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Convolution
CONVOLUTION
I Introduction
Dans de nombreuses mesures physiques on introduit à l'entrée d’un appareil une grandeur e à mesurer (onde sonore, onde
électromagnétique, onde associée à une particule,...) et à la sortie on recueille une fonction s restituée par l’appareil lui même
caractérisé par une fonction h. s résulte de la convolution de e par h.
"
!# " h( x # u)e(u)du .
s( x ) $
La même relation est vérifiée entre l’entrée e et la sortie s d'un filtre linéaire.
Pour un appareil de mesure assez précis h(y = x - u) est une fonction qui ne prend des valeurs non nulles que quand y est voisin
de zéro, c’est à dire quand u est voisin de x. Alors seules les valeurs de e(u) pour u voisin de x contribuent à la valeur du
produit de convolution. h a des analogies avec les fonctions de densité en probabilité ( h( x ) % 0 et
"
!# " h( y )dy $ 1).
, * (x)
exemple de la fonction porte :
*
*
)1
& si # + x +
Soit h = , * ( x ) $ ( *
2
2.
&0
ailleurs
'
s( x ) $ (, * * e)( x ) $
"
!# "
1/*
, * ( x # u)e(u)du $
1
*
*
2 e(u)du
*
x#
2
!
x.
$ m $ e(-)
#*/0
6
*
*3
*/0
Le produit de convolution représente, en x, la moyenne de e(u) sur 4x # , x . 1 . Plus le pouvoir séparateur de l’appareil est
22
5 2
grand plus * est petit et plus s(x) ~ e(x).
lim s( x ) $ lim e(-) $ e( x ) .
* 70
*70
La distribution , de Dirac correspond à un appareil de mesure idéal puisque:
s( x ) $
"
!# " ,( x # u)e(u)du $ e( x) .
La sortie est identique à l'entrée, c’est à dire que le signal reçu a été capté et restitué sans être déformé.
Exemple de la convolution de deux Gaussiennes
f1( x ) $
Soit
#
1
( x # m1 ) 2
2 812
e
81 29
f2 ( x ) $
et
#
1
8 2 29
e
( x #m 2 )2
28 2 2
.
f1 * f2 est un exemple de produit de convolution de deux fonctions à support non borné.
1
( f1 * f2 )( x ) $
29818 2
( f1 * f2 )( x ) $
e
1
82
$
1
812
!
6 ( x #m )2 m 2 3
1
. 221
#4
2
28 2 21
54 28 1
29818 2
( f1 * f2 )( x ) $ a
et
6 ( x # t #m )2 ( t #m )2
1
2
#4
.
45
28 12
28 2 2
e
#"
"
( f1 * f2 )( x ) $ a
1 6 t2
t 2 2( x # m1 )t 2m 2 t 3
1
# 4 2. 2#
#
2
2
2 4 81 8 2
81
8 2 12
e 5
dt
#"
!
!
1
8 22
"
!# "
e
.
.
"
x #m1 m 2 3
1 6 t2
# 4 2 # 2(
. 2 )t 1
2
"
2 48
81
8 2 12
e 5
dt
#"
.
3
1
12
dt
En posant b $
16 t
3
# 4 ( # 8b ) 2 # 8 2 b 2 1
25 8
2 dt
a$
avec
x # m1
812
1
$ ae 2
8 2b 2
.
m2
8 22
"
!# "
e
e
.
6 ( x # m1)2 m22 3
#4
.
1
2
2
282 21
54 281
29818 2
:
1 t
# ( # 8b ) 2
2 8
dt
.
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1
8
T t
Soit $ # 8b alors ( f1 * f2 )( x ) $ ae 2
8 8
( f1 * f2 )( x ) $
$
8
818 2 29
2
b
" #
!# "
e
1 T2
2 82 dT
1
$ ae 2
82b2
8 29 .
2
2
2
x # m1 m 2 2 3
8 8
1 6 ( x # m1 ) 2 m 2
# 4
. 2 # 21 2 2 (
. 2) 1
2
2
2 4 81
12
8
8
.
8
81
82
2
1
2
5
e
2
2
? 1
<
?
< ( x # m1 )m2 3
16
8
81
: . m22 = 1 #
:#2
1
# 4( x # m1 )2 = 2 # 2 22
2 :
=8
= 8 2 8 2 (8 2 . 8 2 ) : ( 8 2 . 8 2 ) 1
24
(
)
8
8
.
8
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2 2
>
;
>
;
e 5
1
81 . 8 2
2 2
Convolution
2
29
$
1 6 ( x # m )2
m 2
( x # m )m 3
# 4 2 1 2 . 2 2 2 # 2 2 1 22 1
2 45 81 . 82 81 . 82
81 . 82 12
e
1
2
81 . 8 2
2
29
1 @x # (m1 . m 2 )A
2
2
2
81 . 8 2
2
( f1 * f2 )( x ) $
#
1
2
81
. 82
2
e
29
Le produit de convolution de deux Gaussiennes est une Gaussienne dont la moyenne est la somme des moyennes et dont la
variance est la somme des variances.
Si f1 correspond à un instrument de mesure tel que m1 = 0 alors le signal f2 sortant du détecteur à une variance de 812 plus
grande que la réalité en raison de la dispersion due à f1.
Exemple de la convolution d'une fonction porte par
f ( x ) $ cU( x # a)U(b # x )
(, * * f )( x ) $
, * (x)
(b # a B * )
"
b
!# " ,* ( x # u)f (u)du $c !a ,* ( x # u)du
Pour que la fonction à intégrer soit non nulle, il faut et il suffit que :
#
*
*
*
*
c’est à dire x # C u C x .
C x #u C
2
2
2
2
et
a C u C b . D’où :
*
*
(, * * f )( x ) $ 0 .
CaD x Ca#
2
2
*
*
*
*
2°) Si x # C a C x . D a # C x C a .
2
2
2
2
x-*/2 x+*/2
1°) Si x .
Alors la fonction à intégrer est non nulle quand a C u C x .
(, * * f )( x ) $ c
x.
!a
3°) Si a C x #
*
2
*
*
*
*
C x. CbDa. C x Cb#
2
2
2
2
4°) Si x #
*
2 1 du
*
x# *
2
!
x.
$
c
*$
*
a
*
*
C u C x . et
2
2
(, * * f )( x ) $ c
b
1
!x # 2* * du $
5°) Si b C x #
c
*
( # x . . b)
2
*
*
*
Db. C x
2
2
(, * * f )( x ) $ 0 .
b
b
b
x-*/2 x+*/2
*
*
*
*
CbC x. Db# C x Cb.
2
2
2
2
Alors la fonction à intégrer est non nulle quand x #
a
x-*/2 x+*/2
a
c
b
x-*/2 x+*/2
c
*
1
du $ ( x . # a)
2
*
*
Alors la fonction à intégrer est non nulle quand x #
(, * * f )( x ) $ c
*
et
2
a
*
C u C b et
2
a
b
x-*/2 x+*/2
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#*/0
,* * f
f
, * (x)
1/*
Convolution
c
*
*/0
=
b
a
c
a- 2*
a
a+ 2* b- 2* b
*
2
II Existence et propriétés
* Existence
Si f et g sont deux fonctions continues par morceaux telles que f soit bornée sur R et g absolument intégrable alors leur
produit de convolution f*g existe, est commutatif, continue par morceaux et borné.
dém :
f(x-u)g(u) est continue par morceaux en x et u. f ( x # u)g(u) + SupEf Fg(u) . D’après le critère de Weierstrass,
( f * g)( x ) $
"
!# " f ( x # u)g(u)du
converge uniformément et est continue par morceaux en x. De plus, f*g est bornée car :
E F!# " g(u) du .
"
( f * g)( x ) + Sup f
En posant z = x - u on a : ( f * g)( x ) $
"
"
!# " f ( x # u)g(u)du $!# " f (z)g( x # z)dz $ (g * f )( x) .
* Associativité
Soit trois fonctions f, g et h continues par morceaux, bornées et absolument intégrables. Leur produit de convolution est
associatif.
(f*g)*h=f*(g*h)
dém :
(( f * g) * h)( x ) $
"
"
"
!# " (f * g)( x # u)h(u)du $!# " ( !# " f ( x # u # z)g(z)dz)h(u)du
En effectuant le changement de variables : y = u + z,
"
"
"
"
!# " ( !# " f ( x # y)g( y # u)dy)h(u)du $ !# " ( !# " g( y # u)h(u)du)f ( x # y)dy
$
"
!# " f ( x # y)(g * h)(y )dy $ ( f * (g * h))(x).
* Produit de convolution de deux fonctions nulles pour x < 0
x
!0
(Uf * Ug)( x ) $ U( x ) f ( x # u)g(u)du
(signaux causaux)
dém :
"
"
x
!# " U( x # u)f ( x # u)U(u)g(u)du $ !0 U( x # u)f ( x # u)g(u)du $ U( x)!0 f (x # u)g(u)du .
(Uf * Ug)( x ) $
* Primitive d’une fonction
(U * f )( x ) $
"
x
!# " U( x # u)f (u)du $!# " f (u)du
* Transformées de Fourier et produit de convolution
Soit f et g deux fonctions continues par morceaux et absolument intégrables.
1
29
F @f * gA(k ) $ F(k )G(k )
1
F @fgA(k ) $
29
(F * G)(k )
La transformation de Fourier transforme un produit de convolution en un produit simple et vice versa.
dém:
F @f * gA(k ) $
$
y $ x #u
1
1
"
( f * g)( x )e
29 !# "
"
e
29 !# "
# iky
f ( y )dy
"
# ikx
dx $
!# " g(u)e
# iku
1
"
"
(
f ( x # u)g(u)du)e
29 !# " !# "
du $ 29F(k )G(k ).
# ikx
dx
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(F * G)(k ) $
"
"
1
"
" iu( x y )
#
1
!#dx" f ( x)e !# " g( y )dy 29 !# "e
$
"
"
!# " F(k # u)G(u)du $ 29 !# " ( !# " e
# ikx
"
!# " f ( x)g( x)e
# ikx
# i(k # u )x
"
f ( x )dx )(
"
!# " e
"
!# " !# " dyf( x)g( y)e
du $ dx
# ikx
# iuy
Convolution
g( y )dy )du
,( x # y ) .
dx $ 29 F @fgA(k ).
* Dérivation d’un produit de convolution :
Soit deux fonctions f et g telles que f, f’,...,f(m) soient continues et bornées, g continue par morceaux et absolument
intégrable.
Alors h = f*g est m fois continûment dérivable et
dm
dx
m
dm
dx m
( f * g)( x ) est continue et bornée et vérifie :
( f * g)( x ) $ ( f (m ) * g)( x ) $
"
!# " f
(m )
( x # u)g(u)du
dém :
Les fonctions f (l) ( x # u)g(u) (l = 0, 1, 2,..., m) sont continues en x, continues par morceaux en u. Les f (l) étant bornées, on a :
E F
E F
f (l) ( x ) + Sup f (l) et f (l) ( x # u)g(u) + Sup f (l) g(u) , fonction indépendante de x et intégrable. D’après le critère de Weierstrass
les intégrales
dl
dx
l
"
!# " f
(l )
"
!# " f
( f * g)( x ) $
( x # u)g(u)du convergent uniformément. On peut alors dériver m fois sous le signe somme et :
( l)
( x # u)g(u)du $ ( f (l) * g)( x )
où l = 0, 1, ...., m.
III Convolution avec ,(x) et ses dérivées
* Convolution par une dérivée de ,( x )
, (m ) ( x # x 0 ) * f ( x ) $ f (m ) ( x # x 0 )
,( x ) * f ( x ) $ f ( x )
En particulier :
,( x ) est l’élément unité du produit de convolution.
* translation
,( x # x 0 ) * f ( x ) $ f ( x # x 0 )
* dérivation
, (m ) ( x ) * f ( x ) $ f (m ) ( x )
Dém :
, (m ) ( x # x 0 ) * f ( x ) $
( #1) m !
"
#"
dm
dx
m
"
!# " ,
(m )
( x # x 0 # u)f (u)du $ ( #1)m
,( u # x . x 0 )f ( u )du $ !
intégrés sont nuls)
"
#"
"
!# " ,
(m)
(u # x . x 0 )f (u)du
,( u # x . x 0 )f ( m ) ( u)du
$ f (m ) ( x # x 0 ) .
* Convolution de deux dérivées de ,( x )
, (m ) ( x # x 0 ) * , ( p ) ( x # x ' 0 ) $ , ( m . p ) ( x # x 0 # x ' 0 )
Dans ,(m ) ( x # x 0 ) * f ( x ) $ f (m) ( x # x 0 ) on remplace f(x) par ,(p ) ( x # x'0 ) .
(on intègre m fois par parties et les termes tout