Intégrales curvilignes et Formule de Green

Chapitre 1
Intégrales curvilignes.
1.1
1.1.1
Généralités
Courbes paramétrées dans le plan.
Motivations, exemples. L’exemple basique de courbe est la trajectoire décrite par
un objet assimilée à un point matériel (son centre de gravité) qui se déplace au cours
du temps t sur un plan.
Courbes paramétrées et courbes géométriques.
Définition 1.1.1.1. Soit D un sous-ensemble de R2 .
On appelle courbe paramétrée dans D une application γ : t 7→ γ(t) = (x(t), y(t))
définie sur un intervalle [a, b] ⊂ R et à valeurs dans D.
L’image de γ c’est à dire le sous-ensemble de D défini par
{γ(t) , t ∈ [a, b]}
est la courbe géométrique associée à γ, il s’agit de la trajectoire décrite par le point
γ(t).
On identifie souvent l’application γ à son image et on parle simplement de la courbe
γ.
Le point γ(a) est appelé l’origine de γ et le point γ(b) est appelé l’extrémité de γ.
La courbe γ est dite fermée lorsque γ(a) = γ(b).
Courbe inverse et juxtaposition.
On appelle courbe inverse la courbe paramétrée γ − : [a, b] → R2 définie par :
γ − (t) = γ(a + b − t). (C’est la courbe γ parcourrue en sens inverse).
Soient γ1 : [a, b] → R2 et γ2 : [b, c] → R2 deux courbes paramétrées telles que
γ1 (b) = γ2 (b). On appelle juxtaposition des courbes γ1 et γ2 la courbe paramétrée
γ1 ∨ γ2 : [a, c] → R2 définie par : γ( t) = γ1 (t) si t ∈ [a, b] et γ( t) = γ2 (t) si t ∈ [b, c].
(C’est la courbe constituée des courbes γ1 et γ2 parcourrues l’une après l’autre).
1
2
CHAPITRE 1. INTÉGRALES CURVILIGNES.
Exemples.
Paramétrisation des droites et des segments.
La droite (AB) a pour représentation paramétrique :
−
→ + xA
x(t) = t.x−
AB
−
→ + yA
y(t) = t.y−
AB
, t ∈ R.
La segment [A, B] parcourru de A à B a pour représentation paramétrique :
−
→ + xA
x(t) = t.x−
AB
−
→ + yA
y(t) = t.y−
AB
, t ∈ [0, 1].
Cercles.
Soit R un réel strictement positif fixé, l’application γ : [0, 2π] → R2 définie par
x(t) = R. cos t
y(t) = R. sin t
est une paramétrisaton du cercle de centre (0, 0) et de rayon R.
Vecteur tangent.
Dans la suite de ce chapitre, nous supposerons les courbes de classe C 1 (ou C 1 par
morceaux, c’est à dire juxtaposition d’un nombre fini de courbes C 1 ).
Proposition 1.1.1.2. Le vecteur γ 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)) est le vecteur tangent à la courbe
γ au point γ(t).
Lorsque γ(t) décrit la trajectoire d’un point matériel, le vecteur γ 0 (t) est le vecteur
vitesse.
Nous verrons dans la suite comment déterminer la longueur d’une courbe.
1.1.2
Champs de vecteurs.
Définitions.
Soit D un sous-ensemble de R2 . Un champ de vecteurs sur D est une application
→
−
F qui à un point (x, y) de D fait correspondre un vecteur de R2 , autrement dit :
→
−
F :
D
→
R2
→
−
→
−
→
−
(x, y) 7→ F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j = (P (x, y), Q(x, y))
où P et Q sont des fonctions de 2 variables définies sur D, appelées les compo→
−
santes de F .
→
−
→
−
→
−
Un champ de vecteurs F = P i + Q j sur D est de classe C 1 sur D si P et Q
sont des fonctions C 1 sur D.
1.2. INTÉGRALE D’UN CHAMP DE VECTEURS LE LONG D’UN CHEMIN OU INTÉGRALE CURVILIGNE.3
Exemples.
Le champ de gradient d’une fonction f .
Nous avons vu dans la première partie du cours qu’à une fonction numérique f
de deux variables (x, y) qui est de classe C 1 sur D, on peut associer son champ de
gradient. C’est le champ de vecteur :
(
D
→
R2
−−−→
−−−→
→
−
→
−
gradf :
∂f
∂f
∂f
(x, y) 7→ gradf (x, y) = ∂f
∂x (x, y) i + ∂y (x, y) j = ( ∂x (x, y), ∂y (x, y))
→
−
Le champ de gradient de f est aussi noté : ∇f ou ∇f .
Le champ radial.
→
−
→
−
→
−
Le champ de vecteurs défini sur R2 par : F (x, y) = x i + y j est appelé champ
radial.
1.2
Intégrale d’un champ de vecteurs le long d’un chemin ou intégrale curviligne.
Hypothèses :
→
−
→
−
→
−
Soit F = (P, Q) = P i + Q j un champ de vecteurs défini et C 1 sur un sousensemble D de R2 .
Soit γ : [a, b] → D, γ(t) = (x(t), y(t)) une courbe paramétrée de D, C 1
1.2.1
Définitions.
→
−
l’intégrale (curviligne) de F le long de γ est par définition :
Z
γ
Z
=
→
−
F :=
Z
b
→
−
< F (γ(t)), γ 0 (t) > dt =
a
b
(P (x(t), y(t)).x0 (t) + Q(x(t), y(t)).y 0 (t)) dt.
a
→
−
→
−
où < F (γ(t)), γ 0 (t) > représente le produit scalaire entre le vecteur F (γ(t)) et le
0
vecteur vitesse γ (t).
Remarque 1.2.1.1.
R →
R →
−
−
−→
F est parfois notée γ F dl , pour bien préciser que l’on intègre le long d’un
γ
courbe.
→
−
En physique, cette quantité s’appelle aussi la circulation de F le long de γ ou
→
−
encore le travail de F le long de γ
R →
H →
−
−
Lorsque γ est fermée, γ F est notée γ F .
4
CHAPITRE 1. INTÉGRALES CURVILIGNES.
1.2.2
Notation différentielle.
R
P dx + Qdy
γ
Elle se calcule en remplaçant :
R
Rb
par a ,
γ
x par x(t) et y par y(t),
dx par d(x(t)) = x0 (t)dt et dy par d(y(t)) = y 0 (t)dt
Exemple 1.2.2.1. Calculer
R −
→ −
→
−
→ −
→
→ −
γ F d γ où F (x, y) = x i +y j et γ :

[0, 1]
t
R
=.

R −
→ → −
→
−
→
−
→
[0, 2π]
Calculer γ F d−
γ où F (x, y) = −y i + x j et γ :
t
R
Solution : γ = 2π.
Solution :
1.2.3
→ R2
7→ (x(t) = t, y(t) = 2t)
γ
→ R2
7→ (x(t) = cos t, y(t) = sin t)
Propriétés.
Proposition 1.2.3.1.
R R →
−
1. Indépendance du paramétrage : γ γ1 F ne dépend que de la courbe géométrique
associée à γ et de son sens de parcours.
R →
R →
−
−
2. γ − F = − γ F .
R →
R
−
− R →
→
−
3. γ1 ∨γ2 F = γ1 F + γ2 F .
0
(t)
est le champs tangent
4. Longueur d’une courbe : Lorsque F (γ(t)) = ||γγ 0 (t)||
q
Rb
R →
−
unitaire à γ alors γ F = a x0 2 (t) + y 0 2 (t)dt = l(γ) la longueur de γ.
1.3
Champs dérivant d’un potentiel.
→
−
Un champ de vecteurs F sur D est dit conservatif ou dérivant d’un potentiel s’il
est le gradient d’une fonction numérique f définie sur D. C’est à dire s’il existe une
→
−
→
−
fonction f telle que F = ∇f . Dans ce cas, f est appelée une fonction potentiel de F .
1.3.1
Propriétés.
Proposition 1.3.1.1.
Soient γ : [a, b] → D un chemin C 1 et f : D → R une fonction C 1 .
R −−→
1. γ gradf = f (γ(b)) − f (γ(a)).
Autrement dit, l’intégrale ne dépend pas du chemin choisi pour aller de γ(a) à
γ(b).
R −−→
2. Si de plus γ est fermée, alors γ gradf = 0.
1.4. CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE CURVILGNE. 5
Proposition 1.3.1.2. Réciproquement si
dérive d’un potentiel.
R →
−
→
−
F = 0, pour tout chemin fermé γ alors F
γ
Ce critère ne permet, en général pas de montrer qu’un champ dérive d’un potentiel.
→
−
Il sert à montrer qu’un champ F ne peut pas dériver d’un potentiel : pour celà il suffit
R →
−
de trouver un chemin fermé γ1 tel que γ1 F 6= 0.
→
−
Proposition 1.3.1.3. Si F = (P, Q) champ C 1 sur D dérive d’un potentiel alors
∂Q
∂P
∂y = ∂x sur D.
Cette proposition résulte du théorème de Schwarz et sa réciproque n’est vraie que
sur des domaines d’un type particulier : les domaines simplement connexes.
1.3.2
CNS sur les domaines simplement connexes.
Définitions.
Un chemin fermé γ : [a, b] → R2 est dit simple si γ(t1 ) 6= γ(t2 ) pour tout t1 6= t2
sauf lorsque {t1 , t2 } = {a, b}. Autrement dit la courbe γ ne se recoupe pas.
Un sous-ensemble de R2 est dit simplement connexe si tout chemin fermé dans D
n’entoure que des points de D. Autrement dit, D n’a pas de trous.
Exemples.
Sont simplement connexes : R2 , les convexes : en particulier les disques et polygones convexes.
CNS : Théorème de Poincaré
→
−
Theorème 1.3.2.1. F = (P, Q) champ C 1 sur D simplement connexe dérive d’un
∂Q
potentiel ssi ∂P
∂y = ∂x sur D.
Remarque : ce théorème permet de montrer qu’un champ dérive d’un potentiel,
mais il n’indique pas comment procéder pour déterminer sa (ses) fonction(s) potentiel(s).
Exemple.
→
−
→
−
Soit F = (3 + 2xy, x2 − 3y 2 ) un champ sur R2 . Mobtrer que F dérive d’un
potentiel. Puis calculer sa (ses) fonction(s) potentiel(s).
1.4
Changement de variables dans une intégrale curvilgne.
Soit Φ :
∆
→
D
un C 1 -difféomorphisme.
(u, v) 7→ (x = x(u, v), y = y(u, v))
6
CHAPITRE 1. INTÉGRALES CURVILIGNES.
R
Pour changer de variables dans
On
:
R remplace
R
par
−1
γ
φ ◦γ
x par x(u, v) et y par y(u, v),
∂x
dx par dx = ∂u
du + ∂x
∂v dv
∂y
∂y
dy par dy = ∂u du + ∂v dv.
γ
P dx + Qdy
Exemple.
Passage en polaires.
1.5
Formule de Green-Riemann. Liens avec les intégrales
doubles.
R →
−
La formule de Green (ou de Green-Riemann) établit une relation entre γ F , où
ZZ
γ est une courbe fermée simple et une intégrale double
f (x, y)dxdy, où D est
D
le domaine intérieur à γ. Ce théorème est à voir comme un analogue du théorème
fondamental du calcul intégral pour les fonctions d’une variable.
1.5.1
Formule de Green.
Theorème 1.5.1.1.
Soient :
1. γ une courbe paramétrée C 1 par morceaux du plan R2 , fermée, simple et orientée
dans le sens trigonométrique,
2. D le domaine intérieur de γ (qui se trouve alors sur la gauche lorsqu’on parcourt
γ dans le sens trigonométrique),
→
−
3. F = (P, Q) un champ de vecteurs C 1 (par morceaux) sur D.
Alors
I
ZZ
P dx + Qdy =
γ
(
D
∂Q ∂P
−
)dxdy
∂x
∂y
Exemple 1.5.1.2. Calculer en utilisant la formule de Green :
[0, 1] × [0, 1] parcouru dans le sens trigonométrique.
H
Solution : Γ = 12
1.5.2
H
Γ
x2 dx + xydy, où Γ est le bord du carré
Applications.
Aire d’un domaine D.
ZZ
Aire(D) =
dxdy =
D
1
2
I
−ydx + xdy
∂D
En effet, si on applique la formule de Green avec P (x, y) = −y et Q(x, y) = x on
∂P
trouve ∂Q
∂x = 1 et ∂y = −1.
1.5. FORMULE DE GREEN-RIEMANN. LIENS AVEC LES INTÉGRALES DOUBLES.7
Exemple 1.5.2.1. Calculer, en utilisant la formule de Green, l’aire de l’ellipse pleine (E) :
x2
a2
+
y2
b2
≤ 1.
Solution : Le bord de (E) est paramétrisée par γ(t) = (x(t) = a cos t, y(t) = b sin t), t ∈ [0, 2π]. Ainsi,
I
Z 2π
−ydx + xdy =
(−b sin t(−a sin t) + a cos t(b cos t))dt = ... = 2πab
γ
0
Par conséquent, Aire (E) = πab.
1.5.3
Forme vectorielle des Théorèmes de Green et Poincaré.
Définition-Notation.
→
−
On note rot F = ∂Q
∂x −
∂P
∂y
→
−
, le rotationnel dans le plan R2 d’un champ F , C 1 .
Forme vectorielle du Théorème de Green.
Theorème 1.5.3.1. Soit D un sous-ensemble de R2 dont le bord est une courbe C +
→
−
fermée simple C 1 par morceaux orientée dans le sens trigonométrique. Soit F un
champ de vecteurs de classe C 1 (par morceaux) sur D. Alors :
Z
ZZ
→
−
→
−
F =
rot F dxdy
γ
D
On peut aussi écrire une :
Forme vectorielle du Théorème de Poincaré
→
−
Theorème 1.5.3.2. F = (P, Q) champ C 1 sur D simplement connexe dérive d’un
→
−
potentiel ssi rot F = 0 sur D.
1.5.4
Extension de la formule de Green.
La formule de Green s’étend aux domaines D dont le bord est formé d’un nombre
fini de courbes fermées simples deux à deux disjointes : Ci , i = 1, ..., p.
Les courbes Ci sont orientées de sorte que le domaine D se trouve toujours sur la
gauche lorsqu’on les parcourt suivant cette orientation.
→
−
La formule de Green pour un champ de vecteurs F = (P, Q) C 1 (par morceaux)
sur D, s’écrit :
Theorème 1.5.4.1.
ZZ
ZZ
p Z
X
→
−
→
−
∂Q ∂P
F =
(
−
)dxdy =
rot F dxdy
∂x
∂y
D
D
i=1 Ci