Éléments de solutions pour un corrigé de l`épreuve de découverte

Élémentsdesolutionspouruncorrigéde
l’épreuvededécouvertededécembre2016
Exercice1–Plusoumoinsdemoins?–7points
! Avec 6 cartes (trois positives et trois négatives), Paul a 12
chances sur 30 de gagner et Pierre a 18 chances sur 30 de
gagner.
! Avec 5 cartes (trois positives et deux négatives), Paul a 8
chances sur 20 de gagner et Pierre a 12 chances sur 20 de
gagner.
Or
12 8 2
=
= .
30 20 5
+1
+2
+3
-1
-2
-3
+1
+
+
-
-
-
+2
+
+
-
-
-
+3
+
+
-
-
-
-1
-
-
-
+
+
-2
-
-
-
+
+
+1
+2
+3
-1
-2
+1
+
+
-
-
+2
+
+
-
-
+3
+
+
-
-
-1
-
-
-
+
-2
-
-
-
+
Pauln’apasraison.
EnleverunecartequiporteunnombrenégatifnechangerienauxchancesdePaul.
Exercice2–D’oretd’argent–5points
SachantquelestrianglesACB,CBDetADCsontisocèles,onaleségalitésdesanglessuivantes:
AĈD = CÂD = CB̂D = α et CD̂B = DĈB = β LasommedesmesuresdesanglesdanslestrianglesACBetCBD
⎧α + 2 β = 180°
donnelesystèmed’équations: ⎨
⎩ 3α + β = 180°
Sarésolutiondonne α = 36° et β = 72° .
(Ilexisteplusieursrésolutionspossiblessanspasserparles
systèmesd’équations).
Remarque:LetriangleBCDestuntriangled’or,etletriangleADCestuntriangled’argent.
Untriangled'or,égalementconnucommetrianglesublime,estuntriangleisocèledanslequellecôtéen
doubleaunelongueurdansunrapportaveccelleducôtérestantégalaunombred'or.
Legnomond'oroutriangled'argentestuntriangleisocèleobtusdanslequellerapportdeslongueurs
descôtésdemêmelongueurautroisièmecôtéestl'inversedunombred'or.
Exercice3–Déroulé–7points
6 5 1 2
3 1 4 Somme22
6 4 1 5 6 2
3 5 3 5 4 1 1 4 4 Somme24
Somme25
6
3 5 4 2
1 4 Somme25
2 6 5
3 1 5 4 Somme26
-3
-
-
-
+
+
2 4
3 6 1 5 4 Somme25
6 3 1
2 1 4 5 Somme22
1
2
1 3 6
4 5 Somme22
2
3 6 4
1 5 4 Somme25
6 5
2 3 1 4 5 Somme26
6 2
4 1 4 5 3 Somme25
1 2
3 1 5 6 4 Somme22
6
2 3 5
1 4 5 Somme26
6
4 2
1 4 5 3 Somme25
1
3 2
1 5 6 4 Somme22
4 6
2 1 3 4 5 Somme25
5
4
1 2
4 5 3 Somme24
5
3
1 5 6 2
4 Somme26
4
2 6
1 3 4 5 Somme25
6
5
1
4 5 3 2
Somme26
Ilyacinqtrajetsà22points,deuxà24points,huità25pointsetcinqà26points,permettant
ainsiderépondreauxdeuxquestions:
Lechemindepluspetitesommedonne22etceluidelaplusgrandesomme26.
Exercice4–Rappelàl’ordre–5points
Pourtrouverlasolution,onpeutprocéderendirect,ouparanalyserétrograde.
Voicileprocédéparanalyserétrograde.Lacasevidesituéeàdroiteestnotée0.
Leproblèmeposéestd’arriverà123450.
Remarque:lesjetons3,4et5nepeuventpasallersurlacasevide(ilsseraientdéplacésdeuxfois).
Deuxstratégiess’imposent:
123450
123450
023451
103452
320451
143052
325401
043152
305421
340152
Etfinalementlesdeuxsolutions:
345021et
345102
Exercice5–Chassécroisé–7points
Oscar,assissurlesiège110voitdescendrelesiège130;iladonclesiègen°1
devantlui.
Eloïse,assisesurle290voitdescendrele250;ellealen°1derrièreelle.
Lesiègen°1estentreEloïseetOscar.
Entrele130etle250,ilya119sièges.
DemêmeentreEloïseetOscar,ilya119sièges:109dun°1aun°109etencore10
derrièreEloïse,dun°291aun°300.
Ilya300siègessurlaboucledutélésiège.
Exercice6–Deslettresetdeschiffres–5points
D × D = I , I estuncarréetnepeutêtreégalqu’à4ou9.
! Si I = 9 ,alors D = 3 et T = 27 car T ÷ D = I .Cecasestàécartercartouteslesvaleurs
doiventêtrecomprisesentre 1 et 9 .
! Alors I = 4 , D = 2 et T = 8 Ontrouvesansdifficultélesautresvaleurs.Lecodeest538142.
Exercice7–Tropd’trolls–7points
Ilfautcommencerparchercherlenombredetrollsparsalle.
Ilyena24par«rangée»,11dansCet0dansB,d’où13trollsdansA.
PuisenconsidérantquelqueséquationsdugenreD+G+A=24(avecA=13),onobtientassez
facilement:D=6;E=8;F=10;G=5;H=16etI=3.
Sachantqu’iln’yaque20potionsmagiques,onprocèdeparessaipourtrouverlecheminpour
sortir.LeseulcheminpossibleestBEDG.
Exercice8–Jeudeplate-forme–5points
6
Lerapportdesvitessesdoitêtrede pourpasserdupremierplateauaudeuxièmeplateau.
9
9,2 − 6 6
= doncledeuxièmeplateauseraenprolongementdutroisième.
Or
4,8
9
Lafourmipourrafranchirlepuitssansencombre.
Exercice9–Miseenpièces–7points
Lafacegriseestleplandelasection:Lesanglesà60°se
justifientdufaitqu’onacoupédanslesfaceséquilatéralesde
lapyramided’origine.
Ci-contreunepropositiondepatron.
Exercice10–Rapportpointilleux–10points
LetriangleABCestéquilatéral(3côtésde3unités).IlenestdemêmepourletriangleADE
(ses3côtéssontlesgrandesdiagonalesdetroisparallélogrammesdecôtés2et1danslemême
réseau).
3 3
9 3
/2 =
L’airedeABCvaut: 3
2
4
3
AH= 3
2
2
2
⎛
3⎞ ⎛ 1⎞
D’aprèslethéorèmedePythagore,AD= ⎜ 3 ⎟ + ⎜ ⎟ = 7 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
L’airedutriangleADEvautalors
7 3
7 3 9 3 7
/
= .D’oùlerapportdesaires
4
4
4
9
! Plussimplement,ilestpossibledecalculerlerapportdecesairesencalculantceluidu
carrédeleurscôtés.
! Unefaçonencoreplusastucieuseestdefaireundécoupagedesaires.
Onprendl’unitéd’aireletriangledelatrame.Aire(ABC)=9
aire(ABD)=aire(ACE)d’oùaire(ABC)=aire(ACDE)
Alorsaire(ADE)=aire(ACDE)–aire(DCE)=9–2=7
7
LerapportdesairesdeADEetABCest . 9
Spécialseconde
Exercice11–Sanslespetitesroues–5points
Onacos(α)=(R-8)/R
Etonobtient:
R(pouces) 13
α(degré) 67,38
13,75
14,5
65,28
63,37
Exercice12–Liberté–Égalité–Fractions–7points
12 9 3 93 39 132 12
= + =
+
=
= 5 5 5 55 55 55
5
10a + b 10b + a 11a + 11b 11( a + b ) a + b a b
+
=
=
=
= + 11c
11c
11c
11c
c
c c
Exercice13–Formuleaire–10points–2deGT
Pestlemilieude[AB]surlafigureinitiale,doncPA=PBet
lespointsAetBcoïnciderontbiendansl’assemblage.
LesanglesenPsontsupplémentaires,donclespointsH1,P
etH2serontbienalignéssurl’assemblage.
Lasommedesanglesduquadrilatèreinitialvaut360°donc
l’assemblageseferasansinterstice.
Finalementonobtientunquadrilatèrequia4angles
droits.C’estunrectangle;salongueurest2MN/2=MNet
salargeurest2PH=2PK.SonaireestdoncMNx2PH.
Pourcalculerl’aireduquadrilatèreABCD,onpourra
mesurerleslongueursdessegments[MN]et[PH]avant
d’appliquerlaformuleAire(ABCD)=2MN×PH.
Exercice13–Çarefroidit–10points–2dePro
L’heureducrimesesituedoncentre16h41et16h42.