Exercice type I, sur le produit de convolution

Montigny Eric
Exercice type I, sur le produit de
convolution
L’énoncé de l’exercice :
Calculer f*g avec :
1 si − 1 ≤ x < 3
 x / 2 si 0 ≤ x ≤ 2
et g ( x) = 
f ( x) = 
ailleurs
ailleurs
0
 0
a) La première étape :
On écrit la définition du produit de convolution, à savoir :
+∞
( f * g )( x) =
∫
+∞
f (t ).g ( x − t ) =
−∞
∫ g (t ). f ( x − t )
−∞
b) La deuxième étape :
On s’intéresse aux différents intervalles :
t
• g (t ) = si 0 ≤ t ≤ 2 donc t ∈ [0;2] = I 1
2
• f ( x − t ) = 1 si − 1 ≤ x − t ≤ 3 ⇔ −1 − x ≤ −t ≤ 3 − x ⇔ x + 1 ≥ t ≥ −3 + x ⇔ −3 + x ≤ t ≤ x + 1 donc t ∈ [−3 + x;1 + x] = I 2
Ensuite, pour mieux cerner la chose, mieux vaut user d’un petit croquis :
0
2
I1
t
-3+x
1+x
I2
c)
t
On applique la définition du produit de convolution :
Définition du produit de convolution : ( f * g )( x) =
+∞
+∞
−∞
−∞
t
∫ f (t ).g ( x − t ) = ∫ g (t ). f ( x − t ) = ∫ 1. 2.dt
I1 ∩ I 2
Hors, résoudre un tel calcul s’avère assez complexe. Usons de stratégie, et découpons en plusieurs cas, et procédons aux
intégrations, au cas par cas :
Cas 1 :
0
2
I1
-3+x
t
1+x
I2
t
0
On remarque que les deux intervalles ne se recouvrent pas, donc quand on va multiplier la fonction f par la fonction g, on va
trouver zéro.
Montigny Eric
Dans un langage plus mathématique, cela serait :
Si 1 + x < 0, alors I 1 ∩ I 2 = ∅, donc ( f * g )( x) = 0
Cas 2 :
0
2
I1
t
-3+x
1+x
I2
t
Il n’y a pas non plus de recouvrement dans cette situation. Donc :
Si − 3 + x > 2, alors I1 ∩ I 2 = ∅, donc ( f * g )( x) = 0
Maintenant que nous avons vu les deux cas les plus défavorables (et aussi les plus simples…), passons à la suite.
Cas 3 :
0
2
I1
t
I2
t
-3+x
1+x
Cette fois-ci il y a recouvrement, sur une partie des deux intervalles.
Si 0 < 1 + x < 2, alors I 1 ∩ I 2 = [0;1 + x ]
On peut donc déterminer la valeur du produit de convolution, à partir de sa définition élémentaire :
+∞
( f * g )( x) =
+∞
∫ f (t ).g ( x − t ) = ∫ g (t ). f ( x − t ) = ∫
−∞
⇒ ( f * g )( x) =
−∞
t
1. .dt =
2
I1 ∩ I 2
1+ x
∫
0
t
1
.dt =
2
2
1+ x
∫
0
1 t 2 
t.dt = . 
2  2 
1+ x
=
0
1
.[t ² ]10+ x
4
(1 + x)²
1
1
.[t ² ]10+ x = {(1 + x)² − 0} =
4
4
4
Cas 4 :
0
2
I1
t
t
I2
-3+x
1+x
Une fois encore, il y a bien recouvrement, donc nous allons procéder comme au cas précédent.
Si − 3 + x < 0 et 1 + x > 2, alors I 1 ∩ I 2 = [0;2]
Déterminons la valeur du produit de convolution :
4−0 4
1
1
= =1
( f * g )( x) = .[t ² ]02 = {2² − 0²} =
4
4
4
4
Montigny Eric
Cas 5 :
0
2
I1
t
t
I2
-3+x
1+x
Il y a toujours et encore recouvrement :
Si − 3 + x > 0, alors I 1 ∩ I 2 = [− 3 + x;2]
Déterminons la valeur du produit de convolution :
− x² + 6 x − 5
1
1
1
1
1
( f * g )( x) = .[t ² ]2−3+ x = {2² − (−3 + x)²} = .{4 − (x − 3)²} = .{4 − {x ² + 9 − 6 x}} = {4 − x ² − 9 + 6 x} =
4
4
4
4
4
4
d) On résume tout !
Maintenant que nous avons déterminé les diverses valeurs du produit de convolution, sur les divers intervalles, il est
envisageable de tracer (par morceaux), la courbe représentative :
(f*g)(x)
(-x²+6x-5)/4
(x+1)²/4
-1
1
3
5
x