Limites de fonctions
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Limites de fonctions
Limites de fonctions A. Limite infinie quand x tend vers l'infini 1- Définitions Dire qu'une fonction f a pour limite + en +, signifie que tout intervalle ]A; + [ avec A réel, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note : lim f x= . x Sur la figure, on a f(x) > A dès que x > x0. Dire qu'une fonction f a pour limite - en +, signifie que tout intervalle ]-; A[ avec A réel, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note : lim f x= . x Sur la figure, on a f(x) < A dès que x > x0 Enfin, on a lim f x= lorsque lim f x = , x x et lim f x= lorsque lim f x = . x x 2- Exemples à retenir lim x= . x Soit A un réel positif. Pour tout réel x assez grand, ici supérieur à A, tous les f(x) se trouvent dans ]A; + [. 2 lim x = . x KB 1 sur 7 Soit A un réel positif. Pour que x² > A, il suffit que x > A . Donc pour tout réel x assez grand, ici supérieur à A , tous les f(x) se trouvent dans ]A; + [. lim x x = . Soit A un réel positif. Pour que x A , il suffit que x > A². Donc pour tout réel x assez grand, ici supérieur à A², tous les f(x) se trouvent dans ]A; + [. lim e x = . x Soit A un réel positif. Nous avons montré que la fonction exponentielle est croissante et que pour tout réel x, ex > x. Pour que ex > A, il suffit que x > A, car, alors, ex > eA > A. Donc pour tout réel x assez grand, ici supérieur à A, tous les f(x) se trouvent dans ]A; + [. 3- Théorèmes de comparaison à l'infini lim g x= et si pour x assez grand f(x) g(x), alors lim f x= . Si x x lim g x= et si pour x assez grand f(x) g(x), alors lim f x= . Si x x Démonstration Soit A un réel. Pour x assez grand on a à la fois g(x) ]A; +[ et f(x) g(x), on en déduit que lim f x= . f(x) ]A; + [, donc que x 4- Limite de x n Soit n un entier naturel non nul : n 1. lim x = . x n lim x n= , mais si n est impair, lim x = . 2. Si n est pair, x x Démonstration lim x= on a lim x n= . On sait que pour n > 0 et x > 1, xn x. Comme x x n n n lim x = lim x = lim x = . Si n est pair, (-x) = x , donc x x x n n lim x n= lim xn = lim x n = Si n est impair, (-x)n = - xn, donc x x x B. Limite finie quand x tend vers l'infini 1- Définition Soit l un réel. Dire qu'une fonction f a pour limite l lorsque x tend vers + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note : lim f x=l . x KB 2 sur 7 On dira que lim f x=l lorsque lim f x =l . x x 2- Unicité de la limite Si lim f x=l , alors la limite l est unique. x Démonstration En effet, supposons qu'il existe deux limites distinctes l1 et l2. On peut alors définir un intervalle ]a1, b1[ contenant l1 et un intervalle ]a2, b2[ contenant l2 et tels que l'intersection de ]a1, b1[ et ]a2, b2[ soit vide. D'après la définition de la limite, pour x assez grand, toutes les valeurs de f (x) devraient se trouver dans ]a1, b1[ et dans ]a2, b2[. C'est impossible puisque l'intersection de ces intervalles est vide. On en déduit qu'il ne peut pas exister deux limites distinctes l1 et l2 et que l est donc unique. 3- Exemples à retenir 1 =0 x x Soit ]a ; b[ un intervalle ouvert contenant 0; on a donc a < 0 < b. Pour que f(x) soit dans 1 l'intervalle ]a ; b[, il suffit que a < < b. x 1 1 Pour x positif, >0, donc > a. x x 1 1 D'autre part, toujours avec x positif, on a < b est équivalent à x > . x b 1 Pour x assez grand, ici x > , on a donc f (x) contenu dans l'intervalle ]a ; b[. b lim f x = , alors lim 1 = 0 . Si x x f x Soit ]a ; b[ un intervalle ouvert contenant 0; on a donc a < 0 < b. lim f x = , pour x assez grand, f (x) > 1 , ce qui est équivalent à 1 b ; Comme x f x b 1 1 d'autre part comme f (x) > , on a f (x) > 0, donc > 0 > a. Ainsi, pour x assez grand, f x b 1 b . on a bien a f x lim e x =0 lim x x x en effet lim e = lim e = lim x KB 3 sur 7 x x 1 =0 x e 4- Théorème des gendarmes Soient f, g, h trois fonctions et L un réel. Si lim g x=L et lim h x =L et si pour x assez grand g(x) f(x) h(x), alors x x lim f x= L . x Démonstration Soit I un intervalle contenant L. Pour x assez grand on a à la fois g(x) I, h(x) I et g(x) f(x) h(x). On en déduit que f(x) I, donc lim f x= L . x Exemple sin3 x . Déterminer sa limite en +. x2 1 1 1 1 Comme -1 sin(3x) 1, on a 2 f x 2 ; or lim 2 =0 et lim 2 =0 . x x x x x x lim f x=0 On en déduit que x . Soit f définie sur * par f x= 5- Asymptotes horizontales ou obliques Dans le plan muni d'un repère, on appelle Cf la courbe représentative d'une fonction f et la droite d'équation y = ax + b. Soient M et N les points d'abscisse x qui se trouvent respectivement sur Cf et sur . On dit que la droite est une asymptote de la courbe Cf en + si la distance MN tend vers 0 lorsque x tend vers +. On définit de la même façon les asymptotes en . M N x a) Asymptotes horizontales Si lim f x=l , alors la droite d'équation y = l est une asymptote horizontale en + à la x coube représentative de f. b) Asymptotes obliques S'il existe deux réels a et b tels que lim f x axb =0 , alors la droite d'équation x y = ax+b est une asymptote en + à la courbe représentative de f. En particulier, si f(x) = ax + b + (x) avec lim x=0 , alors la droite d'équation y = ax+b est x une asymptote en + à la courbe représentative de f. KB 4 sur 7 C. Limites quand x tend vers un réel a 1- Cas où f est définie en a Si f est une fonction dérivable en un réel a, alors Par exemple, si f (x) = x² 2x, alors lim f x x 4 lim f x = f a x a . = 4² 8 = 8. 2- Limite finie quand x tend vers une valeur interdite Si f (x) devient aussi proche d'un réel l qu'on le souhaite lorsque x est suffisamment proche de la valeur interdite a, on dit que la fonction f a pour limite l lorsque x tend vers a et on note lim f x =l . x a Résultats à connaître x sin x lim =1 et lim e 1 =1 . x x 0 x x0 Démonstrations : sin x sin xsin0 sin x donc lim est le nombre dérivé de la fonction sin(x) en 0. = x x0 x x0 sin x = cos 0=1 . On en déduit que lim x x0 e x 1 e x e 0 donc e x 1 est le nombre dérivé de la fonction ex en 0. On en déduit = lim x x0 x x0 x e 1 0 que lim =e =1 . x x0 3- Limite infinie quand x tend vers une valeur interdite Si f (x) peut prendre des valeurs aussi grandes qu'on le souhaite lorsque x est suffisamment proche de la valeur interdite a, on dit que la fonction f a pour limite + lorsque x tend vers a lim f x = et on note x a . Sur la figure, on a f(x) > A dès que x est assez proche de a. Il est parfois nécessaire de distinguer les cas où x tend vers a par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures. On note alors lim f x = ou lim f x= , on distingue une limite à droite et une limite à gauche. x a KB 5 sur 7 + - x a Asymptotes verticales Si lim f x= ou lim f x= , alors la droite d'équation x=a est une asymptote x a x a verticale à la la courbe représentative de f. Résultats à connaître 1 1 lim = et lim = . x a xa x a xa 1 lim = 2 x a x a + - D. Limites et opérations 1- Sommes L ± + - + + - - L1+L2 ± + - ??? limite de f L1 limite de g L2 limite de f+g 2- Produits limite de f L1 limite de g L2 limite de fg ± L0 ± ± 0 ± L1L2 ± (règle des signes) ± (règle de signes) ??? ± L0 ± 0 L ± 0+ ou 0± ± 0 ??? ??? 3- Quotients limite de f L1 limite de g L20 L ± limite de f/g L1 / L2 0 (règle des signes) (règle des signes) Remarque 0 On a 4 formes indéterminées qui sont de la forme - , 0 × , et . 0 4- Polynômes et fractions rationnelles En l'infini, la limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré et la limite d'une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Démonstration pour un polynôme de degré 3 3 Soit P(x)=ax3 + bx2 + cx + d avec a 0. Alors P x =ax 1 KB 6 sur 7 b c d 2 3 . ax ax ax Comme lim 1 x 3 b d c 2 3 =1 , on a lim P x = lim ax . x x ax ax ax Exemples 3 2 3 - lim 5 x 2 x 3= lim 5 x = x x 4 x3 4x 4 = lim = lim =0 - lim 2 2 x 5x x x x x 5- Composée de deux fonctions a, b et c désignent des réels ou + ou -. f et g sont des fonctions. Si lim f x =b et lim g X =c , alors lim g ° f x =c . x a X b x a Cette propriété est admise. Elle consiste à faire un changement de variable X = f(x). Exemple Soit f définie sur ]0; +[ par f x= 4 1. x 1 1 On pose X =4 et on a lim 4 =4 . On en déduit que lim 4 1 = lim X =2 . x x x x X 4 x KB 7 sur 7