Inégalité triangulaire

Inégalité triangulaire
Définitions :
Si a ≤ b on dit que a est majoré par b. On dit aussi que b est minoré par a.
A
Lemmes
Démontrer les lemmes suivants :
• Lemme 1 (L1 ) : pour tout réel a, |a|2 = a2 .
• Lemme 2 (L2 ) : pour tout réel a, a ≤ |a|.
• Lemme 3 (L3 ) : si a et b sont deux réels positifs tels que a2 ≤ b2 , alors a ≤ b.
• Lemme 4 (L4 ) : si a ≤ b et −a ≤ b alors |a| ≤ b.
• Lemme 5 (L5 ) : si a est majoré par a0 alors a + b est majoré par a0 + b.
B
Applications
I. Majoration de |x + y|
On se propose de montrer que pour tous réels x et y :
|x + y| ≤ |x| + |y| (∆) .
On considére deux réels x et y.
1. Comparer |x + y|2 et (|x| + |y|)2.
(On pourra utiliser L1 puis L2 .)
2. Conclure avec L3 .
II. Cas d’égalité
Montrer que : |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0.
III. Minoration de |x + y|
On se propose de montrer que pour tous réels x et y :
| |x| − |y| | ≤ |x + y| .
On considère deux réels x et y.
1. Montrer en utilisant (∆) que :
|x − y| ≤ |x| + |y|.
2. À partir de x = (x + y) − y montrer que : |x| − |y| ≤ |x + y|.
3. Quel résultat obtient-on en échangeant les rôles de x et y ?
4. Conclure avec L4 .
IV. Deux applications de (∆)
1. Montrer que pour tous réels a, b, c :
(Utiliser L5 ).
|a − b| ≤ c ⇒ |a| ≤ |b| + c.
2. Montrer que pour tous réels x, y, z : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
1
A
L1
Proposons 3 méthodes :
• Par comparaison : |a|2 − a2 = ( |a| − a )( |a| + a ) = 0 donc |a|2 = a2 .
| {z } | {z }
=0 si a≥0
=0 si a≤0
• Par disjonction des cas :
Si a ≥ 0, |a| = a donc |a|2 = a2 .
Si a ≤ 0, |a| = −a donc |a|2 = (−a)2 = a2 .
• En utilisant la propriété : |ab| = |a| · |b| on a |a|2 = |a| · |a| = |a · a| = | |{z}
a2 | = a2 .
≥0
L2
Proposons 2 méthodes :
• Avec la propriété : |a| = max{a, −a} on a tout de suite le résultat.
Rq : on a aussi −a ≤ |a|.
• Par disjonction des cas :
Si a ≥ 0 alors |a| = a et donc a ≤ |a|.
Si a ≤ 0, comme |a| ≥ 0, on a alors |{z}
a ≤ |a| .
|{z}
−
+
L3 Proposons 3 méthodes :
• Par comparaison :
a2 − b2 = (a − b)(a + b) est ≤ 0. Or a + b est ≥ 0 donc a − b est ≤ 0. D’où a ≤ b.
• Par l’absurde :
Si on sait que la fonction x 7→ x2 est strictement croissante sur R+ , ce qui se traduit par
0 ≤ a < b ⇒ a2 < b2 ,
alors on peut raisonner comme suit :
Soit a et b deux réels positifs tels que a2 ≤ b2 . Supposons a > b. On aurait alors, puisque la fonction
x 7→ x2 est strictement croissante sur R+ , a2 > b2 . D’où une contradiction.
√
√
• En utilisant la monotonie de la fonction x 7→ x sur R+ et la propriété x2 = |x| :
√
√
0 ≤ a2 ≤ b2 ⇒ a2 ≤ b2 ⇒ |a| ≤ |b|,
et comme a et b sont positifs, on obtient alors a ≤ b.
L4
Proposons 2 méthodes :
• Avec la propriété : |a| = max{a, −a} on a tout de suite le résultat.
• Par disjonction des cas : Si a ≥ 0, |a| = a ≤ b et si a ≤ 0, |a| = −a ≤ b.
L5
Si a est majoré par a0 , i.e. si a ≤ a0 , il vient en ajoutant le même réel b aux deux membres :
a + b ≤ a0 + b. Donc a + b est majoré par a0 + b.
2
L
B I.1. |x+y|2 −(|x|+|y|)2 =1 (x+y)2 −(|x|2 +2|x|·|y|+|y|2) = (x2 +2xy +y 2 )−(x2 +2|xy|+y 2)
= 2(xy − |xy|) ≤ 0. Donc |x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2.
| {z }
≤0 (L2 )
2. |x + y| et |x| + |y| étant des réels positifs, il résulte du lemme 3 que |x + y| ≤ |x| + |y|. On a
donc montré (∆).
II. On sait que pour des réels positifs : a = b ⇔ a2 = b2 . Donc :
|x + y| = |x| + |y| ⇔ |x + y|2 = (|x| + |y|)2 ⇔ · · · ⇔ 2xy = 2|xy| ⇔ xy = |xy| ⇔ xy ≥ 0.
Justifions la dernière équivalence :
⇒ le réel xy étant égal à un réel positif, il est donc positif.
⇐ le réel xy étant positif, il est égal à sa valeur absolue.
(∆)
III.1. |x − y| = |x + (−y)| ≤ |x| + | − y| = |x| + |y|.
1.
2. |x| = |(x + y) − y| ≤ |x + y| + |y|. Donc |x| − |y| ≤ |x + y|.
3. En échangeant les rôles de x et y dans la relation précédente on obtient : |y| − |x| ≤ |y + x|,
i.e. |y| − |x| ≤ |x + y|, i.e. encore −(|x| − |y|) ≤ |x + y|.
4. Compte tenu de 2. et de 3. il résulte alors du lemme 4 que ||x| − |y|| ≤ |x + y|.
(∆)
L5
IV.1. |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| +|b| ≤ c + |b|. Donc |a| ≤ |b| + c.
| {z }
≤c
2. Puisque x − z = (x − y) + (y − z) il vient :
(∆)
d(x, z) = |x − z| = |(x − y) + (y − z)| ≤ |x − y| + |y − z| = d(x, y) + d(y, z).
Donc d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire).
3