Domaine de définition d`une fonction

Domaine de définition d’une fonction
page 1 de 1
Domaine de définition d’une fonction
I)
Fractions, Dénominateurs
II)
1)
Règle
1)
Racines carrées
Règle
√
Une racine carrée a n’est définie que si a > 0
a
Une fraction est définie seulement si son dénominateur b n’est pas nul.
b
a
Pour étudier le domaine de définition d’une fraction , on commence par chercher les 2) Exemples
b
valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur), puis on garde seulement les Déterminer le domaine de définition des fonctions définies par les expressions suivantes :
√
autres.
1. 2x − 4
On cherche pour quels x on a 2x − 4 > 0, c’est-à-dire qu’on résout une inéquation.
C’est équivalent à 2x > 4, c’est-à-dire à x > 2
2) Exemples
Le domaine de définition est donc [2; +∞[
Déterminer le domaine de définition des fonctions définies par les expressions suivantes :
1
2. √
1
2x
−4
1.
x+3
Ici il y a deux problèmes : une racine carrée et un dénominateur. Chaque problème
On cherche les valeurs interdites : quand a-t-on x + 3 = 0 ?
introduit une condition. On écrit toutes les conditions et on fait le bilan.
Pour la racine carrée, on doit avoir 2x − 4 > 0, c’est-à-dire x > 2 (mêmes calculs
On résout l’équation : quand x = −3
que
précédemment).
Toutes les autres valeurs sont autorisées, donc le domaine de définition est :
√
Pour le dénominateur, on doit avoir 2x − 4 6= 0
l’ensemble de tous les nombres sauf −3,
√
√
Quand a-t-on 2x − 4 = 0 ? a ne peut être égale à 0 que si a = 0.
ce qui peut se noter sous forme d’une réunion d’intervalles :
√
Donc 2x − 4 = 0 lorsque 2x − 4 = 0, c’est-à-dire x = 2. Donc 2 est une valeur
] − ∞; −3[ ∪ ] − 3; +∞[
interdite.
1
Les valeurs autorisées sont donc tous les nombres supérieurs ou égaux à 2 mais
2. 2
x + 3x
différents de 2. Cela revient à dire : tous les nombres strictement supérieurs à 2.
On cherche les valeurs interdites : quand a-t-on x2 + 3x = 0 ?
Le domaine de définition est donc ]2; +∞[
On résout l’équation, ce qu’on peut faire en factorisant : x(x + 3) = 0, qui a pour
solutions 0 et −3
Toutes les autres valeurs sont autorisées, donc le domaine de définition est :
l’ensemble de tous les nombres sauf 0 et −3,
ce qui peut se noter sous forme d’une réunion d’intervalles :
] − ∞; −3[ ∪ ] − 3; 0[ ∪ ]0; +∞[