Matrices

Matrices
Soient V un espace vectoriel de dimension n avec une base E = {~e1 , . . . , ~en },
W un espace vectoriel de dimension p avec une base F = {f~1 , . . . , f~p }, et φ :
V → W une application linéaire.
Pour chaque j (1 ≤ j ≤ n), φ(~ej ) est un vecteur de W qui s’écrit donc comme
combili des vecteurs de la base F. Soient a1j , a2j , . . . , apj les coordonnées du
vecteur φ(~ej ) dans la base F, autrement dit
φ(~ej ) = a1j f~1 + a2j f~2 + · · · + apj f~p
Considérons un vecteur ~v ∈ V . Soient x1 , . . . , xn les coordonnées de ~v dans
la base E (autrement dit ~v = x1 ~e1 + · · · + xn ~en ). Par ailleurs soient y1 , . . . , yp
les coordonnées de φ(~v ) dans la base F, autrement dit
φ(~v ) = y1 f~1 + · · · + yp f~p
Cherchons le lien entre les yi (1 ≤ i ≤ p) et les xj (1 ≤ j ≤ n).
Par linéarité, on a
φ(~v ) = x1 φ(~e1 ) + · · · + xn φ(~en )
on peut développer chaque φ(~ej ) et on a
φ(~v ) = x1 (a11 f~1 + a21 f~2 + · · · + ap1 f~p ) + x2 (a12 f~1 + a22 f~2 + · · · + ap2 f~p )
+ · · · + xn (a1n f~1 + a2n f~2 + · · · + apn f~p )
ensuite en regroupant les termes par f~i on a
φ(~v ) = (x1 a11 + x2 a12 + · · · + xn a1n ) f~1 + · · · + (x1 ap1 + · · · + xn apn ) f~p
Conclusion : pour chaque i (1 ≤ i ≤ p), on a
yi = x1 ai1 + x2 ai2 + · · · + xn ain
Un moyen mnémotechnique de retrouver cette formule consiste à écrire ces
chiffres comme suit :
x1
x2
..
.
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
a1n
a2n
..
.
xn
y1
y2
..
.
ap1
ap2
...
apn
yp
Chaque yi apparaît ainsi comme le « produit » de la ligne à gauche avec la
colonne au-dessus.
1
Le tableau de chiffres





a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
a1n
a2n
..
.
ap1
ap2
...
apn





(avec p lignes et n colonnes) est appelée la matrice de φ relativement aux bases
E et F. On la notera F (φ)E . Noter qu’on écrit la base de départ à droite.
Noter encore que les nombres qui apparaissent dans la j-ème colonne sont les
coordonnées de φ(~ej ) dans la base F.
Avec cette façon d’écrire, les coordonnées de ~v apparaissent verticalement en
une matrice de n lignes et une seule colonne


x1
 .. 
 . 
xn
qu’on notera E (~v ). Le résultat de l’opération est la matrice (à p lignes et une
colonne) des coordonnées de φ(~v ) dans la base F, qu’on notera F (φ(~v )). L’opération s’appelle produit matriciel et s’écrit
v ))
F (φ(~
= F (φ)E E (~v )
Un cas particulier important est celui où φ = id . L’application linéaire id :
V → V est définie par id (~v ) = ~v pour tout ~v ∈ V . Donc dans ce cas-ci E et F
sont deux bases du même espace vectoriel V . La relation ci-dessus devient
v)
F (~
= F (id (~v )) = F (id )E E (~v )
Cette relation exprime le fait que les coordonnées d’un vecteur quelconque ~v
dans la base F s’obtiennent à partir de ses coordonnées de ~v dans la base E par
un produit matriciel avec la matrice F (id )E . C’est pourquoi cette matrice est
appelée matrice de changement de base. Les nombres qui apparaissent dans la
j-ème colonne sont les coordonnées de ~ej dans la base F.
Considérons maintenant un troisième espace vectoriel X de dimension q avec
une base G = {~g1 , . . . , ~gq }, et une deuxième application linéaire ψ : W → X.
Cette application a donc une matrice


b11 . . . b1p
 .
.. 
G (ψ)F =  ..
. 
bq1
...
bqp
Considérons l’application linéaire de V dans X, appelée composée de φ avec
ψ, qu’on note ψ ◦ φ (noter que la première application s’écrit à droite), définie
par
(ψ ◦ φ)(~v ) = ψ(φ(~v ))
Cette application linéaire a une matrice

c11
 ..
(ψ
◦
φ)
=
 .
G
E
...
cq1
...
2

c1n
.. 
. 
cqn
Cherchons le lien entre les matrices de φ, ψ et ψ◦φ. On sait que dans la j-ème
colonne de la matrice G (ψ ◦ φ)E , on doit trouver les coordonnées de (ψ ◦ φ)(~ej )
dans la base G. Or
(ψ ◦ φ)(~ej ) = ψ(φ(~ej ))
= ψ(a1j f~1 + · · · + apj f~p )
= a1j ψ(f~1 ) + · · · + apj ψ(f~p )
= a1j (b11~g1 + · · · + bq1~gq ) + · · · + apj (b1p~g1 + · · · + bqp~gq )
= (b11 a1j + · · · + b1p apj ) ~g1 + · · · + (bq1 a1j + · · · + bqp apj ) ~gq
Conclusion : pour chaque i (1 ≤ i ≤ q) et j (1 ≤ j ≤ n) on a
cij = bi1 a1j + bi2 a2j + · · · + bip apj
Le moyen mnémotechnique de retenir cette formule est d’écrire
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
a1n
a2n
..
.
b11
b21
..
.
b12
b22
..
.
...
...
b1p
b2p
..
.
ap1
c11
c21
..
.
ap2
c12
c22
..
.
...
...
...
apn
c1n
c2n
..
.
bq1
bq2
...
bqp
cp1
cq2
...
cqn
Chaque cij apparaît ainsi comme le « produit » de la ligne à gauche avec la
colonne au-dessus.
Cette opération s’écrit
G (ψ
◦ φ)E = G (ψ)F
F (φ)E
Un exemple : Soient φ : R4 → R2 : (p, q, r, s) 7→ (p + q + r + s, 2q + r) et
ψ : R2 → R3 : (a, b) 7→ (a + b, 2a − b, a + 4b). Écrivons les matrices de φ et ψ
relativement aux bases canoniques E, F et G respectivement de R4 , R2 et R3 .


1 1
1 1 1 1
 2 −1 
F (φ)E =
G (ψ)F =
0 2 1 0
1 4
Le calcul de G (ψ ◦ φ)E donne
1
2
1
1
−1
4
1
0
1
2
1
1
2
3
0
9
1
1
2
1
5
1
0
1
2
1
On a ainsi (ψ ◦ φ) : (p, q, r, s) 7→ (p + 3q + 2r + s, 2p + r + 2s, p + 9q + 5r + s).
Un cas important est celui où φ = ψ = id : V → V et où G = E. Dans ce
cas la relation ci-dessus devient
E (id )E
= E (id ◦ id )E = E (id )F
3
F (id )E
puisque bien sûr id ◦ id = id . Remarquons aussi que quelle que soit la base E,
on a


1 0 ... 0
 0 1 ... 0 


.
.. 
E (id )E =  .
 .. ..
. 
0 0 ... 1
puisque id (~ej ) = ~ej = 0~e1 + 0~e2 + · · · + 1~ej + · · · + 0~en . Cette matrice particulière
qui comporte des 1 sur la diagonale descendante et des 0 partout ailleurs est
notée I.
Evidemment on a aussi
F (id )F
= F (id )E E (id )F
Ainsi si nous notons P = E (id )F et P −1 = F (id )E on a
I = P P −1 = P −1 P
Pour terminer, si nous considérons une application linéaire ω : V → V , on a
F (ω)F
= F (id ◦ ω ◦ id )F = F (id )E E (ω)E E (id )F
car bien sûr ω = id ◦ ω ◦ id . Autrement dit si nous notons A = E (ω)E la matrice
de ω exprimée dans la base E et B = F (ω)F la matrice de ω exprimée dans la
base F, on a la relation
B = P −1 A P
Exercice :
Soient α et β deux applications linéaires de V dans W , et r un nombre fixé.
On peut définir l’application notée α + β par (α + β)(~v ) = α(~v ) + β(~v ). On peut
aussi définir l’application notée rα par (rα)(~v ) = r α(~v ).
Montrer que α + β et rα sont des applications linéaires.
(On fixe une base dans chaque espace vectoriel pour écrire les matrices.)
Montrer que si la matrice de α a le nombre aij à la i-ème ligne, j-ème colonne,
et β a le nombre bij à la i-ème ligne, j-ème colonne, alors la matrice de α + β
a la somme aij + bij à la i-ème ligne, j-ème colonne, et la matrice de rα a le
produit r aij à la i-ème ligne, j-ème colonne.
4