Chapitre. vecteurs, translations, compositions de symétrie centrales

Chapitre.
I.
vecteurs, translations, compositions de symétrie centrales
Vecteurs.
1) vecteur
Si une translation transforme A en A' , B en B', C en C', D en D'..., alors cette translation
→
est déterminée par un même vecteur u .
→
→
→
→
→
On écrit: u = AA' = BB' = CC' = DD'....
B'
A'
B
A
C'
D'
D
→
u
C
→
→
Conséquence: AA' = BB' signifie que la translation qui transforme A en A' transforme B en B'.
les droites (AA') et (BB') sont parallèles

([AA' ) et ([BB' ) ont le même sens
les
demi-droites

AA' = BB' signifie que:
 les segments [AA'] et [BB'] ont la même longueur
→
→
remarque 1: les vecteurs sont donc un outil très puissant puisqu’une seule notation intègre
directement trois informations.
2) Propriété de l'égalité vectorielle:
a) Interprétation avec les parallélogrammes.
B' est l'image de B par la translation transformant A en A' lorsque AA'B'B est un
parallélogramme.
B'
A'
A
B
Conséquence :
→
→
Si AA' = BB', alors la translation qui
transforme A en A' transforme B en B'.
Donc AA'B'B est un parallélogramme
Si AA'B'B est un parallélogramme, alors la
translation qui transforme A en A' transforme B en
B'.
→
→
Donc AA' = BB'
→
→
Si AA' = BB', alors AA'B'B est un parallélogramme
→
→
→
→
Si AA'B'B est un parallélogramme, alors AA' = BB' , et AB = A'B'
b) Interprétation avec les milieux.
→
AA' = BB' signifie que AA'B'B est un parallélogramme, c'est-à-dire que [AB'] et [BA'] ont le même milieu.
→
→
Si AA' = BB', alors [AB'] et [BA'] ont le même milieu
→
→
 AA' = BB'
A'
→
→
Si [AB'] et [BA'] ont le même milieu, alors et, AB
= A'B'

I
B'
remarque 1: cas particulier:
A
→
→
si I est le milieu de [AB], alors, AI = IB
→
→
B
si AI = IB , alors I est le milieu de [AB].
B
I
A
→
II.
Composée de deux translations.
1) Définition:
→
On appelle translation de vecteur AB la translation qui transforme A en B.
remarque 1: La translation qui transforme A en A transforme tout point B en lui-même.
→
→
On dit que AA est le vecteur nul noté 0 .
→
→
On appelle t la translation de vecteur AB et t' la translation de vecteur BC.
On dit que l'on passe de A à C par la composée de t suivie de t'.
Soit F1 une figure géométrique.
→
Si F 2 est l'image de F1 de par la translation de vecteur u ,
→
Si F 3 est l'image de F2 de par la translation de vecteur v ,
→
Alors F 3 est l'image de F1 par une translation dont le vecteur s'appelle la somme des vecteurs u et
→
→
→
v , noté u + v .
B
→
→
→
Relation de Chasles: Pour tous les points A, B, et C: AB + BC = AC.
C
A
remarque 2: Contrairement au théorème d’appartenance à un segment,
( B ∈ [AC] lorsque AC = AB + BC),
il n’y a pas besoin ici d’alignement de points .Il faut bien réfléchir en termes de déplacements, et pas en
termes de longueurs
Théorème : l’addition des vecteurs est commutative :
Démonstration : effectivement, on considère un parallélogramme ABMC.
→
→
→
On a AB = CM
D’une part
→
→
→
AC = BM
→
→
→
→
AM = AB + BM par la relation de Chasles
AM = AC + CM par relation de Chasles.
→
→
→ →
→
AM = AB +AC
→
(puisque AC = BM)
→
→
→
AM = AC + AB
→
→
→
→
(puisque AB = CM)
→
Conclusion: AB + AC = AC + AB
Le petit truc à retenir :
Je pars de A, j’arrive en B.
Je repars de B, j’arrive en C.
Au bilan, je pars de A, j’arrive en C.
Cas particulier:
→
→
→
AB + BA = AA
→
→
→
AB + BA = 0
→
→
On dit que AB et BA sont deux vecteurs opposés.
Définition : on appelle vecteurs opposés des vecteurs dont la somme est égal au vecteur nul.
(Autre façon de voir les choses : on appelle vecteurs opposés des vecteurs ayant même direction, même
norme, mais des sens opposés).
→
→
On note BA = − AB
Conséquence:
Si ABMC est un parallélogramme,
→
→
→
alors AC = BM.
→
→
→
→
Réciproquement : Si AB + AC = AM
→ →
→
Donc AB + AC =AB + BM
→
→
→
→
BA + AB + AC = BA + AM
→
→
→
BB + AC = BM
→
→
→
0 + AC = BM
→
→
AC = BM
Donc ABMC est un parallélogramme.
Propriété - Règle du parallélogramme:
→
→
→
si ABMC est un parallélogramme, alors AB + AC = AM
→
→
→
Réciproquement, si AB + AC = AM, alors ABMC est un parallélogramme.
B
A
M
C
Le petit truc à retenir : contrairement à la relation de Chasles, ce coup-ci :
je pars de A, j’arrive en B.
je repars de A, j’arrive en C.
Au bilan, je pars de A, j’arrive en M.
ATTENTION : il ne faut pas confondre :
− la règle du parallélogramme, qui repose sur la somme de deux vecteurs.
→
→
→
AB + AC = AM, lorsque ABMC est un parallélogramme.
− la définition de deux vecteurs égaux qui repose sur la construction d’un parallélogramme.
→
→
AA’ = BB’ lorsque AA’B’B est un parallélogramme.
III. Composée de deux symétries centrales:
Si F a pour symétrique F ' par rapport à O,
si F ' a pour symétrique F " par rapport à O',
→
→
→
Alors la translation de vecteur 2 OO' (i.e OO' + OO') transforme F en F ".
Démonstration:
Soit M un point du plan, M' son symétrique par rapport à O, et M" le symétrique de M' par rapport à O'.
→
→
→
→
MM" = MO + OO' + O'M"
M'
→
→
→
→
MM" = OO' + MO + O' M"
→
→
→
→
MM" = OO' + OM' + M' O'
→
→
→
O
O'
MM" = OO' + OO'
→
→
MM" = 2 OO'.
M
M"
BILAN : utiliser les vecteurs, c’est faire de la géométrie autrement. Effectivement, le principe est de
jouer sur les écritures, et les opérations pour démontrer des résultats. On s’éloigne de l’observation de
la figure (même si elle reste indispensable pour avoir des idées) pour la remplacer par des résolutions
algébriques.
La figure n’est plus statique, on réfléchit en termes de déplacements.