elements de symetrie exercices corriges
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Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr ELEMENTS DE SYMETRIE EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Dans chacun des cas suivants, justifier que la fonction f considérée est bien définie sur D f , puis démontrer que la courbe C f représentant la fonction f dans un repère orthonormé admet l’élément de symétrie indiqué 1) f ( x) = 2) f ( x) = x −1 x +1 x 2 − 4x + 3 3) f ( x) = 2 x − 3 − 4) f ( x) = 3 x+2 1 3 5 x − x 2 − 3x + 3 3 5) f ( x ) = cos 4 x − 2 cos 2 x D f = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ Centre de symétrie : Ω ( −1;1) D f = ]−∞;1] ∪ [3; +∞[ Axe de symétrie : ∆ ( x = 2 ) D f = ]−∞; −2[ ∪ ]−2; +∞[ Centre de symétrie : Ω ( −2; −7 ) Df = \ Centre de symétrie : Ω (1; −2 ) ) Df = \ π Axe de symétrie : ∆ x = 2 Exercice n°2. On considère la fonction f définie par f ( x) = x 2 − 7 x + 10 et on note C sa courbe représentative dans un repère 2 (1 − x ) G G orthonormé (O, i , j ) d'unité 2 cm. 1) Déterminer l’ensemble de définition de f 5 2) Démontrer que le point Ω 1; est centre de symétrie de la courbe C 2 Page 1/3 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr ELEMENTS DE SYMETRIE CORRECTION Exercice n°1 1) La division par x + 1 implique x + 1 ≠ 0 donc D f = \ \ {−1} = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ De plus, pour tout h ≠ 0 , −1 + h − 1 −1 − h − 1 + f (−1 + h) + f (−1 − h) −1 + h + 1 −1 − h + 1 = 2 2 −2 + h −2 − h −2 2 + +1+ +1 2 −h = h h = h = =1 2 2 2 f ( xΩ + h) + f ( xΩ − h) Ainsi = yΩ , ce qui prouve que le point Ω ( −1;1) est centre de symétrie de la courbe C f 2 2) f est définie pour toutes les valeurs de x telles que x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 . Si on note P ( x ) = x 2 − 4 x + 3 , le calcul de ∆ = ( −4 ) − 4 × 1 × 3 = 4 = 22 nous permet de conclure à l’existence de deux racines réelles distinctes x1 = 2 − ( −4 ) + 4 − ( −4 ) − 4 2 ×1 =1 = 3 , donc, grâce à la factorisation P ( x ) = ( x − 1)( x − 3) , à l’étude de signes de P ( x ) , qui rend 2 ×1 compte que P ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 lorsque x ∈ ]−∞;1] ∪ [3; +∞[ . Ainsi D f = ]−∞;1] ∪ [3; +∞[ . et x2 = De plus, pour tout h ≥ 1 , d’une part f (2 + h) = (2 + h) 2 − 4(2 + h) + 3 = 4 + 4h + h 2 − 8 − 4h + 3 = h 2 − 1 , et d’autre part f (2 − h) = (2 − h) 2 − 4(2 − h) + 3 = 4 − 4h + h 2 − 8 + 4h + 3 = h 2 − 1 . Puisque f (2 + h) = f (2 − h) , on conclut que la courbe C f admet la droite ∆ d’équation x = 2 pour axe de symétrie 3) La division par x+2 implique x + 2 ≠ 0 donc D f = \ \ {−2} = ]−∞; −2[ ∪ ]−2; +∞[ Pour tout h ≠ 0 , on calcule 3 3 + 2 ( −2 − h ) − 3 − 2 ( −2 + h ) − 3 − f (−2 + h) + f (−2 − h) −2 + h + 2 −2 − h + 2 = 2 2 . 3 3 −4 + 2h − 3 − − 4 − 2h − 3 − − h = − 14 = −7 h = 2 2 f ( xΩ + h) + f ( xΩ − h) Ainsi = yΩ , ce qui prouve que le point Ω ( −2; −7 ) est centre de symétrie de la courbe C f 2 4) f est définie sur \ en tant que fonction polynôme, et pour tout h, 1 5 1 5 3 2 3 2 1 + h ) − (1 + h ) − 3 (1 + h ) + + (1 + h ) − (1 + h ) − 3 (1 + h ) + f (1 + h) + f (1 − h) 3 ( 3 3 3. = 2 2 On calcule séparément : 1 5 3 2 (1 + h ) − (1 + h ) − 3 (1 + h ) + 3 3 1 5 = (1 + 3h + 3h 2 + h3 ) − 3 (1 + 2h + h 2 ) − 3 − 3h + 3 3 1 3 = h − 4h − 2 3 et Page 2/3 Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr 1 5 3 2 (1 − h ) − (1 − h ) − 3 (1 − h ) + 3 3 1 5 = (1 − 3h + 3h 2 − h3 ) − (1 − 2h + h 2 ) − 3 + 3h + 3 3 1 3 = − h + 4h − 2 3 1 3 1 h − 4h − 2 + − h3 + 4h − 2 f (1 + h) + f (1 − h) 3 3 = −4 = −2 . = Ainsi, on simplifie 2 2 2 f ( xΩ + h) + f ( xΩ − h) = yΩ , ce qui prouve que le point Ω (1; −2 ) est centre de symétrie de la courbe C f Ainsi 2 5) f est définie sur \ en tant que somme de fonctions trigonométriques. Pour tout h, on calcule séparément : π π π f + h = cos 4 + h − 2 cos 2 + h 2 2 2 = ( − sin ( h ) ) − 2 ( − sin ( h ) ) = sin 4 ( h ) − 2sin 2 ( h ) 4 2 π π π − h = cos 4 − h − 2 cos 2 − h = sin 4 ( h ) − 2sin 2 ( h ) 2 2 2 π π π Puisque f + h = f − h , on en déduit que la droite ∆ d’équation x = est axe de symétrie de C f 2 2 2 et f Exercice n°2 1) La division par 1-x implique 1 − x ≠ 0 donc D f = \ \ {1} = ]−∞;1[ ∪ ]1; +∞[ 2) On calcule, pour tout h ≠ 0 , (1 + h ) − 7 (1 + h ) + 10 (1 − h ) − 7 (1 − h ) + 10 + 2 (1 − (1 + h ) ) 2 (1 − (1 − h ) ) 2 f (1 + h) + f (1 − h) = 2 2 h × ( h 2 − 5h + 4 ) − 2 h ( h 2 + 5 h + 4 ) = −4h 2 2 2 2 h 2 − 5h + 4 h 2 + 5h + 4 + −2h 2h = 2 −20h 2 2 f ( xΩ + h) + f ( xΩ − h) 5 = −4h = ; c’est-à-dire = yΩ . 2 2 2 5 Ceci prouve que le point Ω 1; est centre de symétrie de la courbe C f 2 Page 3/3