + 1).
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I.
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Fonctions harmoniques
1 La fonction f est de classe C 2 ; calculons ses dérivées secondes :
∂2f
(x, y) = e x+iy
∂x2
∂2f
(x, y) = i2 e x+iy = −e x+iy
∂y 2
et
d’où
∆f = 0
Pour tout n ∈ N, la fonction gn est une fonction polynôme, donc elle est
de classe C 2 . Pour tout n, on a
∂ 2 gn
(x, y) = n(n − 1)(x + iy)n−2
∂x2
∂ 2 gn
(x, y) = i2 n(n − 1)(x + iy)n−2 = −n(n − 1)(x + iy)n−2
∂y 2
et
d’où
∆gn = 0
On en déduit
∀n ∈ N
∆gn = 0
p
2 Comme suggéré par l’énoncé, on pose r = x2 + y 2 . On introduit également
p
la fonction re définie sur R2 par re(x, y) = x2 + y 2 .
On pourrait, comme on le fait souvent, confondre la variable r et le changement de variable re (qui est une fonction), et ce sans être pénalisé lors de
la correction. Il peut cependant être de bon ton de faire cette différence,
notamment dans les premières questions d’un problème.
On pose
h(x, y) = u ◦ re (x, y)
En tant que composée de fonctions de classe C 2 , h est de classe C 2 sur R2 r {0},
et on peut écrire
∂e
r ′
∂h
=
u ◦ re
∂x
∂x
2
∂2h
∂ 2 re ′
∂e
r
ainsi que
=
u
◦
r
e
+
u′′ ◦ re
2
2
∂x
∂x
∂x
et de même pour les dérivées par rapport à y. On trouve alors
−−→
∆h = ∆e
r u′ ◦ re + kgrad rek2 u′′ ◦ re
Calculons à présent les dérivées partielles de re :
∂e
r
x
(x, y) = p
∂x
x2 + y 2
p
∂ 2 re
1
x
y2
2 + y2 − x p
(x,
y)
=
x
=
2
2
2
3/2
∂x
x +y
x2 + y 2
(x2 + y 2 )
Et par symétrie, on trouve les dérivées partielles par rapport à y :
∂e
r
y
(x, y) = p
2
∂y
x + y2
et
∂ 2 re
x2
(x,
y)
=
3/2
∂y 2
(x2 + y 2 )
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−−→
kgrad rek2 = 1
On en déduit
∆e
r=
On trouve alors
∆h(r) =
1
re
1 ′
u (r) + u′′ (r)
r
Posons I = ] 0 ; +∞ [. Il vient
h est harmonique
h est harmonique
Enfin
h est harmonique
⇐⇒
∆h = 0
⇐⇒
∀r ∈ I
⇐⇒
∀r ∈ I
⇐⇒
∀r ∈ I
⇐⇒
∃A ∈ R
1 ′
u (r) + u′′ (r) = 0
r
u′ (r) + r u′′ (r) = 0
d
(ru′ (r)) = 0
dr
A
∀r ∈ I
u′ (r) =
r
∃(A, B) ∈ R2
⇐⇒
u(r) = A log(r) + B
3 Sur R2 r (y ′ Oy), si ν est de classe C 2 , alors la fonction k qui a été définie par
k(x, y) = ν(y/x) est de classe C 2 . On pose
y
y
α
e : (x, y) 7→
et
α=
x
x
On trouve alors, d’après la question précédente,
−−→ 2 ′′
∆k = ∆e
α u′ ◦ α
e + kgrad α
ek u ◦ α
e
Il reste alors à évaluer les dérivées partielles de α
e:
∂α
e
y
(x, y) = − 2
∂x
x
∂α
e
1
(x, y) =
∂y
x
−−→ 2
y2
1
kgrad α
ek = 4 + 2
x
x
2y
∆e
α= 3
x
On en déduit
Par suite
∂2α
e
2y
(x, y) = 3
∂x2
x
∂2α
e
(x, y) = 0
∂y 2
k est harmonique
∆k = 0
2y ′ y y 2 ′′ y 1 ′′ y ⇐⇒
ν
+
ν
+
ν
=0
x3
x
x4
x
x2
x
y
2y ′ y y2
k est harmonique ⇐⇒
ν
+ 1 + 2 ν ′′
=0
x
x
x
x
On a alors k est harmonique ⇐⇒ 2αν ′ (α) + 1 + α2 ν ′′ (α) = 0
d
⇐⇒
1 + α2 ν ′ (α) = 0
dα
A
k est harmonique ⇐⇒ ∃A ∈ R
ν ′ (α) =
1 + α2
Conclusion :
k est harmonique
⇐⇒
⇐⇒
∃(A, B) ∈ R2
ν(α) = A Arctan (α) + B
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