la statistique et la probabilite

La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
Domaine - La statistique et la
probabilité (la chance et
l’incertitude)
Mathématiques 3231/3232
113
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
SP2 :
L’élève doit pouvoir utiliser les probabilités pour prédire le résultat de situations incertaines d’ordre
pratique et théorique.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
SP2.1 classifier des événements dans
l'espace d'échantillonnage et
déterminer leurs probabilités en
utilisant l'analyse combinatoire ;
SP2.2 déterminer la probabilité
conditionnelle de deux événements ;
SP2.3 déterminer la distribution
théorique de probabilités en se
servant de l'analyse combinatoire ;
SP2.4 utiliser la distribution
binomiale pour calculer des
probabilités.
C Au cours d’une activité de remue-méninges, amener les élèves à
distinguer entre événements indépendants et dépendants, et
événements mutuellement exclusifs et non mutuellement exclusifs.
Les réunir ensuite en petites équipes et leur confier la tâche de
résoudre des problèmes qui font appel au calcul des probabilités
de ces événements. Une fois la tâche terminée, inviter des équipes
volontaires à présenter les solutions de ces problèmes au reste de la
classe.
C Demander aux élèves de travailler en équipes de deux pour
résoudre des problèmes qui font intervenir la détermination des
probabilités à l’aide de permutations et de combinaisons. Il est
avantageux aux élèves de leur rappeler que les permutations
consistent à regrouper des objets dans un ordre donné et que les
combinaisons consistent à les regrouper sans se soucier de l’ordre.
Les élèves devraient rédiger un compte rendu de la solution
détaillée d’un problème qui fait appel aux permutations et d’un
autre aux combinaisons.
C Par l’entremise d’exemples variés, amener les élèves à comprendre
la notion de la probabilité conditionnelle d’un événement. Leur
demander ensuite d’appliquer la loi de Bayes pour résoudre des
problèmes de probabilité conditionnelle qui font intervenir
l’analyse des situations réelles afin de prendre des décisions
éclairées. Les encourager à utiliser des diagrammes en arbre ou des
tableaux pour résoudre ces problèmes.
C Utiliser des situations réelles et concrètes pour expliquer aux élèves
la notion de la distribution binomiale. Les amener à découvrir la
formule de cette distribution et à l’utiliser pour résoudre des
problèmes tels que le suivant :
En basket-ball, le taux de réussite de Nathalie pour les lancers
francs est de 90 %. Dans un match, Nathalie doit effectuer 10
lancers francs. Quelle est la probabilité :
a. qu’elle en réussisse exactement 8 ?
b. qu’elle en réussisse au moins 5 ?
Proposer aux élèves de calculer les probabilités binomiales de ce
problème à la main, puis de vérifier leurs réponses à l’aide d’une
calculatrice à affichage graphique.
114
Mathématiques 3231/3232
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
Pistes d'évaluation
Ressources
C Pendant que les élèves résolvent des problèmes impliquant des
permutations et des combinaisons, observer s’ils peuvent :
S utiliser la terminologie appropriée ;
S faire une distinction entre une permutation et une
combinaison ;
S utiliser correctement les formules correspondantes.
Omnimaths 12
C En vue de vérifier si les élèves ont compris les probabilités de
différents types d’événements, leur poser des questions pertinentes
qui les incitent à montrer les différences entre :
S la probabilité d’un événement ;
S la probabilité d’événements indépendants ;
S la probabilité d’événements exclusifs ;
S la probabilité conditionnelle.
C Confier aux élèves la tâche de résoudre un problème concret
impliquant le calcul d’une probabilité conditionnelle. Une fois la
tâche terminée, ramasser les travaux des élèves pour les corriger.
En les corrigeant, noter dans quelle mesure ils sont capables de :
S faire un arbre de probabilité ;
S sélectionner les branches appropriées de cet arbre qui
permettent de trouver la réponse ;
S porter un jugement en se basant sur les résultats obtenus.
C Demander aux élèves d’écrire dans le journal de bord un court
paragraphe pour :
S expliquer la différence entre un histogramme et un diagramme
à bandes ;
S indiquer à quoi est proportionnelle l’aire de la bande d’un
histogramme représentatif d’une distribution de probabilités ;
S expliquer pourquoi la somme des aires des bandes de
l’histogramme doit être égale à 1 ou à 100 %.
Mathématiques 3231/3232
115
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
SP2 : L’élève doit pouvoir utiliser les probabilités pour prédire le résultat de situations incertaines d’ordre
pratique et théorique.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
SP2.5 étendre les notions de la
moyenne et de l'écart type aux
distributions de probabilités et les
utiliser afin d'analyser des données ;
SP2.6 utiliser la cote z et la
distribution normale pour résoudre
des problèmes ;
SP2.7 utiliser une approximation
normale à la distribution binomiale
(le théorème de la limite centrale)
pour résoudre des problèmes qui font
intervenir des calculs de probabilité
pour de grands échantillons ;
SP2.8 résoudre des problèmes
concrets de statistique en se servant
de l'approximation de la distribution
normale ;
SP2.9 utiliser efficacement un outil
technologique approprié pour
résoudre des problèmes de
probabilité.
C Réviser avec les élèves les formules qui permettent de calculer la
moyenne et l’écart type d’un ensemble de données. Attirer leur
attention sur le fait que ces deux mesures de tendance centrale
décrivent la façon dont les données sont dispersées. Les amener
ensuite, par l’entremise d’activités variées, à découvrir les formules
de la moyenne et de l’écart type pour les distributions de
probabilités. Leur rappeler comment déterminer ces deux mesures
à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique et d’un tableur
électronique.
C Revoir avec les élèves toutes les caractéristiques de la distribution
normale et de sa courbe, qu’ils ont déjà vues en neuvième et
dixième année.
C Amener les élèves, à l’aide d’exemples variés, à comprendre la
définition de la cote z, qui représente le nombre d’écarts types
entre une donnée et la moyenne. Les réunir ensuite en équipes de
deux et leur demander de résoudre des problèmes qui font
intervenir le calcul de z et l’utilisation d’une table de valeurs qui
permet de déterminer l’aire sous la courbe standard normale.
Une fois la tâche terminée, inviter des élèves volontaires à
présenter leurs solutions au reste de la classe.
Au cours de cette activité, les élèves devraient découvrir la
différence entre la courbe standard normale et la courbe normale
et la façon dont la cote z permet de passer de la deuxième courbe à
la première.
C Confier aux élèves la tâche de résoudre des problèmes tels que le
suivant :
Une entreprise électronique a testé des transistors qu’elle a
récemment fabriqués. Elle a découvert que leurs durées de vie
suivent une distribution normale, avec une durée de vie moyenne
de 200 heures et un écart type de 10 heures.
a) Quel pourcentage de ces transistors durent entre 80 heures et
120 heures ?
b) Quelle est la probabilité qu’un transistor choisi au hasard dure
plus de 100 heures ?
Les élèves devraient utiliser les cotes z pour résoudre ce problème,
puis vérifier leurs résultats à l’aide d’une calculatrice à affichage
graphique.
116
Mathématiques 3231/3232
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
Pistes d'évaluation
Ressources
C Pendant que les élèves résolvent des problèmes qui font intervenir
le calcul de l’écart type d’un ensemble de données, circuler parmi
eux et observer s’ils peuvent :
S trouver la moyenne des données et l’écart de chaque donnée
par rapport à cette moyenne ;
S lever au carré tous ces écarts et déterminer leur moyenne ;
S déterminer la racine carrée de la moyenne des écarts ;
S interpréter la valeur de l’écart type en fonction de la dispersion
des données.
Omnimaths 12
Les interroger ensuite afin de s’assurer qu’ils sont capables
d’expliquer ce que signifie pour un ensemble de données d’avoir
un écart type plus grand qu’un autre d’un ensemble de données
semblables.
C S’assurer que les élèves peuvent faire la distinction entre la courbe
standard normale et la courbe normale. Vérifier s’ils sont capables
d’utiliser la table de valeurs de la cote z pour déterminer l’aire sous
la courbe et la probabilité correspondante.
C Soumettre aux élèves un problème concret à résoudre
individuellement, où ils devraient utiliser la formule de la
distribution binomiale. Une fois la tâche terminée, leur demander
de se réunir en équipes de deux pour échanger leurs solutions afin
de discuter des démarches suivies, d’y identifier les points forts et
les points faibles et de suggérer des corrections si nécessaire.
C Confier aux élèves la tâche de résoudre un problème qui fait
intervenir l’utilisation d’une calculatrice à affichage graphique,
pour déterminer l’aire sous la courbe et calculer la probabilité d’un
événement. Inviter des élèves volontaires à présenter leurs
méthodes au reste de la classe. Au besoin, mettre à leur disposition
une calculatrice à affichage graphique munie d’un acétate ou
tablette électronique. Demander au reste de la classe de noter dans
quelle mesure les présentations de leurs camarades peuvent aider à
comprendre les notions étudiées.
C Demander aux élèves de décrire dans leur journal de bord une
distribution normale et une distribution binomiale et de joindre
une liste des caractéristiques d’une distribution normale et des
conditions requises pour une distribution binomiale.
Mathématiques 3231/3232
117
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
SP2 : L’élève doit pouvoir utiliser les probabilités pour prédire le résultat de situations incertaines d’ordre
pratique et théorique.
Résultats d'apprentissage
spécifiques
Pistes d'enseignement
L'élève doit pouvoir :
C Utiliser des situations réelles et concrètes pour présenter aux élèves
l’intervalle de confiance. Discuter avec eux de ce que veut dire
concrètement cet intervalle et comment le représenter en fonction
de la moyenne et de l’écart type. Les réunir ensuite en petites
équipes et leur demander de résoudre des problèmes qui font
appel au calcul de l’intervalle de confiance pour prendre des
décisions éclairées.
Cette activité devrait permettre aux élèves de comprendre
comment construire un intervalle de confiance sur un diagramme
d’une distribution normale.
SP2.10 expliquer l'intervalle de
confiance dans un contexte de
résolution de problèmes et distinguer
entre confiance et probabilité ;
SP2.11 résoudre des problèmes
concrets impliquant l'intervalle de
confiance, l'erreur standard et la
marge d'erreur ;
SP2.12 analyser l'effet de la
modification de la population totale
sur la distribution des probabilités des
résultats d'un sondage ;
SP2.13 analyser l'effet de la
modification de la taille de
l'échantillon sur la distribution des
probabilités des résultats d'un
sondage.
C Confier aux élèves la tâche de résoudre, en équipes de deux, des
problèmes tels que le suivant :
Selon Sara, qui voudrait se présenter comme candidate à la
présidence du conseil étudiant de son école, 60 % des élèves
voteront en sa faveur. Toutefois, 500 élèves participeront aux
élections qui auront lieu prochainement.
S Déterminez l’erreur standard et faites un diagramme sommaire
de la distribution des votes.
S Construisez un intervalle de confiance de 90 % pour le
pourcentage de votes en faveur de Sara.
S Sara aimerait avoir confiance à 95 % que 60 % des votes seront
en sa faveur, avec une marge d’erreur de ±5 %. Combien
d’élèves devraient participer aux élections pour qu’elle puisse
avoir confiance à 95 % ?
Au cours de cette activité, aider les élèves à comprendre la
différence entre l’erreur standard et la marge d’erreur et les
encourager à vérifier leurs réponses à l’aide d’une calculatrice à
affichage graphique.
Lorsque les élèves auront terminé l’activité, inviter des équipes
volontaires à présenter leurs solutions au reste de la classe. Au
besoin mettre à leur disposition une calculatrice à affichage
graphique munie d’un acétate ou tablette électronique. Amorcer
ensuite une discussion en grand groupe des résultats.
C Demander aux élèves de réaliser, individuellement ou en équipe
de deux, un sondage qui leur permet de mettre en application les
notions qu’ils ont étudiées. Ils devraient rédiger un rapport
détaillé de ce sondage incluant :
S une description de la situation du sondage ;
S les formules mathématiques utilisées au cours du traitement
des données ;
S une analyse et une interprétation des données basées sur les des
notions étudiées ;
S une justification raisonnable de la décision prise.
118
Mathématiques 3231/3232
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
Pistes d'évaluation
Ressources
C Circuler dans la classe pendant que les élèves résolvent en équipes
des problèmes impliquant le calcul d’intervalles de confiance, afin
de vérifier s’ils peuvent :
S reconnaître qu’une distribution binomiale pourrait être
remplacée par une distribution normale ;
S déterminer un intervalle de confiance ;
S construire un intervalle de confiance sur un diagramme ;
S expliquer ce que signifie un intervalle de confiance de 95 %.
Omnimaths 12
C Demander aux élèves de discuter à deux de ce qu’on lit dans les
journaux ou entend à la radio suite à un sondage. La phrase
suivante en est un exemple : « Un sondage Léger-Léger, mené
auprès de 1000 Canadiens, donne au Parti libéral 46 % des voix
de votes, 19 fois sur 20, ±3 % ».
Au cours de la discussion, observer si les élèves :
S utilisent la terminologie appropriée ;
S reconnaissent que l’expression 19 fois sur 20 veut dire un
intervalle de confiance de 95 % ;
S savent interpréter la marge d’erreur de 3 %.
Les inciter ensuite à déterminer l’erreur standard à partir des
données de cette phrase. S’assurer qu’ils sont capables de déduire
la relation entre la marge d’erreur et l’erreur standard.
C Élaborer en collaboration avec les élèves une liste de critères
destinés à évaluer leurs projets. Leur demander d’utiliser cette liste
afin de s’évaluer les projets des uns des autres. Leur proposer
ensuite d’identifier des problèmes, s’il en existe, qui pourraient
retarder l’exécution de ce projet.
C Placer sur les murs de la classe des affiches de toutes les formules
vues au cours de cette étude. Demander ensuite aux élèves :
S d’expliquer les termes qui figurent dans chaque formule ;
S d’utiliser les formules appropriées pour résoudre des problèmes
de leurs choix ;
S de dire laquelle de ses formules est facile à comprendre et à
utiliser et laquelle ne l’est pas.
C Demander aux élèves de compiler un portfolio incluant des
travaux de leurs choix, qui constituent une preuve qu’ils ont
atteint les résultats d’apprentissage spécifiques de ce domaine. Les
convoquer ensuite à des rencontres individuelles afin de discuter
avec eux de la pertinence des travaux sélectionnés.
Mathématiques 3231/3232
119
La statistique et la probabilité : La chance et l’incertitude
120
Mathématiques 3231/3232