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Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 1 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 2 / 62 Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Nous ne pouvons pas, à notre niveau, donner une définition rigoureuse d’un vecteur du plan. Disons que concrètement, un vecteur est un ensemble de segments orientés ayant la même direction, le même sens et la même longueur : isabelle pilard () Vecteurs février 2012 3 / 62 F E D B C A isabelle pilard () Vecteurs février 2012 4 / 62 A retenir Le segment orienté de A vers B est un représentant d’un vecteur. Ce Vecteur est défini par une direction : celle de la droite (AB) ; un sens : celui de A vers B ; une norme : qui est égale à la longueur AB. −→ Ce vecteur est noté AB Un vecteur peut être représenté par une infinité de segments orientés et donc noté de différentes façons. −→ −→ −→ Sur le schéma précédent, on a AB = CD = EF isabelle pilard () Vecteurs février 2012 5 / 62 attention ! − → −→ il ne faut pas confondre sens et direction : par exemple HI et AB ont la même direction (car les droites (AB) et (IH) sont parallèles) mais n’ont pas le même sens. B H A I isabelle pilard () Vecteurs février 2012 6 / 62 À retenir −→ −→ −→ Les vecteurs AB, CD et EF sont les représentants d’un même vecteur car ils ont même sens, même direction et même norme : on peut donc désigner ce vecteur par un nom unique, par exemple ~ d. −→ La norme du vecteur AB est égale à la longueur AB. −→ Pour désigner la norme de ~ d = AB, on utilise la notation k~ d k. On a k~ d k = AB = CD = EF isabelle pilard () Vecteurs février 2012 7 / 62 Remarque −→ −→ AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme D ~u C ~u B A Remarque −→ −→ −→ −→ AB = CD si et seulement si AC = BD isabelle pilard () Vecteurs février 2012 8 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 9 / 62 Somme de vecteurs je me déplace de A vers B puis de B vers C ; globalement, je suis parti de A et je suis arrivé en C ~u B ~v A ~u +~v C isabelle pilard () Vecteurs février 2012 10 / 62 C’est en fait la Relation de C HASLES Definition Pour tous points du plan, A, B et C −→ −→ −→ AB + BC = AC isabelle pilard () Vecteurs février 2012 11 / 62 C’est en fait la Relation de C HASLES Definition Pour tous points du plan, A, B et C −→ −→ −→ AB + BC = AC Mais qu’en est-il de cette somme lorsqu’on considère deux vecteurs quelconques → − → − u et v ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 11 / 62 Il suffit de prendre des représentants de ~ u et ~ v bien choisis : ~u ~v ~u B ~v A ~u +~v C isabelle pilard () Vecteurs février 2012 12 / 62 somme de vecteurs On peut aussi penser à la règle du parallélogramme. E ~u +~v C ~u ~v B A isabelle pilard () Vecteurs février 2012 13 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 14 / 62 Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Je pars de A, je vais en B et je retourne en A ; d’après la relation de C HASLES : −→ −→ −→ AB + BA = AA −→ Que peut-on dire de ce vecteur AA ? Quelle est sa norme ? Quelle est sa direction ? Quel est son sens ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 15 / 62 On appelle ce vecteur de norme nulle le vecteur nul et on le note ~0. Si on considère un vecteur ~ u, on peut toujours trouver un vecteur de même direction, de même norme et de sens opposé : quand on l’ajoute à ~ u, on obtient le vecteur nul. Autrement dit, pour tout vecteur ~ u, il existe un vecteur ~ v tel que ~ u +~ v =~0 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 16 / 62 On l’appelle le vecteur opposé de ~ u et on le note −~ u B → − u A N → − −u M isabelle pilard () Vecteurs février 2012 17 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 18 / 62 produit d’un vecteur par un nombre réel Soit ~ u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Alors on note k .~ u le vecteur ayant la même direction que ~ u; ayant le même sens que ~ u si k > 0, le sens contraire sinon ; ayant pour norme k k~ u k si k > 0 et −k k~ u k sinon. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 19 / 62 3~ u −2~u ~u −3~u −4~u 3 ~u 2 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 20 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 21 / 62 définition de vecteurs colinéaires A retenir pour k 6= 0, ~ u et k~ u ont la même direction. Réciproquement, si deux vecteurs non nuls ~ u et ~ v ont la même direction, alors il existe un réel k tel que ~ v = k~ u. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 22 / 62 définition de vecteurs colinéaires A retenir pour k 6= 0, ~ u et k~ u ont la même direction. Réciproquement, si deux vecteurs non nuls ~ u et ~ v ont la même direction, alors il existe un réel k tel que ~ v = k~ u. Si deux vecteurs non nuls ~ u et ~ v ont la même direction et le même sens, alors le k~v k ~u vecteur k~u k a le même sens que ~ v (car . . . a la même direction que ~ v (car . . . a la même norme que ~ v (car . . . k~ v k → − ~u par conséquent v = k~u k isabelle pilard () Vecteurs février 2012 22 / 62 Definition On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Le vecteur ~0 est, par convention, colinéaire à tout vecteur. théorème Deux vecteurs non nuls ~ u et ~ v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que ~ v = k~ u isabelle pilard () Vecteurs février 2012 23 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 24 / 62 A retenir Montrer que deux vecteurs sont colinéaires sert à prouver que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. −→ −→ −→ −→ −→ −→ Deux vecteurs AB et CD sont colinéaires si et seulement si, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Deux vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement si, les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Or, a . Et donc Deux vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement si, les points A, B et C sont alignés a. D’après un des axiomes d’Euclide qui est la base de la géométrie euclidienne : ¿ par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule À isabelle pilard () Vecteurs février 2012 25 / 62 attention ! Vous ferez bien attention à parler de vecteurs colinéaires , les mots vecteurs et parallèles ne peuvent pas être associés ! Deux droites peuvent être parallèles si elles ont tous leurs points ou aucun point en commun. On ne peut pas dire la même chose des vecteurs car les vecteurs . . .n’ont pas de points ! Un vecteur n’est pas un ensemble de points comme les droites. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 26 / 62 Qu’est ce que le plan vectoriel ? Disons que c’est l’ensemble des vecteurs du plan. Dans le plan, on peut repérer les points lorsque le plan est muni d’un repère. Dans le plan vectoriel, on repère les vecteurs lorsque le plan est muni d’une base. Definition Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 27 / 62 Et on admettra le résultat primordial suivant : théorème Soit~i et~j deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut exprimer n’importe quel vecteur ~ u sous la forme ~u = x~i + y~j avec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de ~ u dans la BASE (~i ,~j ) isabelle pilard () Vecteurs février 2012 28 / 62 Exemple : ~j ~i ~u → − D’après la construction les coordonnés de u dans la base ~i ;~j sont ¡ ¢ (5; −2, 5) isabelle pilard () Vecteurs février 2012 29 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 30 / 62 Nous retiendrons qu’il sera utile d’exprimer chaque vecteur d’un problème donné en fonction de deux vecteurs de base intelligemment choisis... Definition u et ~ v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Soit ~ On peut exprimer n’importe quel vecteur ~ w sous la forme ~ w = x~ u + y~ v avec x et y des réels. On dit que l’on a écrit le vecteur ~ w comme combinaison linéaire des vecteurs ~ u et ~v . isabelle pilard () Vecteurs février 2012 31 / 62 Maintenant, pour repérer un point, on choisira une origine fixe et deux vecteurs de base. Au collège, on définit un repère à l’aide de trois points non alignés Au lycée, on définit un repère à l’aide d’un point et d’une base ~j O ~i isabelle pilard () Vecteurs février 2012 32 / 62 coordonnées d’un point dans un repère Théorème Dire que le point M a pour coordonnées (x , y ) dans le repère (O ;~i ;~j ) signifie que −−→ OM = x~i + y~j On appelle x l’abscisse de M et y son ordonnée isabelle pilard () Vecteurs février 2012 33 / 62 −→ Coordonnées du vecteur AB Dans le plan muni d’un repère (O ,~i ,~j ) , on donne deux points A et B de coordonnées respectives (xA , yA ) et (xB , yB ). A a pour coordonnées (xA , yA ), donc par définition ... −→ ... OA = xA~i + yA~j De même, on obtient pour B ... −→ ... OB = xB~i + yB~j isabelle pilard () Vecteurs février 2012 34 / 62 −→ −→ −→ −→ −→ D’après la relation de Chasles, AB = AO + OB = OB − OA ; on en déduit : à retenir −→ Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ) isabelle pilard () Vecteurs février 2012 35 / 62 Combinaison linéaire de vecteurs Dans un repère (O ,~i ,~j ) , nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : exemple µ ¶ 2 ~u 3 µ ¶ 9 ~ w 4 Quelles sont les coordonnées de 2~ u −~ w? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 36 / 62 Combinaison linéaire de vecteurs Dans un repère (O ,~i ,~j ) , nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : exemple µ ¶ 2 ~u 3 µ ¶ 9 ~ w 4 Quelles sont les coordonnées de 2~ u −~ w? ~u = 2~i + 3~j, donc 2~u = 4~i + 6~j ~ w = 9~i + 4~j, donc −~ w = −9~i − 4~j isabelle pilard () Vecteurs février 2012 36 / 62 Combinaison linéaire de vecteurs Dans un repère (O ,~i ,~j ) , nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : exemple µ ¶ 2 ~u 3 µ ¶ 9 ~ w 4 Quelles sont les coordonnées de 2~ u −~ w? ~u = 2~i + 3~j, donc 2~u = 4~i + 6~j ~ w = 9~i + 4~j, donc −~ w = −9~i − 4~j Finalement 2~ u −~ w = 4~i + 6~j − 9~i − 4~j = −5~i + 2~j isabelle pilard () Vecteurs février 2012 36 / 62 Combinaison linéaire de vecteurs Dans un repère (O ,~i ,~j ) , nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées : exemple µ ¶ 2 ~u 3 µ ¶ 9 ~ w 4 Quelles sont les coordonnées de 2~ u −~ w? ~u = 2~i + 3~j, donc 2~u = 4~i + 6~j ~ w = 9~i + 4~j, donc −~ w = −9~i − 4~j Finalement 2~ u −~ w = 4~i + 6~j − 9~i − 4~j = −5~i + 2~j On observe donc que, sur cet exemple, x2~u −~w = 2x~u − x~w isabelle pilard () y2~u −~w = 2y~u − y~w Vecteurs février 2012 36 / 62 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n’importe quel combinaison de vecteurs. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 37 / 62 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n’importe quel combinaison de vecteurs. µ ¶ x ~u ~u y~u isabelle pilard () µ ¶ x~w ~ w y~w Vecteurs février 2012 37 / 62 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n’importe quel combinaison de vecteurs. µ ¶ x ~u ~u y~u µ ¶ x~w ~ w y~w u + b~ w , avec a et b des nombres réels Quelles sont les coordonnées du vecteur a~ fixés. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 37 / 62 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n’importe quel combinaison de vecteurs. µ ¶ x ~u ~u y~u µ ¶ x~w ~ w y~w u + b~ w , avec a et b des nombres réels Quelles sont les coordonnées du vecteur a~ fixés. ¡ ¢ ¡ ¢ a~ u + b~ w = a x~u~i + y~u~j + b x~w~i + y~w~j isabelle pilard () Vecteurs février 2012 37 / 62 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n’importe quel combinaison de vecteurs. µ ¶ x ~u ~u y~u µ ¶ x~w ~ w y~w u + b~ w , avec a et b des nombres réels Quelles sont les coordonnées du vecteur a~ fixés. ¡ ¢ ¡ ¢ a~ u + b~ w = a x~u~i + y~u~j + b x~w~i + y~w~j = ax~u~i + ay~u~j + bx~w~i + by~w~j isabelle pilard () Vecteurs février 2012 37 / 62 Il reste à prouver que cela reste vrai pour n’importe quel combinaison de vecteurs. µ ¶ x ~u ~u y~u µ ¶ x~w ~ w y~w u + b~ w , avec a et b des nombres réels Quelles sont les coordonnées du vecteur a~ fixés. ¡ ¢ ¡ ¢ a~ u + b~ w = a x~u~i + y~u~j + b x~w~i + y~w~j = ax~u~i + ay~u~j + bx~w~i + by~w~j = (ax~u + bx~w )~i + (ay~u + by~w )~j isabelle pilard () Vecteurs février 2012 37 / 62 théorème Le vecteur a~ u + b~ w a pour coordonnées (ax~u + bx~w , ay~u + by~w ) isabelle pilard () Vecteurs février 2012 38 / 62 Coordonnées du milieu d’un segment Soit I le milieu d’un segment [A ; B ]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 39 / 62 Coordonnées du milieu d’un segment Soit I le milieu d’un segment [A ; B ]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I ? − → Qui dit coordonnées de I dans (O ,~i ,~j ) dit coordonnées de OI dans la base (~i ,~j ). isabelle pilard () Vecteurs février 2012 39 / 62 Coordonnées du milieu d’un segment Soit I le milieu d’un segment [A ; B ]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I ? − → Qui dit coordonnées de I dans (O ,~i ,~j ) dit coordonnées de OI dans la base (~i ,~j ). − → −→ −→ Il faudrait donc essayer de relier OI avec OA et OB... isabelle pilard () Vecteurs février 2012 39 / 62 Coordonnées du milieu d’un segment Soit I le milieu d’un segment [A ; B ]. Supposons que nous connaissions les coordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I ? − → Qui dit coordonnées de I dans (O ,~i ,~j ) dit coordonnées de OI dans la base (~i ,~j ). − → −→ −→ Il faudrait donc essayer de relier OI avec OA et OB... Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 39 / 62 → − → − Par exemple AI = IB isabelle pilard () Vecteurs février 2012 40 / 62 → − → − Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de C HASLES ... isabelle pilard () Vecteurs février 2012 40 / 62 → − → − Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de C HASLES ... −→ − → − → −→ AO + OI = IO + OB isabelle pilard () Vecteurs février 2012 40 / 62 → − → − Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de C HASLES ... −→ − → − → −→ AO + OI = IO + OB − → − → −→ −→ OI − IO = −AO + OB isabelle pilard () Vecteurs février 2012 40 / 62 → − → − Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de C HASLES ... −→ − → − → −→ AO + OI = IO + OB − → − → −→ −→ OI − IO = −AO + OB − → − → −→ −→ OI + OI = OA + OB isabelle pilard () Vecteurs février 2012 40 / 62 → − → − Par exemple AI = IB Il nous manque O... Pensez à la relation de C HASLES ... −→ − → − → −→ AO + OI = IO + OB − → − → −→ −→ OI − IO = −AO + OB − → − → −→ −→ OI + OI = OA + OB − → −→ −→ 2OI = OA + OB isabelle pilard () Vecteurs février 2012 40 / 62 théorème Le milieu I de [A B ] est caractérisé par chacune des relations vectorielles → − → − → − 1 −→ → − 1 −→ IA + IB = ~ O AI = AB BI = BA 2 2 ³ ´ − → 1 −→ −→ OI = OA + OB 2 ³x +x y +y ´ A B A B a pour coordonnées , 2 2 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 41 / 62 Coordonnées du centre de gravité d’un triangle Soit ABC un triangle. On note A0 le milieu de [BC ], B 0 le milieu de [AC] et C 0 le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l’intersection des médianes.³ −→ −→´ On se place dans le repère A, AB , AC . isabelle pilard () Vecteurs février 2012 42 / 62 Coordonnées du centre de gravité d’un triangle Soit ABC un triangle. On note A0 le milieu de [BC ], B 0 le milieu de [AC] et C 0 le milieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC est l’intersection des médianes.³ −→ −→´ On se place dans le repère A, AB , AC . Quelles sont les coordonnées de A, B, C, A0 , B 0 et C 0 ? Déterminez des équations des droites (AA0 ) et (BB 0 ). Déduisez-en les coordonnées de G. −−→ −→ Calculez les coordonnées de AA0 et AG puis retrouvez une propriété vue en 3ème. −→ −→ −−→ Déterminez les coordonnées du vecteur GA + GB + GC. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 42 / 62 théorème Le centre de gravité G du triangle ABC est caractérisé par chacune des relations vectorielles −→ −→ −−→ −→ 1 −−→0 GA + GB + GC =~0 AG = AA 3 ³ −−→ 1 −→ −→ −−→´ MG = MA + MB + MC où M est un point quelconque du plan. 3 ³x +x +x y +y +y ´ A B C A B C a pour coordonnées dans un repère , 3 3 → − → − (O ; i , j ) du plan A’ est le milieu du segment [BC ] isabelle pilard () Vecteurs février 2012 43 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 44 / 62 Rappelez-vous : µ ¶ µ 0¶ x x 0 ~ si deux vecteurs ~ u et u sont colinéaires et si ~ u 6=~0, y y0 alors il existe un réel k tel que ...~ u 0 = k~ u isabelle pilard () Vecteurs février 2012 45 / 62 Rappelez-vous : µ ¶ µ 0¶ x x 0 ~ si deux vecteurs ~ u et u sont colinéaires et si ~ u 6=~0, y y0 alors il existe un réel k tel que ...~ u 0 = k~ u on a alors x 0 = kx et y 0 = ky isabelle pilard () Vecteurs février 2012 45 / 62 Rappelez-vous : µ ¶ µ 0¶ x x 0 ~ si deux vecteurs ~ u et u sont colinéaires et si ~ u 6=~0, y y0 alors il existe un réel k tel que ...~ u 0 = k~ u on a alors x 0 = kx et y 0 = ky Que pensez-vous alors de x 0 y − y 0 x ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 45 / 62 théorème : critère de colinéarité µ ¶ µ 0¶ x x ~u sont colinéaires si, et seulement si, xy 0 − x 0 y = 0 et ~ u0 y y0 Le nombre xy 0 − x 0 y est appelé déterminant des vecteurs ~ u et ~ v ¯ ¯ ¯x x 0 ¯ ¯ = xy 0 − x 0 y . On peut écrire que notation : ¯¯ y y 0¯ ¯ µ 0¶ µ ¶ ¯x x x 0 ¯ ~ ~u et u 0 sont colinéaires si, et seulement si, ¯ y y y isabelle pilard () Vecteurs x 0 ¯¯ =0 y 0¯ ¯ février 2012 46 / 62 exercice : Est ce que 3 points sont alignés ? Est-ce que les points A(2 ; 3), B (5 ; 7) et C (−6 ; −8) sont alignés ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 47 / 62 exercice : Est ce que 3 points sont alignés ? Est-ce que les points A(2 ; 3), B (5 ; 7) et C (−6 ; −8) sont alignés ? −→ −→ Regardez AB et AC... isabelle pilard () Vecteurs février 2012 47 / 62 exercice : Est-ce que des droites sont parallèles ? On donne A(−4 ; −1), B (4 ; 5), C (3 ; −2) et D (7 ; 1). Est-ce que les droites (AB) et (CD) sont parallèles ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 48 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 49 / 62 équation de la droite (AB) Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu’un point M appartient à la droite (AB) ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 50 / 62 équation de la droite (AB) Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu’un point M appartient à la droite (AB) ? −−→ −→ Que pensez-vous des vecteurs AM et AB ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 50 / 62 équation de la droite (AB) Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu’un point M appartient à la droite (AB) ? −−→ −→ Que pensez-vous des vecteurs AM et AB ? Ils sont colinéaires ! Comment en déduire une équation de (AB), c’est à dire une relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB) ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 50 / 62 équation de la droite (AB) Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu’un point M appartient à la droite (AB) ? −−→ −→ Que pensez-vous des vecteurs AM et AB ? Ils sont colinéaires ! Comment en déduire une équation de (AB), c’est à dire une relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB) ? Exemple. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 50 / 62 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B(−1 ; 5). Un point M(x ; y ) appartient à (AB) si, et seulement si,... isabelle pilard () Vecteurs février 2012 51 / 62 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B(−1 ; 5). Un point M(x ; y ) appartient à (AB) si, et seulement µ ¶ si,... µ ¶ −−→ x − 2 −→ −3 AM et AB sont colinéaires, c’est à dire... y −3 2 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 51 / 62 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B(−1 ; 5). Un point M(x ; y ) appartient à (AB) si, et seulement µ ¶ si,... µ ¶ −−→ x − 2 −→ −3 AM et AB sont colinéaires, c’est à dire... si, et seulement si, y −3 2 2(x − 2) − (−3)(y − 3) = 0 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 51 / 62 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B(−1 ; 5). Un point M(x ; y ) appartient à (AB) si, et seulement µ ¶ si,... µ ¶ −−→ x − 2 −→ −3 AM et AB sont colinéaires, c’est à dire... si, et seulement si, y −3 2 2(x − 2) − (−3)(y − 3) = 0 ce qui donne, après calculs 2x + 3y − 13 = 0. Un petit remaniement nous permet de retrouver l’équation réduite... isabelle pilard () Vecteurs février 2012 51 / 62 équation de la droite (AB) Prenons A(2 ; 3) et B(−1 ; 5). Un point M(x ; y ) appartient à (AB) si, et seulement µ ¶ si,... µ ¶ −−→ x − 2 −→ −3 AM et AB sont colinéaires, c’est à dire... si, et seulement si, y −3 2 2(x − 2) − (−3)(y − 3) = 0 ce qui donne, après calculs 2x + 3y − 13 = 0. Un petit remaniement nous permet de retrouver l’équation réduite... 13 2 y =− x+ 3 3 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 51 / 62 Vecteur directeur −→ Le vecteur AB a pour direction celle de la droite (AB) : on dit que c’est un vecteur directeur de la droite(AB). isabelle pilard () Vecteurs février 2012 52 / 62 Vecteur directeur −→ Le vecteur AB a pour direction celle de la droite (AB) : on dit que c’est un vecteur directeur de la droite(AB). Il existe un lien entre vecteur directeur et coefficient directeur... (lorsque le coefficient directeur existe). Lequel ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 52 / 62 Détermination d’une équation de droite Prenons A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ). Un point M(x ; y ) appartient à (AB) si, et seulement si,... isabelle pilard () Vecteurs février 2012 53 / 62 Détermination d’une équation de droite Prenons A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ). Un point M(x ; y ) appartient à (AB) si, et seulement µ ¶si,... µ ¶ −−→ x − xA −→ xB − xA AM et AB sont colinéaires, c’est à dire... y − yA yB − yA isabelle pilard () Vecteurs février 2012 53 / 62 Détermination d’une équation de droite Prenons A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ). Un point M(x ; y ) appartient à (AB) si, et seulement µ ¶si,... µ ¶ −−→ x − xA −→ xB − xA AM et AB sont colinéaires, c’est à dire... y − yA yB − yA ... si, et seulement si, (yB − yA )(x − xA ) − (xB − xA )(y − yA ) = 0 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 53 / 62 Le plan est muni d’un repère (O ,~i ,~j ). à retenir : Une droite du plan a une équation du type ax + by + c = 0 où (a ; b) 6= (0 ; 0) Le vecteur de coordonnées (−b ; a) est un vecteur directeur de la droite. Si b 6= 0, alors la droite n’est pas parallèle à l’axe des³ ordonnées (axede a´ ~ repère (O ; j )) et alors ... le vecteur de coordonnées 1 ; − est un autre b vecteur directeur de la droite et ... a ... la droite admet pour coefficient directeur m = − b La droite du plan passant par le point A(xA ; yA ) et de coefficient directeur m a pour équation réduite y = m(x − xA ) + yA La droite du plan passant par le point A(xA ; yA ) et parallèle à l’axe des ordonnées a pour équation réduite x = xA isabelle pilard () Vecteurs février 2012 54 / 62 Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d’un vecteur Produit d’un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du plan vectoriel 4 Vecteurs et repères du plan Repère Colinéarité et conséquences Équations de droites et colinéarité Repère orthonormal isabelle pilard () Vecteurs février 2012 55 / 62 Definition Un repère (O ,~i ,~j ) est dit orthogonal lorsque les droites (O ,~i ) et (O ,~j ) sont perpendiculaires. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 56 / 62 Definition Un repère (O ,~i ,~j ) est dit orthogonal lorsque les droites (O ,~i ) et (O ,~j ) sont perpendiculaires. Un repère (O ,~i ,~j ) est dit orthonormal lorsqu’il est orthogonal et que les vecteurs~i et~j sont tous deux de norme 1. isabelle pilard () Vecteurs février 2012 56 / 62 Distance dans un Repère Orthonormé Observez cette figure B (yB − yA )~j A isabelle pilard () (xB − xA )~i Vecteurs février 2012 57 / 62 Distance dans un Repère Orthonormé Observez cette figure B (yB − yA )~j A (xB − xA )~i Pouvez-vous calculer la distance AB en fonction des coordonnées de A et de B ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 57 / 62 Distance dans un Repère Orthonormé Effectuez la démonstration et précisez pourquoi ce calcul n’est valable que dans un Repère Orthonormé isabelle pilard () Vecteurs février 2012 58 / 62 exercice : Montrer qu’un quadrilatère est un rectangle Dans un repère orthonormé (O ,~i ,~j ), on considère les quatre points A(−1 ; 3) B (3 ; p p 5) C (2 ; −3) D (−2 ; − 5) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 59 / 62 Équation de cercle Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ,~i ,~j ). Les points A(−3 ; −4), B (1, 8 ; 4, 7) et C(1, 4 ; −4, 8) sont-ils sur le cercle C de centre O et de rayon 5 ? À quelle condition sur x et y un point M(x ; y ) est-il sur C ? isabelle pilard () Vecteurs février 2012 60 / 62 Équation de cercle Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ,~i ,~j ). On considère les points A(xA ; yA ) et B (xB ; yB ) Calculer la distance AB et les coordonnées du milieu I de [AB] À quelle condition sur x et y , un point M(x ; y ) est-il sur le cercle C de AB centre I et de rayon ? 2 Montrer que cette condition peut s’écrire sous la forme (x − xA )(x − xB ) + (y − yA )(y − yB ) = 0 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 61 / 62 Équation de cercle Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ,~i ,~j ). à retenir : équations de cercle Un cercle a une équation du type (x − a)2 + (y − b)2 = R 2 où (a ; b) sont les coordonnées du centre du cercle et où R est le rayon du cercle. Le cercle de diamètre [AB] a pour équation (x − xA )(x − xB ) + (y − yA )(y − yB ) = 0 isabelle pilard () Vecteurs février 2012 62 / 62
