Première ES Devoir à la maison n°1

Première ES
Devoir à la maison n°1 : corrigé
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Exercice 1
Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la somme des aires
est 15125 ? Si oui, préciser quelles sont les valeurs que doivent avoir les côtés.
Soit n la longueur du côté du carré central, alors celle du précédent est n – 1 et celle du
suivant est n + 1.
La somme des aires est alors : (n - 1)² + n² + (n + 1)² = 15 125
En développant, on a : 3n² + 2 = 15 125 d’où 3n² = 15 123 soit n² = 5 041 et comme n est
positif, n = 71.
Les côtés des 3 carrés sont 70, 71, 72.
Exercice 2
Dans un triangle: ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et
[AB] tels que AD = BE = x.
(Voir figure: ci-dessous)
Déterminer x pour que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC.
Données AB = 18m ; AC = 8m.
Il est clair que x < 8 sinon D n’existe pas sur [AC].
AD × AE x(18 – x)
AC × AB 8 × 18
Aire ADE =
=
aire ABC =
=
= 72
2
2
2
2
On veut que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC donc que
x(18 – x) 72
= soit x(18 – x) = 72 soit encore –x² + 18x – 72 = 0, ce que l’on peut écrire :
2
2
x² - 18x + 72 = 0
∆ = b² - 4ac = (-18)² - 4×1×72 = 324 – 288 = 36 positif donc deux solutions distinctes.
-b - ∆ 18 – 6
-b + ∆ 18 + 6
x’ =
=
= 6 solution qui convient et x’’ =
=
= 12 qui ne
2a
2
2a
2
convient pas.
Conclusion : pour x = 6m l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle
ABC.
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Exercice 3
Résoudre, dans R, les équations suivantes :
x² = 9 ⇔ x = 3 ou – 3 x² = -3 ⇔ pas de solution (x – 5)² = 3 ⇔ x = 5 + 3 ou x = 5 - 3
(2x – 1)² + x(1 - 2x) = 4x² - 1 ⇔ 4x² - 4x + 1 + x – 2x² = 4x² - 1 ⇔ - 2x² - 3x +2 = 0
a = -2, b = -3 et c = 2 alors ∆ = b² - 4ac = 9 + 16 = 25 = 5² donc deux solutions :
-b + ∆
-b - ∆ 1
x’ =
= et x’’ =
= -2
2a
2
2a
(3x + 5)² = (x + 1)² ⇔ 9x² + 30x + 25 = x² + 2x + 1 ⇔ 8x² + 28x +24 = 0
3
a = 8, b = 28 et c = 24 alors ∆ = b² - 4ac = 16 donc deux solutions x’ = -2 et x’’ = 2
(5x – 4)² - (3x + 7)² = 0 ⇔ 25x² - 40x + 16 = 9x² + 42x + 49 ⇔ 16x² - 82x - 33 = 0
3
11
a = 16, b = -82 et c = -33 alors ∆ = b² - 4ac = 94² donc deux solutions x’ = - et x’’ =
8
2
Exercice 4
Résoudre l’équation : x + 1 = 2x – 3 revient à résoudre x + 1 = (2x -3)² et 2x – 3 >0
3
3
Soit 4x² - 12x + 9 – x – 1 = 0 et x > c'est-à-dire 4x² - 13x + 8 = 0 et x >
2
2
13 - 41
≈ 0,82 donc
a = 4, b = -13 et c = 8 alors ∆ = b² - 4ac = 41 donc deux solutions x’ =
8
13 + 41
ne convient pas et x’’ =
≈ 2,42 qui convient.
2
Exercice 5
Soit f la fonction définie par fx) = -3x² + 2x + 1 pour tout x réel.
On note C la courbe représentative de f dans un repère (O, i ;j).
1. Préciser la nature de la courbe C et les coordonnées de son sommet S.
C’est une parabole de concavité vers le bas (car a < 0).
4
1 4
1
La forme canonique est -3(x – )² + donc le sommet est S( ; )
3
3 3
3
2. Montrer que la courbe C coupe l’axe des abscisses en deux points A et B dont on précisera
les coordonnées.
Cela revient à résoudre f(x) = 0 soit -3x² + 2x + 1 = 0
1
a = -3, b = 2 et c = 1 alors ∆ = b² - 4ac = 16 donc deux solutions x’ = 1 et x’’ = 3
1
conclusion A(1 ; 0) et B(- ; 0)
3