Calcul sur les Radicaux

Fiche Calcul sur les Radicaux
Ces exercices servent à vous entraîner au calcul.
Il est donc totalement contre-productif de vous aider de votre calculatrice.
(Tous ces exercices sont issus d’un livre de 3ème récent)
Deux grandes choses à retenir sur les radicaux :
Le produit de deux radicaux est le produit des radicaux : Pour tous réels
x et y ,
x × y = x× y
On ne peut RIEN dire de la somme de deux radicaux !!
Et en particulier,
x 2 + y 2 n’est JAMAIS égal à x + y !!!
Fastoche (sauf le dernier : moyen)
Ecrire chacune des expressions suivantes sans radical, lorsque c’est possible :
A = 12 + 2 2 + 3 2 ; B =
1 8
+ ; C = 4 + 25 ; D = 3 2 × π 2
9 9
Moyen
Vérifier que
B = 63 − 7 3 + 147 − 2 7 −
7
est un entier naturel.
7
Moyen
Comparer les nombres
C=
2 3
98
et
D=
12
.
7 2
Compliqué
Rendre entier le dénominateur du nombre suivant :
E=
1
5+ 2
.
Hard
2
Démontrer que le nombre suivant est entier relatif :
Compliqué
Soient
G = 2 + 5 et H = 7 + 2 10 .
2
2
1) Calculez G et H .
2) Comparez G et H .
F =  7 + 3 5 − 7 + 3 5  .


Correction Exercices Calcul sur les Radicaux
Attention à bien respecter les priorités des opérations
A = 12 + 2 2 + 3 2
Donc A = 1 + 4 + 9 = 14
B=
Donc
1 8
+
9 9
B=
Ordre des opérations : carré -> somme -> racine
Ordre des opérations : quotient -> somme -> racine
9
= 1 =1
9
C = 4 + 25
Donc C = 29
Ordre des opérations : somme -> racine
D = 32 × π 2
Ordre des opérations : carré -> produit -> racine
Mais on sait qu’on peut intervertir l’ordre de produit et racine.
Donc
D = 3 2 × π 2 = 9 × π 2 = 9 × π 2 = 3 × π = 3π
Simplifier au maximum chaque terme à radical sous la forme
Ce faisant,
a b
63 = 9 × 7 = 9 × 7 = 3 7 et 147 = 3 × 49 = 3 × 49 = 7 3
En multipliant « en bas et en haut par
Donc au final,
7 », on trouve que
7
7
=
7× 7
7× 7
=
7× 7
= 7.
7
B = 3 7 − 7 3 + 7 3 − 2 7 − 7 = 0 . On vérifie bien que 0 ∈ .
Simplifier pour vous ramener à un dénominateur commun
7 2 semble simple. Attaquons-nous à l’autre :
2 3 2 3
12
98 = 2 × 49 = 2 × 49 = 7 2 Youpii ! Donc, C =
=
et D =
.
98 7 2
7 2
C et D ont même dénominateur, il suffit donc de comparer leurs numérateurs.
Il faut à tout prix un dénominateur commun simple ; or
Or
12 = 2 2 et
2 < 3 . Donc 2 2 < 2 3 . Donc D < C .
Elever au carré un tel dénominateur ne va pas vous débarrasser des radicaux (à cause du double produit).
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
Ici le dénominateur est de la forme (a + b ) ; multiplions-le donc par (a − b ) !
Le facteur (a − b ) est appelée la « quantité conjuguée » de (a + b ) .
Il faut utiliser une autre identité remarquable :
E=
1
5+ 2
=
(
1× 5 − 2
)
(5 + 2 )× (5 − 2 )
=
5− 2
52 − 2
2
=
5− 2 5− 2
=
25 − 2
23
Vous savez développer le carré d’une différence rapidement grâce à une certaine identité remarquable
Ensuite, gardez le cerveau allumé pour reconnaître d’autres identités algébriques classiques.
2
2
F =  7 + 3 5 − 7 + 3 5  = ( A − B ) = A 2 − 2 AB + B 2


Ici,
A = 7 + 3 5 , donc A 2 = 7 + 3 5 . De même B 2 = 7 − 3 5
Enfin,
− 2 AB = −2 × 7 + 3 5 × 7 − 3 5 = −2 ×
Ce ne serait pas un truc de la forme
Donc
( )
− 2 AB = −2 × 7 2 − 3 5
2
(7 + 3 5 )× (7 − 3 5 ) car produit de radicaux.
(a + b )(a − b) sous la racine ?? Meuuhhh si !
2
= −2 × 49 − 3 2 × 5 = −2 × 49 − 45 = −2 × 4 = −4
Contre toute apparence, on vérifie bien que
F ∈ !!
Encore des identités remarquables à l’œuvre.
Attention, comparer deux nombres n’est pas équivalent à comparer leurs carrés
1) Le calcul du carré de G fait appel à une identité remarquable. Celui de H est immédiat.
G2 =
(
2+ 5
)
2
2
2
= 2 + 2 × 2 × 5 + 5 = 2 + 2 10 + 5 = 7 + 2 10
2
H 2 =  7 + 2 10  = 7 + 2 10


= H 2 . Peut-on en déduire que G = H ? Pas forcément …
et pourtant, 3 ≠ −3 !!
2) On remarque donc que G
Ainsi,
3 2 = 9 = (− 3)
2
2
Ici, on vérifie facilement que H et G sont de même signe. Donc G
***
=H.