Fonctions exponentielles - cours - Terminale STG

Fonctions exponentielles - cours - Terminale STG
F.Gaudon
12 avril 2009
Table des matières
1 Fonction exponentielle de base
1.1 Définitions . . . . . . . . . . .
1.2 Propriétés algébriques . . . .
1.3 Dérivabilité et application . .
e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
2 Fonctions exponentielles de base a
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dérivabilité et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
1
1
Fonction exponentielle de base e
1.1
Définitions
Définition :
On appelle fonction exponentielle de base e la fonction notée exp qui à tout réel x
associe le nombre ex où e est le nombre réel tel que ln e = 1. C’est à dire, pour tout
x réel, exp x = ex .
On note e le nombre réel image de 1 par cette fonction, c’est à dire exp(1) = e.
1.2
Propriétés algébriques
Propriétés :
•
•
•
•
Pour tout y > 0 et tout x réel, ex = y s’écrit x = ln y ;
pour tout x réel, ln(ex ) = x ;
pour tout y > 0, eln y = y ;
0
0
pour tout x et x0 réels, ex ex = ex+x .
Preuve :
• ex = y donne ln(ex ) = ln(y) donc x ln(e) = ln(y) donc x = ln(y) ;
• ln(ex ) = x ln(e) = x ;
• ln(eln(y) ) = ln(y) ln(e) = ln(y). Les deux nombres eln(y) et y ont le même
logarithme népérien donc sont égaux ;
• Découle des propriétés des exposants réels.
1.3
Dérivabilité et application
Propriétés :
• La fonction exponentielle de base e est dérivable sur R et pour tout x réel exp0 (x) =
exp(x) c’est à dire (ex )0 = ex .
• la fonction exponentielle de base e est strictement croissante sur R ;
• ea = eb si et seulement si a = b ;
• ea < eb si et seulement si a < b.
x
−∞
0
1
+∞
%
e
%
1
%
2
Propriété :
La fonction f : x 7→ eax+b où a et b sont deux réels fixés est définie et dérivable sur R
et f 0 (x) = aeax+b pour tout x réel.
Conséquence :
• Si a < 0, alors la fonction f définie ci-dessus est strictement décroissante sur R ;
• si a > 0, alors la fonction f est strictement croissante sur R.
2
Fonctions exponentielles de base a
2.1
Définition
Définition :
Soit a > 0. La fonction exponentielle de base a est la fonction qui à tout nombre réel
x associe le nombre ax .
2.2
Propriétés algébriques
Propriété :
•
•
•
•
•
•
Pour tout x réel, ax = ex ln a ;
pour tout x et y réels, ax ay = ax+y ;
a0 = 1 et a1 = a ;
pour tout x réel a−x = a1x ;
x
pour tout x et y réels, aay = ax−y ;
pour tout x et y réels, (ax )y = axy .
2.3
Dérivabilité et applications
Propriétés :
• f : x 7→ ax est définie et dérivable sur R et pour tout x réel, f 0 (x) = (ln a)ax ;
• Si 0 < a < 1, alors f est strictement décroissante sur R ;
• si a > 1, alors f est strictement croissante sur R.
3