Champs de vecteurs

Chap 46
Champs de vecteurs
1
1.1
Champs de vecteurs de
R2
Définition
~ : U
Définition. Soit U une partie de R2 . On appelle champ de vecteur défini sur U une application V
Ñ R2 :
@px, yq P U, V~ px, yq pP px, yq, Qpx, yqq
Représentation graphique.
Propriété. Si cette application est de classe C1 , alors elle possède en tout point une différentielle, qui est un
endomorphisme de R2 représenté dans la base canonique par la matrice jacobienne :
BP BP Bx By
J BQ BQ
Bx By
1.2
Champ de gradient
Cadre. On s’intéresse au cas particulier suivant :
ÝÝÑ
Si f P C2 pU, Rq, alors sont gradient gradf BBfx , BBfy est un champ de vecteurs, dont la matrice jacobienne
est :
B2 f B2 f
B x2 B y B x J 2
B f B2 f
B xB y B y 2
Remarque.
Problème. Est-ce que réciproquement, tout champ de vecteurs dont la matrice jacobienne est symétrique est-il
un champ de gradient ?
Réponse.
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Chap 46 – Champs de vecteurs
Définition. Soit U un ouvert de R2 . On dit que U est étoilé si et seulement si il existe A
@M P U, rAM s € U .
Interprétation graphique.
Exemple. Les parties suivantes sont-elles étoilées ?
P
U tel que
(a) Une partie convexe
(b)
(c)
R2 r tp0, 0qu
R2 , privé d’une demi-droite.
Théorème (de Poincaré).
~ un champ de vecteurs de classe C1 , V
~ px, y q pP px, y q, Qpx, y qq.
Soit V
~
Si sa matrice jacobienne est symétrique (c’est-à-dire BBPy BBQ
x ) sur U un ouvert étoilé, alors V est un
ÝÝÑ
~ gradpf q, soit :
champ de gradient sur U , c’est-à-dire qu’il existe f P C2 pU, Rq telle que V
@px, yq P U, P px, yq BBfx
Qpx, y q et
Bf
By
~ , et que le champ V
~ dérive d’un
Définition. On dit dans ce cas que f est un potentiel scalaire du champ V
potentiel scalaire.
Exemple. Le champ de vecteur défini sur R2 r tp0, 0qu par :
~ px, y q V
y
x2
,
y 2 x2
x
y2
dérive-t-il d’un potentiel scalaire ?
1.3
Intégrale curviligne, circulation d’un champ de vecteurs
~ un champ de vecteurs de classe C1 sur U ouvert de R2 . Soit Γ une courbe de U paramétrée
Définition. Soit V
~ sur Γ l’intégrale :
par prt0 , t1 s, ~γ q. On appelle circulation du champ V
»
~
V
Γ
Remarque. Expression de
on a :
» t1 A
t0
E
~ p~γ ptqq~γ 1 ptq dt
V
³ ~
~
Γ V : Avec les notations usuelles V px, y q pP px, y q, Qpx, y qq et γ ptq pxptq, y ptqq,
»
» t1
~
V P pxptq, y ptqq x1 ptq Qpxptq, y ptqq y 1 ptq dt
Γ
t0
Propriété. Cette intégrale est indépendante du choix du paramétrage de Γ, au signe près (sens de parcours)
Notation. On étend les notations différentielles en posant dx x1 ptqdt et dy y 1 ptqdt, ce qui conduit à
l’écriture :
»
»
~
V P px, y q dx Qpx, y q dy
Γ
Γ
Remarque. Ce n’est qu’une notation commode pour parler de circulation d’un champ de vecteur sur Γ. À la
vue de cette notation, on paramètre
³ immédiatement Γ et on revient à la notation précédente.
Exemple. Calculer la circulation Γ ydx xdy où Γ est le cercle unité parcouru dans le sens direct.
Exemple. On reprend l’exemple précédent
~ px, y q V
y
x2
,
y 2 x2
x
y2
On note :
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(a) Γ1 le cercle de centre O et de rayon r ;
(b) Γ2 le carré de centre O, de cotés parallèles aux axes de longueur 2 ;
~ le long de Γi .
Déterminer la circulation de V
1.4
Circulation d’un champ de gradient
Théorème.
Soit f : U Ñ R. La circulation sur Γ du champ de gradient de f ne dépend que de la valeur de f
aux extrémités de Γ, et non de la courbe joignant ces deux points.
Corollaire. La circulation d’un champ de gradient sur une courbe fermée est nulle.
~ est un champ de vecteurs de classe C1 sur U ouvert étoilé, dont la matrice jacobienne est
Corollaire. Si V
~ entre deux points ne dépend pas du chemin restant dans U pour relier ces
symétrique, alors la circulation de V
deux points.
~ sur toute courbe fermée incluse dans U est nulle.
En particulier, la circulation de V
Exemple. On reprend l’exemple précédent
~ px, y q V
y
x2
,
y 2 x2
x
y2
On note :
(a) Γ1 le cercle de centre O et de rayon r ;
(b) Γ3 le cercle de centre A p2, 0q et de rayon 1.
~ le long de Γi .
Que dire de la circulation de V
2
2.1
Formule de Green-Riemann
La formule
Théorème (Formule de Green-Riemann).
Soit U une partie bornée de R2 délimitée par une courbe Γ simple, fermée, de classe C1 , parcourue
dans le sens direct.
~ pP, Qq un champ de vecteur sur U . Alors :
Soit V
»
P dx
Q dy
Γ
¼
U
BQ BP dxdy
Bx By
Remarque.
2.2
Application aux calculs d’aires
Propriété. Soit U une partie bornée de
dans le sens direct. Alors :
R2
A pU q délimitée par une courbe Γ simple, fermée, de classe C1 , parcourue
»
Γ
y dx »
x dy
Γ
1
2
»
Γ
y dx
x dy
Exemple. Déterminer l’aire de l’ellipse.
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Propriété. En coordonnées polaires : Soit U une partie bornée de R2 délimitée par une courbe Γ simple, fermée,
de classe C1 , parcourue dans le sens direct.
On suppose Γ paramétrée en coordonnées polaires par ρ ρpθq. Alors :
A pU q 1
2
»
ρ2 dθ
Γ
Exemple. Aire de l’intérieur de la cardioı̈de.
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»
Γ
px2 yqdx py2
Calculer l’intégrale curviligne :
xqdy
³
Montrer que les intégrales curvilignes suivantes ne dépendent
³
Soit U
dx
y2
dy
x2
I
xy dxdy
x2
a2
y2
b2
¤ 1u et
champsvecteurs_2.tex
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(c) Calculer I en utilisant la formule de Green-Riemann.
(b) Calculer I par un changement de variables adapté ;
U
¼
tpx, yq t.q. x ¥ 0, y ¥ 0,
y2
y2
p q dx 2xy dy
2x
Γ y
Γ
x2
(a) Calculer I directement ;
46.3
(b)
(a)
que des extrémités de l’arc Γ. Les calculer en fonctions des coordonnées
des extrémités :
46.2
champsvecteurs_1.tex
sur différents arcs Γ d’extrémités A p1, 1q et B p1, 1q.
46.1
Soit U
I
px
y q dxdy
y2
¤ 1u et
champsvecteurs_3.tex
Γ
px yq dx
x2 y 2
px
x2
yq
dy
y2
(c) Commenter le résultat.
champsvecteurs_5.tex
(b) lorsque Γ est le carré de diagonale A p1, 1q, C p1, 1q parcouru
dans le sens direct.
»
Calculer l’intégrale curviligne suivante :
(a) lorsque Γ est le cercle de centre O, de rayon 1, parcouru dans le
sens direct ;
46.5
champsvecteurs_4.tex
(c) Calculer I en utilisant la formule de Green-Riemann.
(b) Calculer I par un changement de variables adapté ;
U
¼
tpx, yq t.q. x ¥ 0, y ¥ 0,
(a) Calculer I directement ;
46.4
x2
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