1) Module d`un nombre complexe 2)] Argument d`un nombre

RAPPEL : LES NOMBRES COMPLEXES
Calcul avec les nombres complexes/Module et argument WIKIPEDIA
1) Module d'un nombre complexe
Définition
Le module d'un nombre complexe
z.
De plus, pour
, on a :
est la distance qui sépare l'origine du repère complexe au point M d'affixe
Distance entre deux points
Théorème
La distance entre A et B, respectivement d'affixes zA et zB, est donnée par :
Exemples d'utilisation du module : Distance de deux points
Calculer la distance
où
et
sont les affixes des deux points.
La distance AB est donc
2)] Argument d'un nombre complexe non nul
Définition
Soit
•
•
•
•
un nombre complexe non nul.
Une mesure en radians de l'angle
est appelé argument de z.
On le note souvent arg(z).
L'argument est défini à 2π près.
On appelle argument principal celui qui est compris dans ] − π;π].
Exemple
Soit z = 32 + 12 i . Trouver 3 arguments de z, donner l'argument principal.
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3) Écriture trigonométrique
Cosinus et sinus
Soit
un nombre complexe non nul, son module | z | , d'argument principal θ, et M le point d'affixe
z. On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l'origine, M et son projeté orthogonale sur l'axe des
réels.
Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d'une mesure de l'angle orienté
propriétés suivantes :
donnent les deux
Propriétés
: le cosinus de l'angle est le quotient de la partie réelle et du module.
: le sinus de l'angle est le quotient de la partie imaginaire et du module.
Forme trigonométrique
On sait que :
et
.
Et on a alors : z = x + iy = | z | cos(θ) + i | z | sin(θ) = | z | (cos(θ) + isin(θ)).
Définition
On appelle la forme trigonométrique d'un nombre complexe z, l'écriture :
de
ce nombre pour n'importe quelle mesure de l'angle θ. Dans cette écriture on retrouve directement le module et
un argument (la plupart du temps l'argument principal).
Remarque importante : la forme trigonométrique d'un complexe est liée à ses coordonnées polaires [r,θ],
tandis que la forme algébrique est liée à ses coordonnées cartésiennes (x,y).
Remarque : on note souvent r pour le module de z, la forme trigonométrique se note donc aussi
.
Changer d'écriture
Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme z = x + iy, de module | z | et d'argument principal θ.
Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d'une écriture à une autre :
Passer d'une écriture trigonométrique à une écriture algébrique et vice-versa
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avec
Exemple
La forme trigonométrique de
.
est :
.
Il s'agit donc de trouver un facteur commun à x et y, ici
, puis d'identifier un angle connu.
Égalité de deux nombres complexes
Égalité de deux nombres complexes
Soit z et z' deux nombres complexes non nuls.
4) Propriétés du module
Propriété
Les propriétés du module sont les mêmes que celles des normes vectorielles.
•
Opérations sur les modules :
o
o
o
•
(plus connue sous le nom d'inégalité triangulaire)
Module de l'opposé, du conjugué :
o
o
5) Propriétés algébriques de l'argument
Produit
Produit de deux nombres complexes
L'argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments : arg(zz') = arg(z) +
arg(z')[2π].
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Opposé d'un nombre complexe
L'argument de l'opposé d'un nombre complexe est : arg( − z) = π + arg(z)[2π].
Inverse et division
Inverse d'un nombre complexe
L'argument de l'inverse d'un nombre complexe non nul est l'opposé de son argument :
.
Division de deux nombres complexes
D'après les règles de la multiplication et de l'inverse, on a, avec deux nombres complexes z et z' :
pour
.
Puissance
Puissance d'un nombre complexe
Par extension à la multiplication et à l'inverse, on a l'argument d'un nombre complexe puissance n,
qui est n fois son argument :
avec
.
Conjugués
Conjugué d'un nombre complexe
L'argument du conjugué d'un nombre complexe est l'opposé de son l'argument :
.
Cela s'explique par le fait que le conjugué d'un nombre complexe est le symétrique par rapport à l'axe des réels
du nombre complexe en question.
Produit d'un nombre complexe et de son conjugué
L'argument du produit d'un nombre complexe et de son conjugué est :
.
C'est une explication géométrique de pourquoi le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est
un réel positif.
6) Calcul de l'argument
Calcul avec le cosinus et le sinus
Connaissant la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe, on peut calculer son
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et son
.
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Propriétés
Soit z = x + iy un nombre complexe non nul et θ l'argument principal que l'on cherche à connaître.
Il faut ensuite en déduire un angle θ en « reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus.
Exemple
Si
Donc :
alors
.
et
On reconnait alors :
.
Propriété
Si on ne reconnaît aucun angle particulier, on peut utiliser les fonctions trigonométriques réciproques :
Calcul avec la tangente
Propriété
Soit
.
On a si et seulement si z n'est pas un imaginaire pur, c'est-à-dire
:
Ce qui implique que :
L'argument est alors déterminé à π près, il faut décider entre θ et θ + π en utilisant le signe de a (généralement,
on cherche la mesure principale, c'est celle qui est dans [-π;π] ):
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•
si
alors θ est dans
•
si
alors si
•
si
alors θ est dans
alors
et si
alors
Remarque : Une rapide représentation des complexes 1, − 1, i et − i sur le cercle trigonométrique permet de
synthétiser les règles précédentes.
Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans
suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :
•
•
•
•
mais ce résultat doit être révisé
Inferieur ou égale à π / 2 pour les montages du premier ordre (RC ou RL).
Inferieur ou égale à π pour les montages du second ordre (RLC).
Inferieur ou égale à 3π / 2 pour les montages du troisième ordre.
Inferieur ou égale à 2π pour les montages du quatrième ordre. Il faut donc impérativement tenir compte
des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l'étude de la stabilité des systèmes
bouclés (se référer aux cours d'automatique).
Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcours le système.
7) Argument d'une différence
Propriété
• Si A et B sont deux points distincts d'affixes respectives a et b.
alors
•
Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives a, b, c et d :
alors :
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