Produit de Convolution Principe et Propriétés

Produit de Convolution
Principe et Propriétés
par Vincent Choqueuse, IUT GEII
1. Problématique
Problématique
• Contexte : Soit un système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT) défini
par sa réponse à une impulsion de dirac, h (t ).
SLIT
Entrée
Sortie
• Objectif : Determiner le signal de sortie lorsque l’on applique un signal x (t )
en entrée.
• Solution : Il est possible de démontrer que l’opération réalisée par le
système est un produit de convolution.
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2. Produit de Convolution
Produit de Convolution
Définition 2.1 (Produit de Convolution)
Le produit de convolution de deux signaux x (t ) et y (t ), noté x ? y (t ), est défini
par :
Z
∞
x ? y (t ) =
x (τ)y (t − τ)d τ
(1)
−∞
• τ est la variable muette du produit de convolution.
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2. Produit de Convolution
Produit de Convolution
• Exemple 1 :
Soit x (t ) = y (t ) = Π1 (t ) deux fonctions portes de largeur l = 1. En utilisant (1), le produit de
convolution s’exprime sous la forme
x ? y (t ) =
I
Z
1
2
− 12
Π1 (t − τ)d τ =
t + 21
Z
t − 12
Π1 (u)du
Si t < −1 ou t > 1,
x ? y (t ) = 0
I
(3)
Si −1 < t ≤ 0,
x ? y (t ) =
I
(2)
t + 21
Z
− 12
1du = 1 + t
(4)
1du = 1 − t
(5)
Si 0 ≤ t < 1,
x ? y (t ) =
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Z
1
2
t − 12
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2. Produit de Convolution
Produit de Convolution
• Exemple 1 :
Finalement en utilisant les équations précédentes, on trouve
(
x ? y (t ) =
1.5
1.5
1
1
1 − |t |
0
si − 1 < t < 1
ailleurs
(6)
1.5
0.5
0
−0.5
1
x * y(t)
Π1 (t−τ)
Π1 (τ)
τ=−2
0.5
0
−4
−2
0
τ
2
Fig.: Signal x (τ)
Vincent Choqueuse (IUT GEII)
4
−0.5
0.5
0
−4
−2
0
t
2
4
Fig.: Signal y (t − τ)
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−0.5
−4
−2
0
t
2
4
Fig.: Produit de convolution
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2. Produit de Convolution
Produit de Convolution
• Exemple 2 :
Soit h (t ) la réponse impulsionnelle d’un canal acoustique. En admettant que le canal se
comporte comme un système SLIT, la réponse à une entrée x (t ) est donnée par x ? h (t ).
2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1.5
1
0
x * y(t)
h(t)
x(t)
0.5
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
−1
0
−0.5
−1
−1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
0
0.5
1
1.5
2
t
Fig.: Signal de parole (play)
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−0.5
Fig.: Réponse impulsionnelle (play)
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−2
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
Fig.: Produit de convolution (play)
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3. Propriétés
Commutativité
Propriété du produit de convolution
Propriété 3.1 (Commutativité)
Soit deux signaux notés x (t ) et y (t ), leur produit de convolution est commutatif
c-a-d
x ? y (t ) = y ? x (t )
(7)
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3. Propriétés
Translation temporelle
Propriété du produit de convolution
Propriété 3.2 (Convolution par un dirac)
La convolution d’un signal x (t ) avec un dirac décalé en temps de t0 , δ(t − t0 ), est
égal à :
x ? δ(t − t0 ) = x (t − t0 )
(8)
• En particulier en posant t0 = 0, on remarque que l’impulsion de dirac est
l’élément neutre de la convolution car x ? δ(t ) = x (t )
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3. Propriétés
Translation temporelle
Propriété du produit de convolution
• Exemple :
Soit x (t ) = Πl (t ) un signal porte de paramètre l = 1. Les figures suivantes représentent les
signaux x (t ), δ(t − 2) et le produit de convolution x ? δ(t − 2).
1.5
1.5
1
1
1.5
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−4
−2
0
t
2
4
Fig.: Signal x (t ) = Π1 (t )
Vincent Choqueuse (IUT GEII)
1
x * y(t)
y(t)=δ (t−t0)
x(t)=Π1 (t)
t0 = 2
0.5
0
−4
−2
0
t
2
4
Fig.: Signal y (t ) = δ(t − 2)
Produit de ConvolutionPrincipe et Propriétés
−0.5
−4
−2
0
t
2
4
Fig.: Produit de convolution
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3. Propriétés
Transformée de Fourier du produit de convolution
Propriété du produit de convolution
Propriété 3.3 (Transformée de Fourier du produit de convolution)
Soit x (t ) et y (t ) deux signaux dont les transformées de Fourier respectives sont
X (f ) et Y (f ). On peut montrer que
F [x ? y (t )] =
F [x (t )y (t )] =
X (f )Y (f )
(9)
X ? Y (f )
(10)
• Convoluer dans le domaine temporel revient à multiplier dans le domaine
fréquentiel.
• Multiplier dans le domaine temporel revient à convoluer dans le domaine
fréquentiel.
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3. Propriétés
Transformée de Fourier du produit de convolution
Propriété du produit de convolution
• Exemple : Les 3 figures suivantes présentent les signaux x (t ), h (t ) et y (t ) = x ? h (t ) dans
les domaines temporel et fréquentiel.
2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1.5
1
x * y(t)
h(t)
x(t)
0.5
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
−1
0
−0.5
−1
−1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−0.5
0
0.5
t
Fig.: Signal x (t )
1.5
−2
−0.5
2
Fig.: Signal h (t )
0.9
0.9
0.9
0.8
0.8
0.8
0.7
0.7
0.7
0.6
0.6
0.6
0.5
|Y(f)|
1
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
−1.5
−1
−0.5
0
f
0.5
1
1.5
Fig.: Spectre |X (f )|
Vincent Choqueuse (IUT GEII)
0
2
4
x 10
1
1.5
2
0.5
0.4
−2
0.5
Fig.: y (t ) = x ? h (t )
1
0
0
t
1
|H(f)|
|X(f)|
1
t
0.2
0.1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
f
0.5
1
1.5
0
2
4
x 10
Fig.: Spectre |H(f )|
Produit de ConvolutionPrincipe et Propriétés
−2
−1.5
−1
−0.5
0
t
0.5
1
1.5
2
4
x 10
Fig.: Spectre |Y (f )|
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