TÉLÉCHARGER Frankl
Transcription
TÉLÉCHARGER Frankl
Lambert ARSAC CRCG Conjecture de Frankl Une preuve Nous nous proposons ici d’énoncer puis de démontrer la conjecture de Frankl. Théorème 1 (1979) Pour toute famille finie d’ensembles finis (non vides), stable par unions, il existe un élément appartenant à au moins la moitié des ensembles de la famille. Démonstration : Soit donc n ∈ N>1 , et (Ei )16i6n une famille finie d’ensembles finis stable par union. Montrons que ∃x |{i ∈ [[1,n]], x ∈ Ei }| > n . 2 Pour la suite de cette démonstration, nous allons avoir besoin d’un lemme. Lemme 1 Pour une telle famille, ∃k ∈ [[1,n]] ∀i ∈ [[1,n]] ∀x ∈ Ei x ∈ Ek . Démonstration. En effet, la famille (Ei )16i6n est stable par union, donc n [ Ei ∈ (Ei )16i6n . i=1 Il existe donc k ∈ [[1,n]] tel que E1 ∪ · · · ∪ En = Ek . Donc ∀i ∈ [[1,n]] Ei ⊂ Ek , ce qui donne bien que ∀i ∈ [[1,n]] ∀x ∈ Ei x ∈ Ek . Ce qui conclut la preuve du lemme. Attaquons nous maintenant au théorème par récurrence. 1 Lambert ARSAC CRCG Notons pour tout n ∈ N>1 , P(n) l’assertion : "Pour toute telle famille à n éléments, il existe un élément appartenant à au moins la moitié des ensembles de la famille". On sait déjà que P(n) est vraie pour n 6 46 (Roberts - Simpson (2010) – http:// maths.curtin.edu.au/local/docs/simpson/TheUnion-closedSetsConjAJCversion. pdf). La propriété est donc très largement initialisée. Supposons P(n), montrons P(n + 1). Soit donc une famille à n + 1 éléments. Distinguons deux cas. ? Si n est impair : n = 2k + 1, k entier. On sait donc qu’il existe un élément x tel que |{i ∈ [[1,n]], x ∈ Ei }| > n/2 = k + 1/2. Or le cardinal est un nombre entier, il donc équivalent de dire que |{i ∈ [[1,n]], x ∈ Ei }| > k + 1. Or |{i ∈ [[1,n + 1]], x ∈ Ei }| > |{i ∈ [[1,n]], x ∈ Ei }| , et k + 1 = (2k + 2)/2 = (n + 1)/2. Donc |{i ∈ [[1,n + 1]], x ∈ Ei }| > n+1 . 2 Donc on a P(n + 1). ? Si n est pair : n = 2k, k entier. On a donc notre famille à n + 1 éléments (chaque élément étant un ensemble), et d’après le lemme, on sait qu’il existe α ∈ [[1,n]] tel que ∀i ∈ [[1,n + 1]] ∀x ∈ Ei x ∈ Eα . On considère alors la famille (Ei )i∈[[1,n+1]]\{α} . Or |[[1,n + 1]] \ {α}| = n, donc d’après l’hypothèse de récurrence, il existe x tel que x appartienne à au moins la moitié des ensembles. C’est à dire 2 Lambert ARSAC CRCG |{i ∈ [[1,n + 1]] \ {α}, x ∈ Ei }| > n . 2 Or x a été choisi de telle sorte (grâce au lemme), que x ∈ Eα ! Donc |{i ∈ [[1,n + 1]], x ∈ Ei }| > n n+2 n+1 +1= > . 2 2 2 Donc on a P(n + 1). Finalement, on a ∀n ∈ N>1 P(n) ⇒ P(n + 1), et on a P(n) pour 1 6 n 6 46. Donc on a ∀n ∈ N>1 ce qui conclut la démonstration. 3 P(n),