Corrigé de l`Examen de Méthodes Quantitatives II

Corrigé de l’Examen de Méthodes Quantitatives II - Statistique (Jan. 06)
1). Sachant que la population totale de l’Etat de Fantasia s’élève à 3000 habitants, que 65% de ceux-ci ont
introduit une déclaration de revenus imposables auprès de l’administration des contributions de cet Etat en 2004,
que le revenu moyen imposable par déclaration est de 7500 dollars fantasiais, donnez la valeur du revenu total
imposable ?
Nombre d’habitants ayant introduit une déclaration de revenus imposables :
3000 * 0.65 = 1950
Revenu total imposable :
1950 * 7500 = 14 625 000
2). Une connaissance me propose de lui racheter son téléphone portable. Il est quasiment neuf. Elle l’a acheté il y
a quelques jours seulement. Le prix proposé est très avantageux car malheureusement, me dit cette connaissance,
elle a égaré les documents nécessaires à la garantie. Une étude récente, menée par une association de
consommateurs, a montré que 5% des téléphones portables vendus sur le marché pouvaient être considérés
comme défectueux. La défectuosité aboutit, dans 65% des cas, à des interruptions d’alimentation et à la perte de
données et ce, endéans les trois premiers mois d’utilisation. L’événement est aussi possible pour ce qui concerne
les téléphones reconnus non défectueux mais est nettement moins fréquent, avec une probabilité de 0.1%. Dans
le mois qui suit le rachat du téléphone, je perds toutes les informations stockées dans la mémoire de celui-ci.
Quelle est la probabilité que le téléphone acheté ainsi d’occasion ne fasse cependant pas partie des téléphones
défectueux ?
Pr(Panne/Défectueux) = 0.05 * 0.65 = 0.0325
Pr(Panne/OK) = 0.95 * 0.001 = 0.00095
Pr(Panne) = 0.00095 + 0.0325 = 0.03345
Sachant que le téléphone est tombé en panne, Pr(OK/Panne) = 0.00095 / 0.03345 = 0.0284005
La probabilité que le téléphone tombé en panne n’ait pas fait partie des téléphones défectueux est de 2.84%.
3). Un haras de la région de Bordeaux a pu calculer que le poids des chevaux, mesuré à leur âge adulte, est
distribué normalement avec une moyenne de 480 kg et un écart type de 40 kg.
a). Quelle est la probabilité qu’un cheval adulte pris au hasard ait un poids inférieur à 460 kg ?
z = (460 – 480) / 40 = -0.5
Voir la table IV (p. 874 Wonnacott), par symétrie, on obtient 0.309.
La probabilité qu’un cheval adulte pris au hasard ait un poids inférieur à 460 kg est de 0.309.
b). Pour le transport des chevaux, le haras utilise habituellement un camion dont la charge utile maximale est de
4,9 tonnes. Quelle est la probabilité que le camion soit en surcharge lorsqu’il transporte 10 chevaux ? Et 11 ?
Charge utile maximale = 4900 kg soit si 10 chevaux, charge moyenne autorisée = 490 kg et si 11 chevaux,
445.45 kg.
Pour 10 chevaux, z = (490 – 480) / (40 / √10) = 0.79, ce qui donne une probabilité de 0.215 dans la table IV.
Pour 11 chevaux, z = (445.45 – 480) / (40 / √11) = -2.86. 2.86 donne une probabilité de 0.002 dans la table IV.
Par symétrie, on a donc une probabilité de 1 – 0.002 = 0.998 d’être en surcharge avec 11 chevaux.
4). Vous disposez des informations suivantes. Une petite ville compte 1200 appartements. Parmi ceux-ci, 340
comportent trois chambres ; 500, deux chambres et le restant, une chambre.
Les 1200 appartements sont numérotés de 1 à 1200.
n = 1200, n 3ch. = 340, n 2ch. = 500, n 1ch. = 360
a). On tire un numéro au hasard. Quelle est la probabilité que le numéro corresponde à un appartement
comportant une chambre ?
Pr(1ch) = 360 / 1200 = 0.3
b). Cinq numéros sont tirés au hasard. Un même numéro peut être tiré plusieurs fois (remise). Quelle est la
probabilité de ne tirer aucune fois un numéro correspondant à un appartement comportant une chambre ?
Table IIIb de la binomiale : n = 5, s = 0, π = 0.3 donne une probabilité de 0.168
Ou en utilisant la formule 4-8 (p. 131) : 0.75 = 0.16807.
c). Sachant que, d’une part, 1070 appartements sont loués et que 130 appartements sont occupés par leur
propriétaire et, d’autre part, près d’un tiers des appartements loués comportent une chambre, quelle est la
probabilité qu’un appartement pris au hasard parmi les appartements d’une chambre soit loué ?
Nombre d’appartements d’une chambre loués :
(1/3) * 1070 = 356 (arrondi inférieur étant donné l’énoncé)
La probabilité qu’un appartement d’une chambre soit loué est : 356 / 360 = 0.98888… soit 99%.
d). Evaluez le nombre d’appartements d’une chambre occupés par leur propriétaire.
360 – 356 = 4
5). Un viticulteur bourguignon est sur le point d’acquérir un nouveau terrain couvert de vignes. Le poids des
grappes de raisin de ce dernier est-il comparable au poids des grappes de raisin du terrain adjacent dont il a déjà
fait l’acquisition trois ans auparavant ?
Pour s’en assurer, le viticulteur prélève au hasard quelques grappes au moment des vendanges et les pèse ensuite
immédiatement. Voici les résultats obtenus.
Terrain convoité, poids (en grammes) des grappes de raisin
250
253
237
246
251
238
245
240
Terrain acquis il y a trois ans, poids (en grammes) des grappes de raisin
254
248
250
245
245
239
251
240
X A = 245, (X - X A )² = 264 et µB = 246.5, (X – X B )² = 194
a). Compte tenu de ces informations, pouvez-vous aider le viticulteur et trancher statistiquement la question qu’il
se pose ? Répondez à la question en établissant le test d’hypothèse adéquat. Interprétez-le résultat de vos calculs.
H0 : pas de différences de poids entre les 2 terrains, soit 0
s²p = (264 + 194) / (7 + 7) = 32.71 et donc sp = 5.72
X A – X B = 1.5
t=
(X A − X B ) − H0
sp
1
1
+
n A nB
On obtient donc pour valeur de la statistique en t : (1.5 – 0) / (5.72 * 0.5) = 0.524
En considérant 14 degrés de liberté dans la table V, la t critique à comparer à la t obtenue par le test vaut 2.14.
On ne peut donc rejeter l’hypothèse nulle et doit donc considérer qu’il n’y a pas de différences significatives.
b). Auriez-vous pu parvenir à une réponse semblable en considérant un intervalle de confiance pour la différence
de moyennes ? Construisez-le et interprétez-le en ce sens.
IC = ( X A − X B ) ± t 0.025 sp
1
1
+
n A nB
IC : 1.5 ± (2.14 * 5.72 * 0.5) = 1.5 ± 6.1204
Soit : [-4.6204 ; 7.6204]
Le 0 se trouvant à l’intérieur de l’intervalle de confiance, on ne peut rejeter l’hypothèse nulle.